例谈求解探索性问题的措施

刘中起

探索性问题通常要求根据已知的信息，探究某个 条件、结论是否成立或存在.此类问题的难度较大，侧 重于考查考生的分析、探究、独立解决问题的能力.本 文重点探讨一下求解探索性问题的几个措施.

一、将问题等价转化

探究性问题的部分条件、结论并不完全确定，这 给我们解题造成了很大的困扰，此时不妨另辟蹊径， 将复杂的问题等价转化为比较熟悉的问题，如最值问 题、不等式恒成立问题、比较代数式的大小问题、数列 问题等；再灵活运用相关知识、方法求得问题的答案. 这样便能达到化难为易、化繁为简的目的，有助于我 们快速获得问题的答案.

例1

解：

由于題目的结论是关于 x 的不等式，所以要确定 f（1 - 2x ） 2 与f（1 + 2x - x ） 2 应满足的某种关系，只需讨论 1 - 2x 2 与1 + 2x - x 2 的大小关系，即将问题转化为比较 两个代数式的大小问题，利用函数的单调性进行求解即 可.解答本题，需把握三个关键点：（1）运用等价转化思 想，将已知信息进行等价转换，即 f （a + x） = f （b - x） （x ∈ R） ? 函数 f （x） 的图象关于直线 x = a + b 2 对称， 将问题等价转化为比较两个代数式大小；（2）注意挖 掘隐含条件：1 - 2x 2 ≤ 1，1 + 2x - x 2 ≤ 2 ；（3）灵活运用 函数 f （x） 的单调性进行求解.

例2

解：

求解本题，需先审清题意，明确每一次重复操作 后 A 、B 中的食盐质量分数；然后将其看作两个数列 {an}与{bn} 的递推关系式，这样就能够将实际问题转化 为数列问题，利用等比数列的通项公式来解题.

二、合情推理

题设条件是我们分析、解答数学问题的依据.在解 答探究性问题时，我们需仔细分析题设条件，灵活运 用相关公式、定理、性质等，通过观察、归纳、类比、联 想、猜测等进行合理的推理，从而顺利探求目标，得出 问题的答案.

例3

解：

我们由所探究的目标出发，假设存在满足题意的 两个定点 E 、F ，然后结合题设条件进行合情推理.根 据椭圆的第一定义知：在一般情况下，随着参数 λ 取 值的变化，动点 P 的轨迹应该是一个椭圆，进而由题 设条件求得动点 P 的轨迹方程，再进一步求得两定点 的坐标.一般地，若通过合情推理，得出与题设相矛盾 的结论，即表明不存在这样的定点；若没有产生矛盾， 即可得到定点的坐标.

通过对上述几个例题的分析可知，在解答探索性 问题时，我们必须仔细分析题意，通过运用分析、判 断、演绎推理、联想、转化、探索、猜想、验证等多种方 法，寻找最佳的解题措施.同时，要注重培养探索、创新 精神，进一步提升解题的能力.

（作者单位：山东省胶州市第一中学）