规律教学的关键：观察、概括、证明与运用

张海华

摘 要：初中数学中规律教学无处不在，包括从具体的情境中抽象概括出新的数学概念，运算法则（规律）的总结，再到很多习题中的规律问题，等等.如何开展规律问题的教学值得深入研究.在进行八年级“探究两位数相乘的规律”的教学时，教师要辨析小学与初中的学段特征，引导学生观察、发现并概括规律，用含字母的符号语言进行描述，接着运用所学的整式乘法、因式分解等知识进行证明，最后运用规律解决新的问题.这样的解题教学过程就是带领学生“深度思考”的过程，同时，在解题教学的对话过程中，教师也要修炼和精进“善于聆听”的基本功.

关键词：规律教学；两位数相乘；深度思考；善于聆听

1 教学内容分析

人教版八上第十四章《整式的乘法与因式分解》的章末安排了“数学活动”，引导学生探究两位数相乘的规律.教材上两组活动都是由简单的数字计算出发，让学生探究这些结果中蕴含的可以用含字母的整式来表示的数学规律，并运用所学的整式乘法和因式分解等知识来解释或证明.本课内容的难点在于“恰当设元”，用含字母的等式表示所发现的规律，并规范证明含字母的等式成立.作为“学材再建构”的需要，这两个数学活动在规律发现、证明之后，还可补充两个规律的“图形直观”，让学生感受到本章前后教学的“一致性”（比如，完全平方公式的文字语言、符号表示与图形直观）.对于学情较好的班级，还可引导学生发现“将一个正数分成两个相等正数之和时，它们的积最大”.学生可以运用配方或图形直观的方法进行解释或证明.以下给出本课的教学设计，提供研讨.

2 “探究两位数相乘的规律”教学设计

活动1：探究形如（10a+5）（a为正整数）的两位数的平方的规律.

引例：让学生回顾小学三年级就练习过的速算题，比如15×15，25×25，35×35的结果是多少？

教学组织：学生应该很快能算出结果，接着出示教材上的一组算式（可利用PPT动画功能渐次出示）：

15×15＝1×2×100+25＝225，

25×25＝2×3×100+25＝625，

35×35＝3×4×100+25＝1225，

学生观察这组算式的运算规律时，可从不同的角度进行描述，看看哪些地方相同，哪些地方不同.经过讨论、交流，最终发现这三个式子都是十位数相同、个位数为5的两个相同的数相乘，也可以看成是15、25、35的平方.进一步观察计算过程，比如，结果的后两位是如何得到的？前几位是如何进行计算的？直到确认，每个算式结果的后两位都是25，25前的几位数是由十位数与比十位上的数大1的数相乘得到的.进一步，师生共同概括规律的文字语言（PPT出示）：十位上的数相同、个位上的数都为5的两个两位数相乘，其所得结果的后两位数就是25；原数十位上的数加上1，再与自己相乘得到的结果，就是写在25前的数字.

教师安排学生用含字母的式子简明表示以上规律，并板书在黑板上：

符号表示：（10a+5）²＝100a（a+1）+25（a为正整数）.

随后安排学生对所发现规律进行证明，只要等式左边、右边展开后能对应相等即可说明规律成立.

接着类比之前学习乘法公式时的经验，取出课前备好的学具，在黑板上演示上述规律的拼图，让学生感受“发现规律”的“图形直观”.

活动2：探究形如（10a+b）和（10a+10-b）（a、b为正整数的两位数）相乘的规律.

过渡：刚才我们已通过证明，得出以上猜想是正确的结论，现在请同学们继续快速计算以下算式：

55×55；53×57；38×32；84×86；71×79.

教学组织：学生计算出结果之后，教师在PPT上渐次出示，并排列对齐，与“活动1”的研究类似，经过讨论、交流，概括出如下规律：十位上的数相同、个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数与它加1的数的乘积作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位.

