立足课堂问题链，提升数学核心素养

叶雯雯

摘 要：数学核心素养如何落地生根成为数学课程改革的重要命题，数学问题链教学无疑是其重要抓手之一.本文以“四心背景下的解三角形问题”这节复习课教学为例，谈如何通过问题链设置帮助学生解决问题，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.

关键词：问题链；核心素养；复习课教学

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》实施建议指出，在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题.在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展^［1］.因此教师应该根据教学目标，精心设计一系列问题，将教学内容以问題链的形式呈现，引导和推动学生进行思考和研究，从而使学生获得知识和能力.通过课堂问题链设置，让学生在问题的解决中学会学习，学会思考，真正成为学习的主人；通过课堂问题链设置，教师在教学中落实对学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等核心素养的培养，从而提高教学质量.近年来，笔者就如何通过问题链设计来提升数学学科核心素养进行了大量的思考和丰富的实践，本文以“四心背景下的解三角形问题”的教学为例来展示笔者的一些实践和思考.

2 “四心背景下的解三角形问题”的教学实践

厦门市2023届高三毕业班第二次质量检测卷的第17题第2问是关于四心背景下的解三角形问题，满分6分，全市均分1.48分，我校均分0.94分，说明不仅我们学校，全市学生对于这块知识的掌握都是非常薄弱的.因此笔者从这道题出发，上了一节四心背景下的解三角形问题的复习课.整节课教师以问题为导向，通过给出思考路径让学生寻找要求的量与已知量的关系，让学生拾阶而上，形成思维导图，教学生学会“想”；以订正为抓手，抓住三个到位——点拨到位，练习到位，巩固到位，通过环环相扣的变式引发学生思考，教学生学会“做”；以素养为目标，通过知识储备——解三角形相关公式、定理和三角形的四心性质，进行知识间的转化，提升了学生直观想象、逻辑推理、数学运算素养，教学生学会“用”；以小组合作学习的方式，增加课堂中的生生互动，逐步促进学生的深度学习和集体知识建构，教学生学会“说”.

2.1 复习旧知，剖析思路

例题：△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2a-c=2bcosC.

（1） 求B的大小.

（2） A的角平分线与C的角平分线相交于点D，AD=3，CD=5，求AC和BD.

问题1：同学们在做第二问的时候遇到了什么困难？

追问1：请同学们思考要求的AC需要放在哪个三角形，借助什么定理来解决.

追问2：现在还缺少一个∠ADC的值，如何求呢？∠ADC与已知的∠B有何关系？

学生活动：学生根据题目所给信息画出图形，并在教师的层层追问下根据图形找到本题的难点及突破口.

设计意图：从学生做过的考试题目入手，引入本节课的学习.学生解题的难点在于在多个三角形背景下，不知如何解三角形，感觉眼花缭乱无从下手.因此教师引导学生将题目的已知条件图形化，将抽象变形象，更直观地看出三角形中边角之间的关系，体现了数形结合思想，提升了学生的直观想象素养.接着引导学生思考：要求的量可以放在哪个三角形中解决，从而锁定目标；再思考要利用我们学过的定理、公式、性质来求解还缺少什么量，如何求这个量，通过层层追问启发学生思考，从而突破本节课的难点.这里体现了一种转化与化归的思想，提升了学生的逻辑推理素养.这个教学环节是结构化教学中的“教结构”的过程，即教会学生要解决此类问题必须先作图，再根据老师提供的问题链结合图形特征进行思考，这里体现了文字语言、图形语言与符号语言转化的能力，为后续的“用结构”做铺垫.

问题2：请同学们类比求解AC的思考方式思考：要求的BD需要放在哪个三角形？借助什么定理来解决？

追问1：现在还缺少一个∠BAD的值，如何求呢？∠BAD与∠DAC有何关系？

追问2：如何在△DAC中求∠DAC？

学生活动：请同学们类比前面的思考路径继续研究.请同学们先独立思考后，再小组讨论，最后请同学们汇报研究成果.

设计意图：求BD的方法有很多，这节课主要介绍两种解决方法，一种是借助角平分线和正弦定理；一种是利用角平分线的交点就是三角形的内心，它还具有到各边的距离相等这一性质，并结合正弦定理、面积公式来解决.问题2及其追问的设置在于引导学生利用方法一解决问题，这里采用了结构化教学中的“用结构”，让学生学会学以致用.利用问题链——要求的量可以放在哪个三角形解决？借助什么定理、公式解决？缺少的量如何通过转化与化归思想解决？也给学生提供小组合作学习的支架，让学生通过小组讨论来增加生生互动，进一步巩固所学的知识，让学生通过讨论后汇报来增加师生互动，给予学生更为充分的参与课堂的机会，让学生真正成为学习的主人.

