重视思维过程 促进定理获得

万海兵

摘 要：在直线与平面垂直的判定定理教学中，由定义中的“与任意一条直线垂直”到定理中的“与两条相交直线垂直”的跨越是教学的难点.本文从学科知识本质、学生认知基础、教学实施过程三个方面分析问题存在的原因，提出两种解决方案，使学生亲历化繁为简、以简驭繁的思维过程，发挥数学学科的育人功能.

关键词：直线与平面垂直的判定定理；教学思考；定理获得

1 问题提出

在《直线与平面垂直》的一节研讨课中，学生在老师的引导下概括出直线与平面垂直的定义，紧接着发现用直线与平面垂直的定义来判断直线与平面是否垂直不够简洁的问题，教师适时提出类比直线与平面平行的判定定理，将直线与平面垂直定义中的“与任意一条直线垂直”转化为“与有限条直线垂直”的问题.学生带着问题进入教材中（苏教版《普通高中教科书数学（必修第二册）》）折纸、旗杆与地面垂直情境的探讨，顺利得到直线与平面垂直的判定定理.纵观整个课堂，学生积极参与，课堂氛围轻松愉悦.

但探究直线与平面垂直的判定定理的过程中，有学生追问“怎么从任意一条直线就变成两条相交直线了？”确实，在教学中教师虽提出类比直线与平面平行的判定定理的探索过程，但折纸、旗杆与地面垂直的情境等都是教师提供，直接暗示了两条相交直线.笔者对出现该现象的原因，以及教学中如何改进进行了思考.

2 问题分析

学生能够对直线与平面垂直的判定定理的探究过程提出疑问值得肯定，这表明学生希望经历知识结论的探究和获得过程，而不是教师的“告诉”，学会数学的思维，是对数学学科核心素养的追求.

以下从学科知识本质、学生认知基础和教学实施过程三个方面对出现该现象的原因进行聚焦分析.

2.1 从学科知识本质上看，从任意到有限的跨越需要思维的降维转化

“在空间的种种性质中，最为基本而且影响无比深远者，首推对称性和平直性”，直线与平面的关系是维数不同的两类基本图形的关系，是联系维数相同的两类基本图形的桥梁，所以这是非常重要的^［1］.

从任意到有限的跨越是用于恰当数量、恰当条件的有限条直线的垂直关系去取代与任意直线的垂直，体现了思维的降维转化.学生具有相交垂直、异面垂直等认知基础.从维数上看，这是一维对象之间的垂直；学生具有线面垂直的直观经验，如旗杆垂直于地面，圆锥的轴线垂直于底面等，但缺乏线面垂直的理性认知.从任意到有限的跨越，是一维直线与二维平面之间的垂直转化为一维直线之间的垂直，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

2.2 从学生认知基础来看，学生缺乏对直线与平面垂直关系的理性认知

学生的认知基础包括他们在学习过程中所掌握的知识、技能和经验.理解直线与平面垂直的定义是本单元学生遇到的第一个难点.教材是这样安排的：圆锥的轴线是“直”的，那么如何用数学的方式刻画“直”？圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转而成，所以轴线与底面内每一条半径都垂直，更进一步，根据异面直线垂直的定义，直线与平面内任意一条直线垂直，从而归纳出线面垂直的定义.该定义的抽象程度高，学生对于定义的理解也仅仅是勉强接受，以定义为起点思考从任意到有限的跨越，对学生来说比较困难.

思考从任意到有限的跨越，一方面是学生对直线与平面垂直的定义理解有困难；另一方面是有限条直线，到底是几条，位置关系如何；两部分如何进行过渡，学生没有相应的载体支撑，更没有可借鉴的经验，所以处理起来有些棘手.

2.3 从教学实施过程来看，教师的教学行为没有落到学生的关注点上

教师在准确把握教材的基础上，需要根据学生的实际情况，对教材进行个性化的处理，围绕知识产生的本源性问题来探究，引导学生主动构建知识.

对于直线与平面垂直的判定定理的教学，要在“直观感知、操作确认”中通过多种途径的说理，体现出逻辑推理的成分，使判定定理成为逻辑思维的培养过程^［1］.

本节课老师向学生提出类比直线与平面平行的判定定理，将直线与平面垂直定义中的“与任意一条直线垂直”转化为“与有限条直线垂直”的问题后，带着学生进入折纸、旗杆与底面垂直情境的探讨.这样的处理并没有解决如何从任意到有限的问题，也错失了一次与学生探讨知识本源性问题的机会.教师需站在学生的角度，针对学生的认知基础，思考可能遇到的障碍，搭建脚手架来分解问题，帮助学生更好地理解和掌握这个思维过程.

3 问题解决

3.1 已有的解决方案

如何实现从任意到有限的跨越，现有文献采取的是以简驭繁方案，即首先通过情境探究直线与平面垂直的判定定理的内容，然后说明两条相交直线如何“替代”平面上所有直线.

