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创设主题情境 深度建构概念

2023-03-24高珺石榴邵汉民

教学月刊·小学数学 2023年3期
关键词:倍的认识

高珺 石榴 邵汉民

【摘   要】“倍”是一个重要的数学概念,它可以表示两个量之间的比较关系。在教学人教版教材三年级上册“倍的认识”时,教师可以以学生的已有知识与生活经验为基础,由“相差关系”引出“倍数关系”,引导学生感知倍的认识;再通过取球活动等例子丰富学生对“倍”的感知,从而建立“倍”的概念;最后让学生结合巩固拓展练习,强化倍的认识。

【关键词】主题情境;深度构建;倍的认识

“倍的认识”是人教版教材三年级上册第五单元第1课时的教学内容。在此之前,学生已经学习了乘法与除法的含义,在日常生活中对“倍”有初步的生活化了解,这些都为本节课的学习奠定了基础。“倍”可以表示两个量进行比较时的一种关系,它与学生已学的“相差关系”既有联系,又有本质区别。如何创设真实情境,引导学生区分“倍的关系”与“相差关系”?如何通过活动,不断地丰富学习素材,有效揭示“倍”的本质含义?带着这些问题,笔者进行了教学实践。

一、创设情境,感知倍的认识

“倍”与“差”都是描述两个量大小关系的基本方法,但两者又有着本质的区别。“差”是两个量比较时去掉同样多的部分后,描述两个量之间多或少的部分。“倍”则需要把“较小的量”看成一个整体,再描述“较大的量”中有几个这样的整体。教师通过引导学生观察两个不同大小的袋子,然后比较里面球数量的多少,在不断细化比较的过程中,由“相差关系”引出“倍数关系”。

(一)直观比较,表达差的关系

教学伊始,教师让学生观察挂在黑板上的两袋球(球大小相同),一袋是黄球,一袋是红球(如图1)。观察后,请学生说一说两袋球有什么关系?学生先后回答:红袋子里球多、黄袋子里球少;红袋里球的数量比黄袋的多;黄袋里球的数量比红袋的少。教师板书:红球比黄球多。

(二)改变情境,感知倍的关系

学生通过观察袋子的大小,推导出两个袋子里球的多少关系,在此基础上,教师把大袋子里面的红球分成3袋(每袋球同样多),由图1变为图2,让学生再一次观察,并引导学生思考:说一说,又发现了什么关系?

有学生按相差关系的思路指出“红球比黄球多2袋”,教师板书后追问:“是怎样发现的?”学生指出:红球中去掉与黄球同样多的1袋后,剩下的2袋就是多出来的。有学生发现“红球是黄球的3倍”,教师板书后让学生说明。学生指出:先把黄球看成“1份”,红球有这样的“3份”,就是“3倍”。教师依据学生的回答,在图中分别圈一圈,然后划分“3份”与“3倍”(如图3),提问:“这里的‘3份’与‘3倍’意思相同吗?”学生依据图式,指出“3份”只是指红球的“3袋”,而“3倍”则是指红袋中球的个数与黄袋中球的个数之间的关系。

一般地,我们会认为“分数”才有表示“数量”与“关系”这两种含义。实际上,整数与小数也同样表示这两种含义。上述环节,“3倍”中的“3”表示的就是一种关系。

(三)比较“差”“倍”,规范倍的表达

教师先请学生观察图3中的图式与板书,进一步指出,上一句叫作“相差关系”,下一句是“倍数关系”。接着让学生说一说表示“相差关系”与“倍数关系”的关系句有什么区别,并引导学生观察图。从图中,学生发现:“相差关系”是找到同样多的部分,再记录相差的部分;“倍数关系”是先圈出“1份”与“几份”,再记录“(   ; )是(    )的几倍”。最后引导学生从文字中找区别,学生发现:“相差关系”用“比”连接两个数,用“多几袋”(或“少几袋”)表示比较的结果;而“倍数关系”用“是”连接两个数,用“谁是谁的几倍”表示结果。教师在关系句中把学生找到的表示区别的字的下面加点(如图4),并请学生齐声朗读,其中加点的字重读。学生朗读时,教师在图3中指出相应文字在图式中的含义,让学生感受数形结合、相互表征的意义。

值得注意的是,在表示图3中红球与黄球的关系时,学生的回答中如果出现“红球比黄球多2倍”这样的表述,教师应及时用副板书的形式记录在旁边,不做重点分析。在比较了图4中的关系句后,教师可以追问:“那么这一句关系句表示什么关系呢?”结合图式引导学生发现,这实际上是表示倍数关系,完整地说是“红球比黄球多的是黄球的2倍”。然后,教师在相应的位置加上点(如图5),请学生再次齐声朗读图4与图5中的关系句,一边朗读一边体会两种关系的相同点与不同点。如果课堂中没有出现这样的关系句,就不刻意引出。

