考虑运行节能和车底运用的城轨时刻表优化

2023-03-29周文梁黄裕邓连波

铁道科学与工程学报 2023年2期

周文梁，黄裕，邓连波

(中南大学交通运输工程学院，湖南长沙 410075)

随着能源价格的日益增长、城轨开行密度和运营里程的持续增大，城轨运营能耗成本成为城轨列车运营的主要成本之一，达到总运营成本的40%左右[1]。因此，通过采取合理措施实现列车运营节能对于降低整个城市轨道交通运营成本具有重要的现实意义。在保持一定的旅速限制下，优化选择列车在区间运行的牵引策略在一定程度上可以达到降低牵引能耗目的[2-4]。部分学者通过调整运行过程中工况出现的序列和相互间的转换位置、时间等，优化列车区间运行策略使列车运行所需牵引能耗最小化[3-5]。XU 等[6]开发了一种速度剖面生成方法，在给定区间运行时间条件下搜索节能速度剖面。HUANG 等[7]应用机器学习方法来优化速度剖面。部分学者则通过调整列车时刻表，即优化区间运行时间，来达到降低列车运行能耗的目的[2,8]。邓连波等[9-10]通过区间运行时间分配策略降低列车牵引能耗。ZHAO 等[11-13]通过调整列车区间运行时间、到发时刻等达到节能的目的。然而目前关于节能时刻表的相关研究极少考虑车底衔接问题，这可能导致满足时刻表车底接续方案的车底运用成本增加，以致反而导致列车总运行成本增加的不利情况出现。虽然有一部分研究，如WANG 等[14]将列车时刻表与车底衔接计划结合起来组合优化以降低列车运行成本，但这并不是针对节能时刻表，故完全没有考虑到区间牵引策略选择问题，而是将其视为一固定量。MO 等[15]将节能作为优化时刻表和车底衔接计划的目标之一，但其考虑的能耗仅涉及简化后的列车再生制动能利用，而不包括列车牵引能耗。鉴于以上两方面原因，非常有必要将时刻表与车底衔接计划结合起来，从列车运行总成本控制角度出发对两者进行协同优化，一方面使时刻表的节能效果得到保证，另一方面也要降低车底运用成本。为了更好地降低列车运行总成本，本文提出考虑运行节能和车底运用的城轨时刻表优化方法，通过优化列车在区间的牵引策略选择、列车在各个车站的到发时刻以及车底接续关系，在保证服务质量的前提下最大化地降低列车所需能耗、车底运用时间总成本。同时利用粒子群算法的框架设计一种高效、便捷的算法，并构造了一种车底衔接计划生成策略。

1 问题分析与描述

考虑一条由K个车站构成的复线城市轨道交通线路，其一端连接一个停车场供列车车底停放、维修等，且两端都具备折返线供列车折返。同时，本文假定各方向列车均从线路的一端点站运行至其另一端点站，且采用常用的“站站停”服务模式。由于线路上、下行方向列车除了在折返线换向外，在各车站运行并无相互干扰，将同一车站上、下行方向视为2 个不同车站，故可视线路由2K个车站、1个停车场构成。车站将线路划分为多个运行区间(k,k+1)，其中上、下行列车运行区间集合分别为Sup和Sdn。

城轨线路列车时刻表编制通常需要同时兼顾旅客出行服务质量与列车运营成本两方面。考虑到其编制的复杂性与难度，目前较多节能时刻表相关研究如BU 等[16]均假定事先已根据线路出行需求的时空分布、运输能力等以服务质量最优为目标生成了一个初始列车时刻表，然后以此为基础进行优化调整。本文同样在已事先生成的一个初始列车时刻表的基础上，实现列车节能时刻表与车底衔接计划的协同优化。

1.1 基于降低区间牵引能耗的节能策略

列车区间牵引能耗不仅取决于线路区间长度、平纵断面、限速以及列车牵引力、制动力、重量等参数，还取决于列车在区间运行采用的牵引策略。列车区间牵引策略决定了列车区间运行时各时刻采用的工况，即加速、滑行和制动等工况，同时也决定了列车在区间各时刻运行速度。因此，节能时刻表可通过为各区间内各运行列车选择合适的牵引策略来实现在控制列车总旅行时长的同时达到列车节能目的。