如图1，人教A版《普通高中教科书数学（必修第二册）》是首先通过折纸情境探究感知，直线AD与平面α内的两条相交直线BD，DC都垂直时，直线AD垂直于平面α，然后由基本事实的推论2，平面α可以看成由两条相交直线BD，DC所唯一确定的，当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直^［2］.笔者认为：折纸情境直接暗示了两条相交直線，压缩了学生的探究空间；运用基本事实推论2解释两条相交直线“替代”平面上所有直线是升维转化，而线面垂直转化为线线垂直是降维转化，这样的处理容易产生思维的跳跃，而且两条相交直线BD，DC确定了平面α，那么直线AD垂直于BD，DC时，怎么保证直线AD与α内所有直线都垂直？

张士民老师采用的方式是教师首先引导学生从日常生活中的衣架、跨栏的架子、三角形纸片折叠总结出判定定理的内容，然后通过线面垂直的定义说明两条相交直线如何“替代”平面上所有直线.如图2，先固定BD，保证DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分绕着AD旋转，旋转过程中AD始终与平面α垂直，AD与平面α内任意一条过点D的直线都垂直，而平面α内不过点D的直线都可以通过平移移到点D，因此AD与平面α内任意一条直线都垂直^［3］.笔者认为：该方案的优点是回归线面垂直的定义，思路特别清晰，学生特别容易接受与掌握，不足之处是日常生活情境直接告知了两条相交直线，学生的探究空间太小.

侯学萍、王振平老师采用的方式是教师引导学生依次讨论直线与平面内一条直线、两条平行直线、两条相交直线的情形.如图3，在张士民老师的折纸情境的基础上，增加了翻折后的纸卡放在平面境上，观察折痕与其成像的环节，当折痕与其成像在一条直线上时，折痕与平面垂直，最后从线面垂直定义的角度来解释两条相交直线如何“替代”平面上所有直线.笔者认为：该方案的优点是学生依次讨论一条直线、两条平行直线、两条相交直线，这是符合学生思维的探究过程；平面镜的运用，为探究过程增加了亮点；不足之处是整个探究过程涉及多个情境，虽逻辑通顺，但不免有些“乱”.

邱瑶老师与侯学萍、王振平老师的处理过程类似，最大的亮点是教师引导学生结合平面向量基本定理，加深对直线与平面垂直判定定理的理解，使学生在未证明定理的情况下依然能够确认此定理的正确性.

张士民老师的折纸情境所发挥的作用得到教师们的认可；在折纸情境之前增加师生讨论环节，提升了学生探究的空间，有利于学生逻辑思维的培养；通过线面垂直的定义说明两条相交直线如何“替代”平面上所有直线，加深了学生对判定定理内容的理解；向量知识的运用更有锦上添花的效果.

如果能將讨论环节的情境与折纸情境有机融合在同一情境中，那么探究过程将显得更有序！同时是否可以直接从线面垂直的定义出发，探寻直线与平面垂直所需要的最少条件呢？

3.2 解决方法探析

探究直线与平面垂直所需要的最少条件，即探究平面内至少保留多少条直线，它们的位置关系如何.既然学生对理解直线与平面垂直的定义有困难，且缺少化多为少、化繁为简的经验，那么引导学生在熟悉的情境中，从简单情况开始研究，直观感知、操作确认，逐步积累处理问题的经验，达到以简驭繁的效果.在之前方案优点的基础上，笔者设计了一个新的折纸情境，整个探究过程在该情境中完成.

方案一：由少到多，从直线与平面内两条相交直线垂直到直线与平面内任意一条直线垂直.

第一步 探究线面垂直判定定理的内容

问题1：将矩形纸片折叠成两个矩形，将其中一个矩形置于桌面上（如图4），将桌面上的矩形分别对折一次（如图5），对折两次（如图6），思考直线l绕折痕a旋转过程中，直线l与各图中折痕的位置关系、直线l与平面α是否垂直？你能得出什么结论？

师生活动：学生独立思考、讨论交流后，师生共同总结得出：直线l绕折痕a旋转过程中，与所有折痕垂直，但直线l与平面α不能始终垂直，进一步得出平行线与一条直线等效的结论.

设计意图：平面内两条直线的位置关系有相交与平行，而平行关系是比较容易处理的情形.学生通过自己的操作发现平行与一条直线等效后，目光自然转向相交.问题的设置有助于学生加深定理中的“两条相交直线”的理解，感受一条直线驾驭无数条直线的效果.

问题2：将矩形纸片折叠成两个矩形竖立于桌面上（如图7），选择一个矩形对折一次（如图8）、对折两次（如图9），调整各图中纸片与平面α的交线之间的夹角，观察纸片与平面α的交线与直线l的位置关系、直线l与平面α是否垂直？你能得出什么结论？

师生活动：学生独立思考、讨论交流后，师生共同总结得出：纸片与平面的交线与直线l垂直；直线l与平面α内两条相交直线垂直，直线l与平面α垂直.

