度量是转化的原理 更是几何的本质——关于《平行四边形的面积》一课的教学思考

文|曹 炯 沈 杰

《平行四边形的面积》是图形与几何领域的重要内容，是学生第一次接触“用转化的方式”解决图形面积问题，强调通过对比、转化等活动突显度量的数学价值和思想方法。笔者基于教学与学生实际情况，概括了以下四方面的教学现象和误区：

现象一：视角差异——空间直觉的牛角尖

五年级的学生，受限于认知思维水平，缺乏空间知觉的加工意识与能力，对形体的表象描述还比较依赖于感觉器官的直观体会，还无法自觉建立图形在大脑中的正确映射与对应表征。在本案例中，当教师出示木质平行四边形随着向下拉动，询问学生面积变化时，竟有一半的学生认为面积没有改变，理由是向斜角凸出的部分和向下减少的部分是相等的。这说明学生的空间直觉对面积的感知还存在较大偏差，对平行四边形面积的本质缺乏认识，造成思维在非本质因素间徘徊游荡。

现象二：结构干扰——邻边乘底的负迁移

无论是动手操作还是空间想象，学生对图形的感知一般都会偏重于对象直观性较强的属性特征部分，而忽略了对象图形中其他内隐、关联结构特征的解读与揣摩。在本案例中，邻边与底边相接，在视觉感官方面给学生带来了负迁移的直观冲击，直接影响了空间判断能力，导致学生误认为邻边所具有的数学结构意义与长方形中的宽相一致，进而做出“邻边×底”的面积推导结论。说明长方形面积的结构性干扰对平行四边形的面积推导的确存在负迁移作用，较多学生对面积的概念还停留于感官的基础上。

现象三：理解模糊——公式表面的知其然

在传统教学中，整个教学过程只是为了求得公式，在对“让学生充分经历发现、分析、提出、解决问题”“尝试进行合情推理的归纳概括过程”等方面教学缺少相应的力度和深度，只针对一种“最容易想到的割补法”探讨，忽视学生自我构建、合作交流多种形式割补方法的学习，导致学生在推导过程中所感受的数学活动、积累的数学经验、生成的数学思维大打折扣，割补方法的多样性与有效性及其背后面积单位的密铺原理的一知半解，最终数学思考、核心素养的落地亦会成为空中楼阁。

现象四：迁移乏力——模块构筑的假面具

《平行四边形的面积》是学生第一次接触“用转化的方式”解决图形面积问题，而且这种转化的方法将一直推广到三角形、梯形、圆等图形面积的学习，具有较强的普适性、连续性。但转化背后数学的核心本质——面积单位密铺原理，如果不解释清楚、不探究明白，那学生的思维层次只能停留于面积公式的应用水平，解决一些简单机械的计算问题，无法将这种转化方法上升到数学思维水平，并迁移类推到其他平面图形的面积中。这样窄化、固化式的学习结果使得学生有效构筑模块型、结构化的数学空间能力体系变得毫无力度、渠道日趋减少，最后只能沦为惰性知识，增加学生记忆负担。

平行四边形属于二维图形，它与线段等一维图形度量的最大差别在于动态转换。线段的长度只要借助合理测量工具和单位长度连续叠加就能完成测量，而二维平面图形面积并不是都能直接运用单位面积进行连续叠加，特别是一些不具备直角的不规则非对称平面图形，测量起点与面积单位无法有效重合，需要进行转化为具备单位面积连续叠加的图形方能进行后续测量。为此，平行四边形面积的学习是学生空间结构化的一次飞跃，是从简单静止对称图形的测量思考转向更复杂动态非对称图形的测量思考，其意义深远重大。夯实平行四边形面积学习能对之后三角形、梯形、圆等二维图形，甚至是长方体、圆柱等三维图形的内容起到抛砖引玉、举一反三、迁移类推的数学思考方法示范作用。

一、树立核心理念——转换的根本目的是度量

在实际新授教学中，能想到借助割补三角形的方法求平行四边形面积的学生不占少数。但是当学生提出这个方案之后，紧接着马上就出示底和高或动态演示割补法，学生就真的理解“平行四边形的面积就是底×高”了吗？从哲学角度分析理解有两重含义：一是意义复原，就是针对理解对象本身的深入剖析达到认知重构；二是视界融合，将理解对象放置在特定的认知环境中，与其他同等类似对象产生结构意义上的关联。显然，这样匆忙的割补过程，学生无法真正理解其实质的数学意义。

数学知识的本质常常是一些隐藏着的、决定数学现象的基本概念、一般原理、特定方法等，具有较强的内隐性与抽象性。当学生面临推理瓶颈、归纳无序时，教师可以依据数学内在逻辑发展轨迹，由表及里地引导学生触及探究对象所处的认知脉络和结构源头。基于这样考虑，不妨在讲解直角三角形割补之后，放慢一下教学脚步，静静聆听学生思维拔节的声音。从辩证思维角度入手，设置两个值得深入辨析的问题：切割的三角形有什么具体要求？为什么要拼成长方形？通过这两个问题的思考与讨论，不断接近、指向图形面积计算实质——度量面积单位个数。转化只是数学行为，而度量才是这个特定数学行为背后的真正意义。只有让学生聚焦于度量，揭示直角三角形转换为长方形背后的数学意义，从直观上理解平行四边形的面积其实是包含了度量单位（如1 平方厘米）的个数，才能更好地感悟转化的价值和平面图形面积的类推法则。

