借助“猜想、验证”建立模型——以《鸽巢问题》为例

文|俞田刚

一、问题与探讨

《鸽巢问题》是六年级下册数学广角的内容，教材中编排了三个例题，旨在通过具体的实例，借助实际操作向学生渗透鸽巢问题的一般原理，让学生理解鸽巢问题的特点，建立鸽巢问题的一般模型，并运用模型解决实际问题。教材编排的三个例题有着各自不同的作用。

在教学过程中，我发现《鸽巢问题》有这些特点：

1.数字不大，内容难。

2.语言不多，说理难。

3.变式较多，建模难。

“抽屉原理”之所以难，一是难在模型的建立上，学生不能灵活、准确地使用特定的术语（“总有”“至少”）来表述结论。二是难在它的具体应用，如何找到一些实际问题与“抽屉原理”模型之间的联系，如何来思考一些变式的情况，有时学生会感到无从下手，也就是“物品”和“抽屉”不明显，如13 个人当中至少有2 个人在同一个月过生日。

利用问题提出的方式进行教学可以突破难点，让学生自己在初步感知模型的情况下，进行大胆猜测所要研究的类型并通过自主编题来验证结果，学生在自己的感悟、猜想、验证和自我肯定、否定中，自主建立模型，并进行运用模型。

这次我们尝试在五年级下册上《鸽巢问题》，所以我把教学目标定位为：

经历“抽屉原理”（鸽巢问题）的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会运用“抽屉原理”解决一些简单的实际问题。

通过“抽屉原理”的学习，增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学生学习数学的兴趣和应用意识。

让学生体验猜想与编题验证的过程，对“抽屉原理”有更深入的理解，提高数学核心素养。

根据目标要求，设计的教学流程如下：

独立探究，初步感悟

↓

猜想验证，编题验证

↓

初次建模，提出问题

↓

再次建模，运用模型

在第一环节学生通过独立探究“4 支笔放进3 个抽屉，总有一个抽屉里至少有（ ）支笔”，初次感知模型后，让学生根据得到的模型创编能用学到的本领解决的问题。然后继续猜想还有其他类型的鸽巢问题，对学生的思维具有极大的挑战与思考，从一开始的“a+2”、“2a”，一直到“na+m”，学生的思维层次大大得到了提高。第三环节中学生从自己的猜想中选择一个类型自主编题，验证自己猜想的结果是否成立。最后根据学生的猜想进行分类，全班同学根据自己编题的类型，自主成立研究小组，探究鸽巢问题的本质。学生从初步感悟——形成猜想——个人编题验证——小组综合验证的过程，对鸽巢问题进行深入独立的研究，最终自己得到数学本质。

二、实践与思考

任务一：独立探究，初次建模

1.出示研究题目：把4 支笔放进3 个抽屉，总有一个抽屉里至少有（ ）支笔。

师：“总有”“至少”怎么理解？

生：“总有”就是一定有、肯定有，“至少”就是最少。

师：4 支笔放进3 个抽屉，总有一个抽屉里至少有几支笔呢？请独立探究。要求：先写出结论，再用不同的方法表示自己的想法。

我的研究：

4 支笔放进3 个抽屉，总有一个抽屉里至少有几只笔？要求：先写出结论，再用不同的方法表示自己的想法。images/BZ_72_244_2013_802_2099.png我的结论：总有一个抽屉里至少有（2）支笔。images/BZ_72_235_2182_555_2301.pngimages/BZ_72_567_2196_810_2277.png

【设计意图：一个简单的情境直接切入主题，在理解了两个关键词语后，让学生自己通过不同的方法表示出自己的想法，就是想让每个学生从自己的知识起点和能力起点出发，表达出自己的真实想法，以便教师能更好地进行引导和因材施教。不同层次的学生在反馈的过程中，会出现一一列举、尽量平均分、除法算式等等思路，并能图式结合进行理解，从不同的知识和能力起点，在互相的碰撞中，形成对“鸽巢问题”的初次感悟和理解。】

2.用自己喜欢的方式解决问题。（四人小组内学生随机发放不同的练习题）

10 个苹果放进9 个抽屉，总有一个抽屉里至少有（ ）个苹果。

6 只鸽子飞进5 个鸽笼，总有一个笼子里至少有（ ）只鸽子。

8 本书放进7 个抽屉，总有一个抽屉里至少有（ ）本书。

师：请抽取到每一类型题目的同学说说思路。

（教师根据学生回答，整理板书上的表格）

师：刚才我们研究的事情有什么规律吗？

生：苹果、鸽子、笔、书的数量都比抽屉、鸽笼要多1。

生：结果都是“总有一个抽屉里至少有2”。

师：我们把苹果、鸽子等这些数量叫做物体数，抽屉、鸽笼的数量叫做抽屉数。我们在研究过程中发现物体数都比抽屉数多1，而这样放了以后，我们总有一个抽屉里至少有2 个数量。这一类问题就是我们数学上很有名的鸽巢问题，也叫抽屉原理。