问题3：同学们还有其他方法求BD吗？

追问1：角平分线的交点就是三角形的内心，内心还有什么其他性质？

追问2：能否借助内心到各边的距离相等来求解？如何求解？

追问3：要求的BD需要放在哪个三角形？借助什么定理来解决？

追问4：现在还缺少点D到AB的距离，如何转化呢？

追问5：在△DAC中如何求点D到AC的距离？

学生活动：学生在老师的层层追问下，努力思考解决问题的方法.接着先自己尝试解决，再小组讨论，相互分享研究成果，最后讨论后汇报.

设计意图：问题3主要是利用方法二解决问题.本节课的学习是环环相扣的，这里的学习环节不仅是再次“用结构”的过程，也为后续变式训练中垂心的学习起铺垫作用.观察图形特点来求解三角形，体现了数形结合思想，提升了学生的直观想象素养；利用等面积法求点D到AC的距离，体现了函数与方程的思想，提升了学生的数学运算素养；利用问题链引导学生思考，体现了转化与化归的思想，提升了学生的逻辑推理素养；利用一题多解开阔学生的思路，发散学生的思维，也有助于提升核心素养.

2.2 类比迁移，固化思维

变式训练：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=6，b+12cosB=2c.

（1） 求A的大小；

（2） M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，                       ，求△ABC的面积.

请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.

追问3：∠AMB与∠C有何关系？

学生活动：让学生先独立思考，再小组合作学习讨论各自的思路，最后讨论后汇报.

设计意图：这又是再次“用结构”的过程，继续通过层层的追问引发学生思考，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑推理素养，继续巩固学生数形结合的能力，培养学生直观想象的素养.

2.3 学以致用，发散思维

接着我们将关注问题二中外心问题.

问题5：外心是什么？具有什么性质？AM在这道题里的几何意义是什么？

追问2：因此，这样的三角形存在吗？

追问3：如果将条件AM=4去掉，如何求△BMC的面积？

问题6：若M为△ABC的重心，AD=4，问△ABC的面积是多少？

追问1：重心是什么？

追问2：如何借助中线这一条件来求三角形的面积？你有几种做法？

追问3：我们列出了两个未知数，两个方程，怎样快速求出ab的值？

追问4：△BDM的面积是多少？

最后我们关注问题二中内心问题的解决上.

问题7：通过前面的学习我们知道，三角形的内心就是角平分线的交点，因此通过所给题目的图形特点你想借助什么定理或者公式来解决？

追问1：当我们看到中线的时候一般会想到利用向量的中线定理，当我们看到角平分线的时候我们还可以用等面积法，借助等积法同学们能否思考下这道题的第三小问如何解决？

追问2：类比前面的学习，当我们列出了两个未知数两个方程的时候，怎样快速求出ab的值？

学生活动：先让学生独立思考，再小组合作学习讨论各自的思路，最后讨论后汇报.

设计意图：学以致用，发散思维这一环节主要研究外心、重心、内心等问题，这里继续巩固了学生数形结合的能力，培养学生直观想象的素养.对于垂心和内心的这两个问题，对于特殊图形我们有时候还可以采用中线定理、等积法来解决，通过问题链的引领和方法的介绍完善学生的知识体系，培养了学生函数与方程、数形结合、转化与化归的数学思想方法，培养了学生数学运算、直观想象和逻辑推理核心素养.

2.4 小結反思，提高认识

问题8：通过这节课的学习，你有何收获？还存在哪些疑惑？

学生活动：请学生单独发表各自的想法.

设计意图：通过谈收获，进一步巩固今天所学的知识和方法，通过谈疑惑，让老师对学生掌握的情况做到心中有数，同时可以将学生的疑惑布置成当天的作业，通过问老师、问同学、查资料等多种方式解决，激发学生的求知欲.

3 教学思考

本节课属于复习课，教师在基于“问题链”的教学中，以问题为纽带，以知识形成、发展和培养学生思维能力为主线，以师生、生生互动为基本形式，从而激发学生的思维活动，发展自身的数学核心素养，这也为今后探究复习课提供模式化的思路与方法.

3.1 以问题链教学为路径，引领课堂教学

问题是数学的心脏，章建跃博士说，以问题引导学习应当成为数学教学的一条基本原则，教学中以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，设计前后一致、逻辑连贯的问题链，让学生进入思维的轨道，在问题链的引导下，积极主动分析、思考、探究、解决问题，最终深刻地掌握数学知识^［3］.本节课中，对于在多个三角形背景下的解三角形问题，学生解题的困难在于三角形太多，无从下手，因此教师给出思考路径：要求的量放在哪里三角形研究？利用什么定理、公式解决？还缺什么量？如何求？层层追问，引导学生根据这一思考路径在茫茫三角形中锁定目标，找到已知条件与结论之间的关系，以及解本道题的关键点，从而突破学生不懂在多个三角形背景下怎么解三角形问题这一难点.因此，教师在教学中遇到学生的难点，可以通过设计层层递进的问题链帮助学生突破思维的难点，对于解题类的教学可以让学生思考：题目里有什么？能得到什么？这题要让我们求什么？需要什么？建立知识与知识的联系，在问题的解决中不仅能提升学生的知识建构能力，培养学生发现问题—提出问题—解决问题的能力，还能助力学生提升思维能力.