理论上同一区间内列车可使用的牵引策略非常多，但在实际运营中为了实际操作的方便通常会预先按照一些特定运营要求，如节能、运行时分最少等制定一些候选牵引策略，之后根据实际运营需要选择相应的牵引策略方便实施。由于本文假定城轨线路上下行所有运行列车均采用同类车底，故各列车在同一区间的候选牵引策略均相同。记集合Qk为列车在区间(k,k+1)运行时的候选牵引策略集，定义0-1 决策变量表示上行列车i在区间(k,k+1)∈Sup是否选择牵引策略q∈Qk运行，若选择，则同理，定义0-1 决策变量表示下行列车j在区间(k,k+1)∈Sdn是否选择牵引策略q∈Qk运行，若选择，

以上行列车i在区间(k,k+1)∈Sup运行为例，当其选择牵引策略q∈Qk运行时，记vik(q,τ)为其进入区间后的第τ时刻的运行速度；γik(q,τ)与δik(q,τ)分别为其进入区间后第τ时刻是否处于牵引工况与制动工况。显然，若此时列车处于牵引工况，则γik(q,τ)=1；若处于制动工况，则δik(q,τ)=1；否则，γik(q,τ)=0，δik(q,τ)=0。由牵引策略q所确定列车在区间各时刻所处运行工况与速度，便可计算列车i在区间(k,k+1)运行的第τ时刻其所需牵引能耗为：

其中，Fik表示上行列车i在区间(k,k+1)运行时受到的平均牵引力，不同列车在不同区间运行时因列车载客量不同，该参数取值不同。

同理，对于下行列车j选择牵引策略q∈Qk在区间(k，k+1)∈Sdn运行时，其在区间(k，k+1)运行的第τ时刻其所需牵引能耗可表示为：

其中，Fjk表示下行列车j在区间(k,k+1)运行时受到的平均牵引力。需要注意的是，公式(1)与(2)中的每一项均为常量。

将研究线路全天各时刻所需要的牵引能耗求和，便可获得该城轨线路列车运行所需牵引能耗E如下：

其中，Tstart和Tend分别为地铁列车最早和最晚运营时刻；分别表示上行列车i和下行列车j离开车站k的时刻；表示上行列车i进入区间(k,k+1)后的第τ时刻；表示下行列车j进入区间(k,k+1)后的第τ时刻。

1.2 节能时刻表与车底衔接计划协同优化问题

当下行列车j从起点站K+1 运行至终点站2K后，此时其使用车底有3种接续选择：1) 车底进入车辆段而结束当天服务，即后续不再服务其他列车；2) 车底进入车辆段，但之后需再次从车辆段出来服务于其他列车；3) 车底在车站2K直接进行折返作业后继续服务一列上行列车。为了描述车底在服务下行列车j到达车站2K后的车底接续安排，定义2个0-1决策变量αji和βji如下：

而对于从车站1 运行至车站K的上行列车i而言，由于车站K未有供车底停留的车辆段，故其承担车底只能在车站折返后服务下一列下行列车回到车站1。定义0-1决策变量αij如下：

显然，不同的接续方案将直接影响车底运用时间成本，甚至其运用数量，而同时可选择的接续方案却很大程度上依赖于列车时刻表所确定的各方向列车始发与终到时刻。因此，可将节能时刻表与车底衔接计划协同优化问题描述为基于预先从服务质量保障角度生成的初始列车时刻表与区间列车候选牵引策略集合，同时考虑列车运行节能与车底运用总成本2个目标，协同优化列车时刻表及其相应的车底衔接方案。

