展示思维过程，促进长效发展

卢锡娟

［摘  要］ 随着新课改的推进，各种先进的教学理念与教学手段层出不穷，实践证明一切革新都建立在“以生为本”的基础上，以充分展示学生的思维，促进学生长效发展为目标. 文章从概念教学、公式定理教学、例题教学与试卷讲评四方面着手，通过几个实例具体谈谈如何在教学过程中展示学生的思维，以促进学生获得可持续发展能力.

［关键词］ 思维；概念；公式；例题教学

数学教材所呈现的知识一般按照形式逻辑展开，内容以演绎论证为主，这就在一定程度上掩盖了概念、定理、公式等的原始思维过程. 平铺直叙的表述方式，导致学生缺乏尝试、挫折与思维变化历程，而出现似懂非懂、知其然却不知其所以然的状态，严重影响学生对数学知识、思想、方法的理解与应用［1］. 事实证明，充分展示学生的思维是促进学生长效发展的关键，为此笔者从不同教学环节着手，对如何展示学生的思维展开分析.

经历概念的应用过程

数学概念作为数学知识体系中的基本组成单位，常由现实世界中的数量关系或几何特征抽象而来，概念的形成过程一般遵循以下规律：事例展示—抽象本质—推广应用. 想让学生深刻认识概念，就要在感性认识事物的基础上通过观察、类比、分析，探寻出事物的本质特性.

鉴于概念一般都由生活实践抽象而来，用一般性的文字语言进行表述会让学生感到抽象且难以理解，教师可通过各种教学手段带领学生来到概念的发源地，让学生亲历概念形成与发展的过程，通过正反例子的类比、提炼，从真正意义上理解、掌握概念.

如直观法的应用，可让抽象、拗口的概念生成看得见、摸得着的事物，学生亲历其形成与发展的过程，对概念产生形象化认识. 当学生对概念有了一定认识后，再通过问题带领学生深挖概念的内涵与外延，可讓学生从真正意义上理解、掌握概念的本质，为后续学习夯实基础. 这种方法能有效激发学生的学习兴趣，充分展现学生思维发展的过程，提升学生的抽象素养.

案例1 “函数的单调性”的教学.

当学生对导函数、函数单调性等概念有了一定认识后，教师可设置问题串来充盈学生的思维，让学生在展示思维时达到理解、巩固与灵活应用概念的目的.

（1）求证：f（x）=x-sinx在R上为单调递增函数.

（4）若f（x）=x3+mx-2在（1，+∞）上为单调递增函数，则实数m的取值范围是什么？

对于问题（4），需从侧面来分析，由f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立这个条件，借助求最值法，易得m∈［-3，+∞）. 求解问题（5）需从函数不单调的意义出发，也就是函数在某个区间内存在有增有减的情况，即f′（x）在区间内既可以大于等于0，又可以小于等于0，反映f′（x）=0的解位于区间内，存在m<1

上述五个问题紧扣函数的单调性，从低起点出发，由浅入深地展开，照顾到每一个认知水平层次的学生，让学生的思维随着小跨度的台阶拾级而上. 学生解决每一个问题的过程就是暴露自身思维的过程，而学生思维的展示则是获得解题方法与技巧的重要途径.

概念是数学的核心，反映数学对象的本质特性与内在联系，它是数学思想方法形成的重要载体，也是促进学生数学抽象素养、文化素养、建模素养、概括能力、推理能力形成的关键. 学生在概念应用中，不断展示自己的思维，将概念逐渐内化为知识网络的各个节点，为掌握解题技巧夯实基础.

亲历定理或公式的形成过程

定理或公式的形成与概念一样，经历了漫长的历史洗礼，想让学生掌握其本质，需要引导学生将思维过程完全展示出来，从最大限度上激发学生的潜能，使学生深刻认识定理或公式等，为发展思考与应用能力奠定基础.

教师不论多么精彩的讲解都无法代替学生自主的思维，“以生为本”的教学活动不仅能让学生体验定理或公式的推导过程，还能让学生感知数学的独特魅力，从而产生同数学家一样的研究数学的想法，促进创新意识与核心素养的发展.

有些定理或公式本身的推导或证明过程就是一种重要的解题思路，这种解题思路为后续解题起到良好的示范作用［2］. 鉴于此，教师应引导学生亲身体验定理或公式的推导或证明过程，并让学生将思维充分暴露出来，为学生形成可持续发展能力奠定基础.

案例2 “三角恒等变换”的教学.

三角恒等变换公式对于初学者而言稍有难度，教师若能放慢脚步，带领学生亲历公式形成与发展的过程，让学生的思维充分展示出来，往往能得到事半功倍的教学效果.