二、布局认知冲突——大小的判断依据是度量

皮亚杰的儿童空间概念发展研究理论表明：儿童对空间概念发展及空间关系的认识是一个从模糊、拓扑状态向间接、概括反映的发展过程，从低到高依次分为拓扑、欧式图形学习、测量和射影几何四个空间概念水平层次，并与其认知发展理论中的感知运动（0—2 岁）、前运算（2—7 岁）、具体运算（7—11 岁）、形式运算（11—16 岁）阶段相匹配。上述理论呈现出“测量”与“具体运算”之间紧密的联动性。具体而言，测量物体的“形”，然后用“数”或“数的运算结果”表示形的某个属性的大小。测量是用单位数值化的过程，是构建数形结合的桥梁，能有效补充数与运算概念。

在本案例中，平行四边形面积的推导过程应当充分落实测量与具体运算的双轨学习机制。既要有长方形和平行四边形面积用数来刻画量的比较过程，也应有平行四边形面积转化成长方形面积的公式推理过程。基于这样的想法，可以在新课的引入部分，出示一个可拉动的平行四边形，倾斜方向为左，让学生指一指平行四边形的面积。紧接着将这个平行四边向右拉动，形成一个“等底等邻边不等高”的平行四边形，让学生判断哪个面积大。

测量的主旨是为了确定某个具有可测量性的量的大小。当学生无法从视角空间直观判断两个平行四边形的实际大小时，往往会采用已经学过的数学方法和经验尝试解决面积大小问题，思维水平也从直观辨认向探索特征迈进，教师需要及时点拨学生思考往单位面积方向靠拢。因而上述“拉动”过程，不仅仅是事实性学习材料的生成过程，更是以任务的方式驱动学生对平行四边形面积大小从数学直观走向理性思考，打破视觉空间对学生思维的局限与干扰，由浅入深，突破意识表层，将学生带入深刻而又理性思考的数学完美世界中。

三、演绎运动三性——方格的思维价值是度量

张奠宙先生认为，对于面积本质的真正理解，需要借助现代数学中的测度理论。也就是说，数学意义上的面积测量，其实质是要对某些平面图形指定一个合适的数，而这个数表达的数学意义需要满足运动的三个特性，即正则性、有限可加性、运动不变性。在平面图形面积领域，这三个运动特性与单位面积计量密切相关，是刻画图形运动轨迹、度量图形面积变化的重要依据与原理。

正则性：指存在度量单位并规定度量单位为“1”。“数方格”是小学生面积学习中最早接触的度量策略，在数方格算图形面积之前，往往会统一计量单位——1 小格是1 平方厘米，这“赋予面积值为1”的过程便是正则性。正则性的学习主要集中在面积单位和长方形（正方形）面积，因而平行四边形面积一课重点不在于正则性的学习，而是将它以“尺子的身份”成为度量工具，并借助方格图这一载体进行数学合情推理，从而突出正则性的逻辑性、功能性，基于度量单位统一的本质，帮助学生提供测量工具、简化测量难度、降低测量风险。

有限可加性：以面积为例，如作为度量单位的小正方形密铺的结果即为图形的面积。当学生已经有“直角三角形切割与转化”思想萌芽之后，可以放缓出示底×高的结构表达式。通过观察补全完整的长方形，让学生仔细观察，横向密铺的一行有几个，就代表有几个面积单位，可以用字母a 表示，又因为每一行都有a 个面积单位，共有几行，可以用字母h 表示，所以由平行四边形转化为长方形的面积可以表示为a×h。这个字母结构表达式准确度量了平行四边形大小的同时，也真实反映了有限可加性的特征。

运动不变性：指面积单位的移动会引起图形形状的变化，但面积单位个体总数守恒。运动不变性不仅仅存在于“直角三角形切割”中，同样也存在于每一行“凑整1 个面积单位”的过程中，只是在便捷程度上有所差别。在图形空间结构表征方面，运动不变性的特征显得尤为重要。以多元开放的方式打开学生空间想象的思维盒子，进一步促进学生图形空间想象与表征、数学语言表达、结构化思考等能力的不断提升和完善。

布鲁纳在《教育的过程》中写道：任何课程的主题应该由发展学生的基本理解能力而确定，这种能力可以通过掌握构成某一主题的基本结构的潜在原理而实现。正则性、有限可加性、运动不变性正是平行四边形面积主题的数学原理，完善演绎了几何特点。借助方格纸学生充分经历、验证平行四边形的面积转化守恒原理，在计算摆放单位面积小正方形的过程中丰满了对面积两个关键量（底和高）的概念性理解，结合度量方法深刻领悟图形经过几何变换前后的度量变化，两个量之间的某些变化关系，开启直观描述向形式演绎过渡的进程，强化了对面积概念本质和转化意识能力等空间观念的培养。

四、渗透出入相补——开放的多元形式是度量

出入相补（又称以盈补虚）原理，最早由三国时代魏国数学家刘徽创建，它是指一个几何图形（平面或立体）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。平行四边形的出入相补大致有六种方法，如下图所示。

直角三角形的割补只是最基础的一种，而其他几种相补法则更为抽象，只有牢牢抓住面积单位数量运动不变性和有限可加性等特点，让学生经历平行四边形面积相补不同类型的发生、发展过程，从更整体、全景的视角认清平行四边形面积变化的本质，不断地向单位面积守恒规律迈进，从多样复杂的现象中看清其本质，感受到数学的简约，并在探索的过程中培养学生严谨、求真、理性的学习态度，进一步上升到数学思想方法、学习策略层面的讨论，才能使学生所获得的转化方法不再是零散、孤立的碎片化结论，而是更加上位的、具有迁移类推的一般化思想。