2 协同优化模型

2.1 模型假设与决策变量

由于城市轨道交通线路的站间距离较短，区间限速条件简单，为简化研究内容，本文在不影响模型优化方法的前提下作了以下假设：

1) 将列车运行视为单质点运动模型，且所有运营列车为同一类型列车。

2) 列车能耗仅考虑列车运行所需的牵引能耗，暂不考虑列车照明、空调等车载设备能耗。

本文基于给定的列车牵引策略集合，设置如下决策变量。

1) 整数决策变量：上行列车i和下行列车j在起点站的发车时刻上行列车i和下行列车j在车站k的停站时长

2) 0-1 决策变量：上行列车i和下行列车j在区间(k,k+1)的牵引策略选择车底接续关系(αji，βji，αij)。

2.2 目标函数

令σ为单位能耗费用，ω为车底单位运营时间成本(不包含能耗成本)，则目标函数表示如下：

其中，tenter和texit分别表示车底进、出车辆段所需时间；分别表示上行列车i到达和离开车站k的时刻；分别表示下行列车j到达和离开车站k的时刻。式(8)表示车底的总运营时间，包含车底运行时间、进出车辆段时间以及接续时间。

2.3 约束条件

1) 列车区间牵引策略选择约束

针对在区间(k,k+1)运行的任意列车，从该区间候选牵引策略集Qk里当且仅选择一种牵引策略供其运行，即满足以下约束：

2) 单列列车总旅行时间约束

3) 列车停站时长约束

4) 列车出发/到达时间间隔约束

5) 列车始发时刻调整量约束

其中，Δtmax表示任意列车相比于初始给定时刻表在车站发车时刻允许的最大调整量。

6) 区间运行时长、列车到发时刻与停站时长的等价关系约束

7) 车底衔接关系约束

对于任意上行列车i，到达车站K后其车底需衔一列下行列车j返回车站2K，即满足，

此外，服务任意上行列车i的车底可来自首次从车辆段出来服务的车底，或者来自服务完一列下行列车j后进行折返或进车辆段后再出段的车底，即满足，

对于任意下行列车j，由于其到达的终点站车站2K衔接了车辆段，故服务完该列车后，其相应车底可进入车辆段结束当天服务、或者进行折返、又或者进车辆段后再出段，即满足，

此外，服务下行列车j的车底只能来自服务完上行列车i而进行折返的车底，即满足，

8) 车底衔接时间约束

对于从车站K+1运行至车站2K的下行列车j而言，在车站2K其车底能否直接进行折返作业并继续服务于上行列车i，则取决于两列车间的间隔时间是否满足车底折返时间的限制：

其中，M为一个足够大的正数；分别表示车底在车站2K的最大、最小折返时间。

在车站2K，下行列车j的车底在进入车辆段后能否再次出段并服务于上行列车i，则取决于两者间的间隔时间是否满足车底进、出车辆段所需时间：

同理，对于从车站1 运行至车站K的上行列车i而言，在车站K其车底只能进行折返并返回车站2K。故其车底进行折返后能否服务于下行列车j，取决于两列车间的间隔时间是否满足车底折返时间的限制：

2.4 模型构建

根据2.2 小节目标函数和2.3 小节约束条件可以确定节能时刻表与车底衔接优化模型如下：

3 粒子群求解算法

以上协同优化模型由于目标函数的计算为非线性，故属于一个大规模的混合整数非线性规划问题。虽然可以通过线性化技术将目标函数计算线性化，但是由于模型涉及决策变量与约束条件数量庞大(见表1)，通过将其线性化后难以采用商业求解器进行有效求解。考虑到粒子群算法具有高效并行搜索、全局搜索和信息共享机制等优势特征，且较之于遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等具有相对较低的时间复杂度和空间复杂度，在求解大规模问题时具有收敛速度快等优势[17]，本文选择粒子群启发式算法对模型进行优化求解。