首先，从学生已经掌握的公式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ入手，引导学生推导出cos（α+β）的展开式. 通过观察发现，仅需将上述公式中的β换成－β，再由诱导公式推导，不难获得cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ.

为了夯实学生的思维基础，教师可在此处配备相应的巩固练习：

在学生思维展示的基础上，再安排逐层递进的练习训练，不仅让学生的思维实现由浅入深的发展，还将三角恒等变换公式的本质完全显露了出来，为建模做好了铺垫. 亲历公式的推导过程，不仅深化了学生对公式的掌握，还落实了变角策略的应用，让学生的思维得到了进一步发展.

感知例题的探索过程

例题教学是数学课堂的灵魂，不仅能巩固学生所学知识，还能促进学生的思维发展. 教材上所呈现出来的例题都是编者经过深思熟虑而创设的，虽然具有科学、严谨、经典等特征，但教师在实际应用时，仍要结合学生的实际认知水平进行详略得当的使用，必要时也可以结合学情与教情，进行针对性的增减，让学生利用最少的问题取得最大的进步.

当然，教师也不能一味地为了凸显自己的“与众不同”，随意替换或删减教材中的例题. 教师应静下心来潜心研究教材中的每一个例题，最大化地发挥例题的价值，并结合学情择优应用.

学生个体有差异是客观存在的事实，因此，在例题教学中，应一步一个脚印地展露学生的解题思维，让每一个学生都能明白每一步的必要性与重要性，坚决杜绝忽略基础薄弱的学生，出现跳步现象，否则会消减这部分学生的学习信心，导致两极分化情况的出现.

案例3 “基本不等式”的例题教学.

当学生掌握基本不等式的概念后，教师可结合学情选择经典例题进行讲解；当学生顺利完成教材例题和配套练习题后，教师可带领学生进入“用基本不等式求最值”的问题探讨中，对于“换元法”与“配凑法”的应用，可通过以下两类问题的补充来深化学生的理解.

（2）已知x，y∈R，同时x2+2xy－3y2=1，则z=x2+y2的最小值是多少？

章建跃教授认为：数学教学是应用教材而非教教材，教师应仔细甄别编者的意图，不囿于教材的条件是深刻理解教材并充分把握学情［3］. 对于本章节的“换元法”与“配凑法”的应用，笔者结合学生实际情况，在“理解学生”的基础上设计了上述两类问题，充分展示学生思维的同时深化了学生对知识的纵深理解，为知识的迁移奠定了基础.

体验试卷的讲评过程

考试是检验教学成效的手段，试卷讲评起到提炼、巩固与提升的作用. 当前，高考背景下的数学教学普遍存在不太重视试卷讲评的情况. 殊不知，试卷讲评过程中展示学生的思维过程，不仅能使学生厘清对知识结构的认识，还能从一定意义上帮助学生建构完整的知识结构，让学生从中获得良好的解题技巧.

试卷讲评切忌不分对象与内容，胡子眉毛一把抓笼统讲解. 事实上，每一个学生存在的问题并不一样，即使是同一个问题也可能存在多个小问题，这要求教师通过一定的教学手段，让学生在有限的讲评中获得举一反三的能力. “就题论题”显然不能实现这样的目标，而根据问题引导学生自主编题，一则能激发学生的兴趣，二则能激发学生的潜能，让学生积极深入思考，形成以不变应万变的解题能力.

案例4 “椭圆综合问题”的讲评.

既然“就题论题”并非讲评的终极目标，于是在学生掌握本题求解方法的基础上，笔者要求学生基于該问题自主编拟新问题，揭露学生思维过程的同时发展学生的创新意识.

观察学生所编拟的新问题，不仅充分展示了学生逐层深入的思维变化历程，还凸显学生对知识点的宽度与深度理解. 随着新问题的解决，笔者再要求学生对整个求解过程进行反思与提炼，以让学生通过解决一个问题，获得解决一类问题的能力.

总之，数学是思维的体操，教师在每一个教学环节都应注重学生思维的展示，让学生在主动参与和积极思考中不断成长，形成可持续发展能力.

参考文献：

［1］ 郑毓信，肖伯荣，熊萍. 数学思维与数学方法论［M］. 成都：四川教育出版社，2001.

［2］ 教育部考试中心. 以真情实景落实“五育并举” 以理性思维践行“立德树人”——2019年高考数学试题评析［J］. 中国考试，2019 （07）：7-10.

［3］ 章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续4）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］.中学数学教学参考，2019（28）：7-11.