进行三角恒等变换的两个技巧

陆榕芳

解答三角函数问题，通常需要对三角函数式进行三角恒等变换，以化简三角函数式.進行三角恒等变换的技巧很多，如常值代换、拆角、补角、升幂、降幂等.下面主要谈一谈常用的两个技巧：常值代换、拆角与补角.

一、常值代换

常值代换法是指把三角函数式用一个常数替换，并将其代入函数式中进行运算.我们知道，1= sin2α+ cos2α= sin = cos 0=tan 、= sin = cos 、=tan .在进行三角恒等变换时，可将常数“1”“”“”等替换与之相等的三角函数式，以配凑出三角函数公式，化简三角函数式.

例1.

解：

解答本题，需先通过积化和差，化简 sin 3x· sin3x + cos 3x cos3x ；然后灵活运用同角的三角函数关系式： sin2α+ cos2α=1来进行常数代换，以将高次幂化为低次幂.

二、拆角、补角

有些三角函数式中的角各不相同，此时可将其中的某些角拆分、拼凑，通过拆角、补角，使角统一，如α=+、2α-β=2（α-β）+β等，这样便能直接根据两角的和差公式化简三角函数式.

例2.已知 sin +α= ，cos -β= ， 且0<α<<β< ，则cos（α+β） = .

解：

例3.

解：

我们需通过拼凑，使得 α + β 2 = ? è ? ? π 4 + α - ? è ? ? ? ÷ π 4 - β 2 ， 通过角的变换沟通所求角与已知条件之间的联系，从 而求得问题的答案.

从以上分析可以看出，进行三角恒等变换，需选用合适的三角公式进行恒等变换，以达到化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”的目的.

（作者单位：江苏省南通第一中学）