表1 模型复杂度计算Table 1 Model complexity calculation table

本文所提优化模型解包括时刻表与车底衔接计划2个部分，考虑到若直接以这两部分作为粒子解，容易使产生的粒子不可行而导致迭代过程中大量不可行粒子出现。为了减少算法迭代过程中不可行粒子的产生、提高算法求解效率与质量，本文以模型解中有关列车时刻表的决策变量作为粒子解，即每个粒子仅由时刻表相关决策变量构成。基于每个粒子确定的时刻表，通过设计一种车底衔接计划生成策略确定与时刻表相对应的车底衔接方案，进而获得一个完整的模型解，在此基础上计算相应的模型目标函数值以实现粒子解的更新改进。

3.1 车底衔接方案生成策略

对于端点站2K，按下行列车到站顺序逐列为其确定衔接的上行列车，记当前下行列车为j，则其衔接的上行列车选择过程如下：

首先从所有未安排衔接方案的上行列车中为当前下行列车j寻找满足衔接时间约束式(29)，并且在车站1 最早发车的上行列车i。若能找到满足条件的上行列车i，则此列车作为当前下行列车j的衔接列车，即αji=1；否则，意味着找不到与之能够衔接的上行列车i，则让该下行列车j进入车场。

在通过以上列车衔接列车选择为每列下行列车j确定了衔接方案后，需对在车站1 始发的所有上行列车i，检查是否均有相应的下行列车j与其衔接，若没有，则从车辆段任意选取一个当日已承担过运行任务的车底，使其再次出段并服务于上行列车i。此时若车辆段没有已用车底，则新增一个新的车底，使其出段并服务上行列车i。

类似的，对于端点站K，可以按上行列车到站顺序逐列为其寻找下行衔接列车。需要注意的是，由于车站K没有衔接车辆段，因此当该站存在上行列车i找不到满足要求的下行列车j，或者下行列车j找不到满足要求的上行列车i，即车底衔接约束(25)和(26)得不到满足，此时为目标函数增加相应的惩罚费用ϑ。

3.2 算法步骤

由于在粒子的进化过程中可能会产生不可行粒子，考虑到本文所提出的模型包含大量约束条件，为了保证算法的收敛速度和迭代过程中解的可行性，本文设计了不可行解的修复策略对其进行处理。求解考虑运行节能和车底运用的城轨时刻表优化模型的粒子群算法(PSO)具体步骤如下。

Step 1：设置进化参数(c1,c2,w)，种群规模N，算法最大迭代次数MaxGen和最优解保持不变的最大连续迭代次数Maxgen。

Step 2：设置迭代次数p=0，生成N个初始可行粒子，并初始化所有粒子的速度。

Step 3：基于每个粒子Xn所确定的时刻表，根据车底衔接计划生成策略生成对应的车底衔接方案。

Step 4：根据以下公式更新所有粒子Xn的速度和位置，并令p=p+1。

Step 5：判断所有粒子Xn的可行性，对于不可行的Xn，根据以下步骤对其进行修复。

Step 5.1：初始化修复次数z=0。

Step 5.2：如果0-1 决策变量不满足约束(9)和(10)，则为该列车在该区间随机选择一种牵引策略。

Step 5.3：如果整数决策变量不满足约束(15)，(16)，(19)和(20)，则将其拉回至边界位置。

Step 5.4：如果整数决策变量不满足约束(13)和(14)，则将其拉回至边界位置。

Step 5.5：检验时刻表是否满足全部约束，若全都满足，表示修复成功，否则，令z=z+1，若z≤5，则重新更新该粒子Xn的速度与位置，并返回Step 5.1，若z>5，则抛弃该粒子。

Step 6：判断p≥MaxGen和p＇≥Maxgen是否成立，若其中任意一个成立，终止算法，并输出全局最优位置结束优化过程，若两者都不成立，则转入Step 3。

4 算例分析

为了验证考虑运行节能和车底运用的城轨时刻表优化方法的有效性，基于广州地铁9号线进行数值实验，同时区间运行策略的数据来自与广州地铁集团有限公司的合作项目《广州地铁网络化运行图模拟验算系统开发》。广州地铁9 号线线路全长20.1 km，共设置11 个车站、1 个与上行方向始发站飞鹅岭站相连的车辆段，当前时刻表站间运行时间、停站时间、区间所需牵引能耗如表2所示。