师：我们能不能用学过的方式来表达这种关系？

生：如果把抽屉数表示成a，那么物体数就是a+1，至少数就是2。

【设计意图：通过几个不同具体情境的探究，学生找到这些看似不一样的题目，其本质是一样的，从而自主发现：把a+1 个物体放进a 个抽屉里，至少数都是2。初次得到鸽巢问题的模型。】

3.提出可以用这个规律解决的问题

师：刚才我们找到了鸽巢问题的一个规律，你能提出用这个规律解决的问题吗？

生：老师有5 颗糖，奖给4 个同学，总有一个同学至少有（ ）颗糖。

生：100 只鸽子，飞进99 个鸽笼，总有一个鸽笼里至少有（ ）只鸽子。

【设计意图：初步感知模型后，让学生自己再提出这类问题，进一步理解模型的本质，学生在学习中理解，在理解中应用。】

任务二：猜想验证，再次建模

1.根据经验，猜想鸽巢问题的其他类型

师：同学们，鸽巢问题除了刚才研究的这一类型，还会研究其他类型吗？

生：a+2。

师：非常好，新的猜想。还会有其他的吗？

生：a+3。

师：物体数会比抽屉数多几？可以用字母来表示吗？

生：a+n。

师：对这个n 有什么要求？

生：n＜a。

生：倍数关系，比如2a、3a……

师：又有新的猜想，从多几想到了倍数，非常了不起。还会有其他类型吗？

生：我觉得还可以是几倍多几，比如2a+1。

师：几倍多几可以怎么来表达？

【设计意图：通过对前面简单鸽巢问题的研究，初次建模。然后引导学生大胆猜想鸽巢问题的其他类型，学生一边猜想，一边还能归纳出字母式，并在讨论中得到取值范围。】

任务三：编题验证，运用模型

1.个人验证

师：选择刚才猜想的一种类型，编题验证结果。

2.分组验证

师：请寻找“志同道合”的小伙伴——选择相同类型的同学一起讨论研究。

师：我们先看看可以分成几种类型？

生：第一类a+n，第二类ma，第三类ma+n。

师：每组领取研究任务、确定好场地、推选出组长。

3.分组汇报结果

师：小组讨论很认真，请汇报你们的讨论结果。

第一组：我们研究的是a+n的情况，我们发现只要a 大于n，不管物体数和抽屉数取多少，至少数都是2。

师：请问你们的表格中，为什么一开始写着3，后来修改成了2？

生：第一个汇报的同学选了物体数是8，抽屉数是6，余数是2。他一开始觉得是2+1=3。

师：那后来怎么改了呢？

生：余数2，为了做到至少，也要平均分。

师：其他同学怎么看？有没有同学能解释得更具体一些？

生：余数是2，如果都放在同一个抽屉里，得到的结果就不是最少的数量，必须把多余的物体也平均分，这样得到的结果才是至少数。

第二组：我们研究的是物体数是抽屉数倍数关系的情况。我们小组发现，不管怎么放，只要是倍数关系，放进抽屉的至少数都是那个倍数。比如2 倍，至少数就是2，5 倍至少数就是5。

师：你们的研究很深入，汇报简单易懂，同学们的掌声是对你们最好的肯定。

第三组：我们组研究的情况是ma+n 的情况。我们汇合了整个组同学的想法后，得到的结论是：不管物体数是抽屉数的几倍多几，只要a 大于n，至少数都是m+1。

生：（补充）因为前面的ma，相当于就是第二组研究的倍数情况，多几，就是第一组研究的情况，所以综合前两个组的意见，我们组就是他们两组的结合。

（全班同学和听课教师给予了热烈的掌声）

师：同学们的学习能力真是太强大了。在个人独立编题验证过程中，已经有了初步的验证结果；在小组讨论后，更加确定；并且群策群力后得到了更明确的结论，具有一定的高度，老师为你们这样的学习精神点赞。

【设计意图：因为是学生自己提出的猜想，所以让他们自己来验证结果，学生很有兴趣，在编题的过程中，学生都试图从前面的题型中去寻找情境，然后自主选择好研究类型进行编题。对学生们来说，这是一种自我提问。在个人独立验证，有了初步的结论后，寻找“志同道合”的小伙伴，就是研究同一类型的同学，一起验证。这个时候，同学们都觉得是同一阵线的战友，有共同话题，思维方式也很接近，讨论很快就进入角色，不仅验证了小组内每个同学的结果，最终还都讨论出了一般模型，真不简单。】