再引导学生用含字母的等式表示以上规律：

符号语言：（10a+b）（10a+10-b）＝100a（a+1）+b（10-b）（a、b为正整数）.

随后同样要求学生运用整式乘法的有关知识进行证明，将等式左边、右边展开后对应相等即可说明规律成立.

再利用PPT出示该规律的“图形直观”.

随后给出以下一组同类练习让学生利用发现的规律进行速算.

58×52；63×67；75²；95²；51×59；52×58；53×57；54×56；55×55.

活动3：“和为定值”的两个两位数相乘的规律.

从上述同类练习中选取一組算式，排列如下：

51×59＝3009，52×58＝3016，53×57＝3021，54×56＝3024，55×55＝3025.

教学组织：先提问“观察算式中两个数的积，这两个数的和有什么关系，这些积的大小有什么规律？”这个问题需要先让学生独立思考，然后再安排小组内交流讨论各自发现，最后再请小组代表上台讲解发现的规律.教师可以引导学生概括出规律“将一个正数分成两个相等正数之和时，它们的积最大”.如果课堂时间来得及，应该继续给出这个规律的符号语言，并安排学生运用所学乘法公式、因式分解等知识进行证明.

活动4：课堂小结，布置作业

小结问题：本课学习的两位数相乘的规律，有些规律是小学就已发现并且运用在速算中的，而本课学习时重点关注的是用字母表示这些规律的等式，并进行证明，你觉得为什么要这样做？

布置作业：

1. 计算：752＝                   ，计算：37×33＝                   .

2. 比较大小：135×165                   150×150，并说明理由.

3. 用长为100cm的绳子围成一个长方形，怎样确定长和宽，使得围成的长方形面积最大？

3 教学立意的进一步阐释

3.1 数学活动课要让学生经历观察、猜想、证明与运用的全过程

宁连华教授指出，学生的答题素养上的不足主要有：想得不深，变得不当，算得不好，写得不精.并提醒数学教学要重视以下四点：教深度思考，教合理变换，教运算思维，教精准表达.上文课例中的教学从学生在小学阶段就熟悉的两位数相乘的运算出发，关注运算思维，但又不只是训练速算技巧，而要重点引导学生观察、猜想出两位数相乘的规律，从特殊走向一般，用含字母的等式表示规律，并运用初中阶段所学习的整式乘法、因式分解等知识进行规律的证明，最后再利用所发现的规律解决更多的两位数运算问题，学生经历以上全过程之后，就是促进了学生“深度思考”.

3.2 数学活动课要重视师生对话、互动、追问与点评等教学预设

数学活动课的习题数量不需太多，关键在于带领学生深入思考，教师在课前要围绕典型问题充分预设，包括师生如何对话？怎样互动？特别是，预设学生可能会有怎样的回答，教师该如何追问或点评，课前充分预设，课上才能从容引导、借机点评.关于本文提到的数学活动课，特别要提及教师“善于聆听”的专业基本功.我国著名数学教育家钟善基先生曾指出，教师基本素养要重视聆听能力的提升.钟先生说：“关于聆听能力，这里指的是有准确地听清学生口头提出问题的内容的能力，和有准确地听清学生间互相讨论的内容的能力.有些低年级学生常常‘词不达意，教师必须能分辨清学生口头语言实质的正误，才能准确地答疑、补充或矫正错误又不致挫伤学生的学习积极性.”钟先生上述关于“聆听能力”的論述非常精辟，引发笔者强烈共鸣.上文课例几处教学环节中，都需要学生先用文字语言概括所发现的规律，但有些学生常常“词不达意”，如何分辨学生表达的正误，确实对教师的聆听、诊评等专业基本功提出了很高的要求.

参考文献：

［1］ 宁连华.指向核心素养的数学高考评价及教学转向审思［J］.中学数学月刊，2022（11）：1-4.

［2］ 钟善基.从教师的角度谈数学教学对教师的几项基本要求［J］.中学数学教学，1997（1）：1-5.