3.2 以结构化教学为手段，注重知识迁移能力的提升

叶圣陶先生说过：“教不是为了教.”新课标也要求教师既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习.因此，课堂教学中，教师最主要的任务是教会学生学会学习，注重学生知识迁移能力的培养和提升^［4］.笔者认为结构化教学是落实这一任务的有效手段.教师可以通过结构化教学让学生形成结构化的思维，学生在应用结构化思维解题和学习中对知识产生深层次的理解，培养应用迁移的能力，提高了解题质量和学习能力.在“四心背景下的解三角形问题”教学中，教师设置问题1让学生明确研究此类问题的思考路径，接着学以致用迁移到问题2，3，4的解决上.结构化的教学模式，不仅可以减轻学生数学课程学习的压力，还能提高学生知识迁移的能力、数学学习信心及数学课堂学习效率.

3.3 以思维导图为抓手，构建知识结构

在传统的数学教学中，教师一般侧重于各个知识点的讲解，学生很难理清知识点间的联系，导致学生学习效率低下.因此在教学中，教师可以恰当运用思维导图，让学生借助图中简洁明确的关键词抓住本节课的重点，提高学习效率；运用思维导图对课程资源进行整合，帮助学生建构知识结构，促进学生的逻辑思维能力和创造力.本节课教师通过问题链设计和追问串联课堂，在分析问题和解决问题的过程中将本节课的研究和发现从四个角度——知识储备、思考路径、数学思想方法、核心素养以思维导图的形式呈现.这节课的学习学生学了什么一目了然，并将所学知识、方法与素养之间的关系建立起了联系，为后续的学习起铺垫作用.

3.4 以小组合作学习为方法，增加课堂中的生生互动

小组合作是教师上课常采用的教学模式之一，但经常有这样一个困惑，为什么抛出问题让学生讨论，而学生不讨论或无从讨论？笔者觉得主要是由于有些较难的问题教师没给学生提供问题支架，学生无从下手，因此难度较大的问题教师可以将大问题细化为一个个相互关联的、层层递进的小问题，这时就可以放手让学生自主探究、小组合作，帮助学生突破难点.同时数学知识、方法很多都是类似的，因此在解决类似问题的时候可以引导学生利用类比即“用结构”的方法来解决，这时可以再次让学生自主探究、小组合作，在此环节对于学习能力强的学生教师可以不给学生建立问题支架，让学生模仿前面所解决的问题自己建立支架.学生在学会解决一个问题的基础上，学会解决一类问题，懂得学以致用.因此，问题链设计和结构化教学都为小组合作提供了基础.教师在课堂上通过问题串给学生提供研究路径，让学生采用小组合作的形式，逐步促进学生的深度学习和集体知识建构，让学生体会“跳一跳，摘得到”的快乐.

3.5 以核心素養为目标，进一步提升课堂生成的高度

研究表明，近十几年来，我国进行的教育课程改革经历了三个阶段的重要转变，从最初的“改变效率”，实现课堂教学效率由低到高的转变，到随后的“改变关系”，实现了教学关系从讲授到学习、从教师到学生的转变，再到今天的“改变意义”，实现从关注知识到关注能力的转变^［5］.核心素养已成为本轮课程改革的重点，作为教师的我们需要积极深入教育改革，将核心素养与数学学科知识有机地联系起来，通过不断改革和创新教学方式，让数学核心素养在课堂中有效“落地”，并在学生的学习过程中生根发芽.本节课教师在教学过程中通过学生作图，培养学生数形结合的思想，提升了学生直观想象的素养；通过问题链和追问的方式，帮助学生加深对问题的理解，有利于提高课堂的深层性，让课堂更具活力，提升了学生的逻辑推理素养.学生有了思路后，让学生独立运算，提升了学生的数学运算核心素养.

参考文献：

［1］ 唐恒钧，张维忠.数学问题链教学：缘起、进展与展望［J］.中学数学教学参考，2021（16）：71-73.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社， 2018.

［3］ 章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013，52（6）：5-8+66.

［4］ 余树宝，朱超奇.注重以生为本 加强知识迁移—对2022年高考数学全国乙卷函数题的探究［J］.中学数学教学参考，2023（7）：73-76.

［5］ 杨志强.核心素养如何在生物学课堂中落地生根—— 参加“四 新”会议有感［J］.中学生物教学，2018（17）：70-71.