表2 广州地铁9号线区间运行时长、停站时间及区间所需牵引能耗Table 2 Practical running time, dwell time and traction energy consumption of Guangzhou Metro Line 9

模型参数设置如下：单位能耗费用σ=1元/(kW·h)，车底单位运营时间成本ω=10 元/min，再生制动能转换系数为0.8，最大服务安全间隔为15 min，最小安全间隔为120 s，停站时长调整量为±5 s，列车到、发时刻调整量为±30 s，单列列车总旅行时间增加量上限值为130 s。同时本文针对上、下行各个区间均给定9种不同的牵引策略，并保证每个区间的运行时长调整量在±10 s 的范围内。根据广州地铁9号线真实数据，折返站高增站车底最小折返时长为70 s，折返站飞鹅岭站车底最小折返时长为130 s，进、出车辆段所需时间均为180 s。采用粒子群算法求解时，设置进化参数c1=1.5，c2=1.5，最大惯性权重wmax=0.8，最小惯性权重wmin=0.4，种群规模N=100，算法最大迭代次数MaxGen=1 000，最优解保持不变的最大连续迭代次数Maxgen=300。

图1为算例求解的收敛过程，其表明算法能够以较快的速度实现模型目标值的优化，并在第243次迭代后实现算法收敛。此外，通过统计迭代过程中出现与修复不可行解次数，可知在种群规模为100，迭代更新次数达到1 000 时，平均每次迭代出现的不可行解次数为21。针对每次迭代所出现的不可行解，算法均能100%地对其进行一次性修复。

图1 算法收敛图Fig. 1 Algorithm convergence diagram

为了体现本文所提出的协同优化方法的优势，本节不仅将与初始列车运行时刻表和车底衔接计划进行比较，还将与节能时刻表与车底衔接计划分开优化的结果进行比较。三者的优化结果如表3所示，当把节能时刻表与车底衔接计划分开优化时，优化后的时刻表能耗成本降低了(67 129.78-58 595.36)/67 129.78=12.71%。然而，相应的车底衔接计划使用成本增加了8.28%，从而导致总成本只降低了0.56%。相比而言，协同优化使列车运营总成本降低了3.81%，其中能耗成本降低了3.06%，车底总时间成本降低了4.35%。由此可见，虽然协同优化在节能效果方面不如分开优化，但能使得节能与车底运用总成本得到大幅度下降，这充分表明了本文算法求解的有效性。

表3 节能时刻表与车底衔接方案优化质量对比分析Table 3 Comparative analysis on the optimization quality of energy-saving schedule and train circulation plan

优化前后各个区间运行时分对比如图2 所示，图中独立的空心圆表示每个部分中每个候选牵引策略对应的运行时间。由于每个区间允许不同列车选择不同的牵引策略，三角形、正方形和实心圆分别代表优化前、协同优化和分开优化后每个区间所有列车的平均运行时间。从图中可以看出，单独优化能耗时大部分列车都选择运行时间最长的牵引策略运行，以达到最大化降低牵引能耗的目的。而协同优化时，由于受到车底衔接计划成本的制约，仅有一部分列车选择运行时间相对较长的牵引策略运行。由此可以得出结论，时刻表有关牵引能耗的优化和车底衔接计划的优化冲突较大，因为其往往要选择较长的运行时间，而这显然是不利于车底的衔接；而有关再生制动能的优化并不会和车底衔接造成较大冲突。

综上所述，当对时刻表进行节能优化时，虽然使得时刻表的节能效果达到最优，但由于过度追求时刻表的节能效果，会导致车底运用成本增长，从而使得列车运营总成本并没有得到良好的优化效果。这是因为有利于节能的时刻表往往要求列车区间运行更长、发车间隔更短，而这显然不利于节约车底衔接计划成本。而本文提出的优化模型将列车运行节能与车底运用两者综合考虑，从总成本的角度对时刻表进行优化，使得列车运行能耗与车底运用成本均降低。