设计意图：学生通过自己的操作，直观感知直线只要垂直于平面内两条相交直线就可以垂直于平面，增加的交线可以作为冗余条件去掉，感受到平面内两条相交直线驾驭无数条直线的效果.学生在折纸活动中，动手实践、小组讨论，积累了基本活动经验，提升了数学抽象、直观想象、逻辑推理的学科素养.

第二步 说明两条相交直线如何“替代”平面上所有直线

如图7，固定直线a，直线b绕直线l旋转，旋转过程中l始终与平面α垂直.直线l与平面α内任意一条过点A的直线垂直，而平面α内不过点A的直线都可以通过平移移到点A，因此l与平面α内任意一条直线都垂直.

学生对理解直线与平面垂直的定义有困难，而判定定理本质上就是寻找直线与平面垂直的充分条件.探寻由繁到简方案，不可避免回到直线与平面垂直的定义，梳理定义的探究过程.

方案二：由多到少，从直线与平面内任意一条直线垂直到直线与平面内两条相交直线垂直.

问题1：如图10，直线l垂直于平面α，垂足为O.结合直线与平面垂直的定义过程，思考如何保留平面α内的部分直线，使得直线l依然垂直于平面α？

师生活动：引导学生阅读教材，在思考、讨论后得出：运用异面垂直的定义，在平面α内，过点O作所有与直线l异面的直线的平行线（如图11），那么直线l只要垂直于过点O的所有直线即可.

设计意图：回到定义上去是一项重要的思想活动.教材通过圆锥模型引出直线与平面垂直的定义时有这样一句话：“轴线与底面内的每一条半径都垂直，就有轴线垂直于底面内所有直线”，这句话蕴含了以简驭繁的思想，那么引导学生阅读教材，回到异面垂直的定义，将直线与平面内所有直线垂直转化为直线与平面内部分直线垂直也就顺理成章.

通过问题，学生经历了化繁为简的过程，完成了从任意到有限的跨越.几何画板的运用，帮助学生获取直观性材料，加深了对知识的理解与认识，提高了课堂的效率.

4 教学启示

4.1 教师对教学内容要有深入的理解

只有深入理解教学内容，才能帮助学生更好地理解和掌握教学内容.这种理解不仅仅是对知识点的记忆，更重要的是理解教学内容内在的逻辑、原理和应用.

从任意到有限的跨越，包含了丰富的培养学生理性思维的材料，如研究内容包含了直线的平行与垂直，直线与平面垂直；知识的背后蕴含了降低维度、化繁为简等数学思想；从高等数学的观点看，此内容是二维线性空间的特例，平面向量基本定理表明，用两个不共线的向量可以张成整个平面.学生领会了知识背后蕴含的思想方法，对直线与平面垂直的判定定理的构建就更清晰了.

4.2 教学方法的选择要符合学生的认知规律

選择和运用符合学生认知规律的教学方法，对有效突破教学难点，提高教学效果至关重要.为了帮助学生实现从任意到有限的跨越，笔者充分考虑学生的背景知识、经验、学习能力和兴趣，设计了两个解决方案：

“化繁为简”方案的三步：“回到定义”是考虑到学生的背景知识；“寻找原型”是考虑到学生的经验；“抽页游戏”是考虑到学生的学习能力和兴趣.三步层层递进，尤其是抽页游戏，激活学生思维，有效突破学生理解障碍.“以简驭繁”方案是在折纸情境中分别讨论平面内直线平行与相交两种位置关系，在考虑学生学习能力和兴趣的前提下，让学生动手实践，积累了基本活动经验，有效突破难点.两个方案在学生的最近发展区发展分析能力，提升学生的逻辑推理素养.

4.3 充分发挥一般观念对学生认知的引领作用

为了在课堂中有效落实数学学科核心素养，教师必须提高教学的品味，关键举措之一就是要加强对一般观念的指导，因为这些一般观念可以给人以发现的眼光、洞察本质的智慧、用数学分析和解决问题的思想方法^［1］.

笔者设计的两个解决方案是在“直线与平面的垂直关系转化为直线与平面内直线的垂直关系进行研究”“研究判定定理就是研究直线与平面垂直的充分条件”等“一般观念”的指导下，引导学生在系列化的情境中自主探索与发现.“化繁为简”方案的探究过程蕴含了回归定义，由复杂到简单、化生疏到熟悉等化归思想.“以简驭繁”方案的探究过程蕴含分类讨论思想，归纳思想.学生在合作学习中运用各种数学思想进行深入探究，实现从任意到有限的跨越.

参考文献：

［1］ 章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］ 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书：数学A版 必修 第二册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 张士民.基于感性发展理性 培养创新意识——“直线与平面垂直”的教学设计与反思［J］.数学通报，2012，51（10）：23-27.

［4］ 侯学萍，王振平.彰显创新意识的教学设计——直线与平面垂直的判定［J］.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013，26（6）：138-140.

［5］ 邱瑶.“直线与平面垂直的判定”教学设计［J］.中国数学教育，2020（10）：42-46.