三、收获与启示

本节课以问题提出为主线开展教学，试图通过“猜想、验证”的方式来建立模型，并且通过个人自主验证和同类型题目合并新小组来共同验证的过程，解决不同层次学生问题提出的有效互动。主要体现以下几个层面：

1.猜想是思维的出发点

如果说从“a+1”到“问题提出”是学生激活经验、建立联系的过程，是让学生进行独特的思维活动的话，那么“猜想”则孕育着数学思维与推理，从独立探究有了初步的感知以后，让学生根据大量的同类型题目进行充分感知，然后得出规律，并提出用这个规律解决问题的题目，学生在自我提问的过程中，再自我解答验证，第一次建模就顺理成章了。

而根据已有的经验“猜想”鸽巢问题可能还有的规律，学生从最基础的“a+2”开始，逐渐地放开思维，如“a+3”“a+4”等等，在这个过程中，教师不停地追问：“物体数比抽屉数多几？最多可以多几个？”学生慢慢从随意的猜测中思考，“a+n”中a 和n 的大小，必须是a 比n 大。教师继续追问：“如果一样大呢？”学生异口同声得出“物体数是抽屉数倍数的可能，2a”。突破了倍数的概念后，很多学生的思路被打开，他们不满足于多几和几倍，开始大胆猜想几倍多几的可能，并且很自然地用字母式表示自己的想法。在这个过程中学生的思路是开放的，也是活跃的，一直在挑战，一直被超越，一直在迸发火花。

2.验证是思维的保障机

在经历了充满挑战的猜想后，学生的学习热情被点燃，因为这些猜想都是他们自己发现的，自己创造的，不是书本直接呈现的，也不是教师直接给出的。所以教师得“泼点冷水”：这么多的猜想都是正确的吗？谁来验证这些猜想？主人就是你们自己。

学生选择一类猜想规律，通过自己编题来验证是否成立。学生积极性很高，都在极力证明自己的猜想是正确的，以最简单的“a+n”为例，很多同学都在挑战不同的数来验证，有的甚至举出两位数和三位数。倍数关系也是，情况有很多种。我觉得学生个人验证的力量不够有力，学生可能也会受自己能力所限，举的例子或者编的题目缺乏典型性，所以，在学生独立验证的基础上，再一次让全班同学根据刚才的猜想分成三类，每个学生根据自己验证的类型自发组成小组，每人发表自己的见解，临时推选的组长记录大家的想法后，全组共同讨论每一个例子是否正确，然后在汇报墙上记录典型的例子，并最终讨论出自己组研究的成果。

根据全班学生的分组验证，将学生的学习热情和思维燃到了最高点，每个学生都是参与者，都是每组的证明者，所以每个人都积极发表见解，热烈讨论，并在这个过程中互相指出问题及时修正。第一小组遇到了鸽巢问题中余数为2 的特殊情况，前面的教学中我没有作任何说明，所以有学生在举例时，余数2 直接和商相加。所以墙上的一个答案“至少数”是3。我预料到了，也觉得这是一个容错和学生自我纠错的好时机，没有给予辅导和纠正，想让他们在汇报的过程中全班同学来发现错误然后进行教学。可是没一会儿小组内已经自我否定了，把“3”划掉，改成了“2”。所以在最后汇报的时候，教师只需问：“为什么这里3 改成了2？发生了什么小故事？”汇报的同学讲完故事的时候，就把教材中的难点“余数为2”也需平均分的知识点化解了。

在学生独立编题以后，再根据选择同一类型的同学临时组建小组，就是让不同层次的学生能有效地进行互动，并在“志同道合”伙伴的引领下，自主发表见解，互相修正自己的想法，并逐渐真正感悟鸽巢问题的本质。

学生在经历了猜想———验证之后，灵活运用鸽巢问题，培养了思维的灵活性，学生对鸽巢问题的理解由最初的形象理解上升为抽象层面的数学模型理解。

《数学课程标准（2022年版）》要求数学学习应注重让学生经历数学证明的过程。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及抽屉原理的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可鼓励学生用直观的操作，比如借助学具、实物操作或画草图、填表格等方式，以自主探究方式对抽屉原理进行解释，并解决问题，从而让学生感悟数学的思维和数学方法。前面的“问题提出、猜想验证、小组交流、总结规律”的过程就是在感悟数学思想，建立模型思想。很多数学广角是相通的，鸽巢问题就像植树问题一样，它们的数学建模一般路径都是：结论出来后，建议让学生尝试编题，这个过程就是运用模型，期望学生能将具体问题和抽屉问题联系起来，找到问题中的具体情境和抽屉问题的一般化模型之间的内在联系，提高解决实际问题的能力。