二、结合操作,深化倍的认识

结合具体例子,由“相差关系”引入“倍数关系”,让学生初步感知倍数关系的基本含义。在此基础上,结合操作活动,丰富“倍数关系”的表征,加深学生对倍的认识。

(一)取球活动,积累活动经验

教师从装黄球的袋子里面拿出1个黄球,粘贴到图3的右边处,并提问:“现在袋子里面红球的个数还是黄球的3倍吗?为什么?”请学生观察后判断,学生都认为不是,因为现在每个红袋里面球的数量与黄袋中球的数量不相等了。教师追问:“那你有什么办法,使红球的个数还是黄球的3倍?”有学生提出从每个红袋中取出1个球。教师依据学生的描述从每个红袋里面各取出1个红球,粘贴到图3的右边,形成图6的图式。请学生观察图6,模仿图4中的两种表述方式,说一说红球个数与黄球个数的关系。学生指出“红球比黄球多2个”“红球是黄球的3倍”。再请学生分别在图式中划一划,划出相差关系;圈一圈,圈出倍数关系(如图7的左边部分)。

接着,教师从图3的黄袋子里面取出2个球,粘贴到图6板书的右边,提问:“这时红球还是黄球的3倍吗?如果不是,怎样取球可以保证红球还是黄球的3倍?”按上一次取球的經验,学生回答,教师操作,最后观察并说明取出的球的关系,得到如图7的右边部分。

(二)观察图式,发现变化规律

两次取球活动,学生经历两次从不是3倍关系到成为3倍关系,又从取出的球中进行了两次红球个数与黄球个数的比较,积累了发现“倍数关系”特征的素材。

教师请学生观察图3和图7中的三组关系句,提问:“说一说有什么发现?”学生比较后发现,这三个图式中“多的数”在变化,但是“倍数”却是相同的。顺着学生对规律的表达,教师板贴图8的色条图,追问:“是不是可以用这样的图式表示‘红球是黄球的3倍’呢?为什么?”学生通过思考,认为可以用这样的图式表示,因为从图中可以知道,黄球是1份,红球有这样的3份,就是“3倍”。

由具体的“袋”到直观的“个”,再到抽象的色条,让学生逐步认识“倍”是两个数之间进行“份”的比较。

(三)适度提炼,深化倍的认识

在前面的学习过程中,教师围绕两种球数量的比较,由“相差关系”引出“倍数关系”,让学生在由具体的“3倍”转向抽象的“3倍”的认识过程中,加深对“倍”的认识。在此基础上,再通过图8中表示红球与黄球的色条长短的变化,引导学生说一说红球个数与黄球个数之间的关系,进一步深化他们对倍的认识。

教师依次出示图9中的色条图,让学生说一说,这几个色条各表示“红球个数是黄球的几倍”。在学生回答后,要求学生想一想,为什么红球的个数不变,但是红球个数与黄球个数的倍数关系却不相同?学生比较讨论后发现,是因为比较的标准量不同,所以会有不一样的倍数关系,并特别指出“1倍”表示两个数相等,从而认识到“倍”不仅仅表示“较大数”与“较小数”的关系,还可以表示两个数的相等关系。

“倍”既是一个数学概念,也是一个日常用词,学生对倍有一定的生活经验。基于此,教师让学生结合实例认识倍,再丰富例子,逐步揭示倍的本质,以及表示倍的基本思路。

三、巩固拓展,强化倍的认识

本节课学习的“倍”是结合具体图式,在乘法意义的背景下学习的。下面的巩固与拓展环节,采用结合具体图式或自主画图表征等策略,强化学生对倍的认识。

(一)边圈边填,巩固倍的内涵

教师出示图10的习题,先让学生按要求独立完成,再展示学生的典型作品。前两小题都是把3个苹果看成“标准”,即1份,那么桃子的个数有这样的2份,也就是“2个3”,所以“桃子的个数是苹果的2倍”。同理,梨的个数有这样的6份,也就是“6个3”,所以“梨子的个数是苹果的6倍”。这里把“几倍”和“几个几”建立联系,引导学生体会“倍”是“几个几”的乘法含义的延伸。第三小题让学生自主发现图中存在的倍数关系,学生通过有序思考能发现梨和桃子之间也有倍数关系,即梨的个数是桃子的3倍。练习后,引导学生比较,为什么同样都是18个梨,有时候是3倍关系,而有时候却是6倍关系?再一次让学生感受“标准”的变化会引起倍数的变化。

(二)边画边比,拓展倍的外延

在结合图式与操作认识倍的过程中,学生已經有了一定的构建倍的学习经验,即把较小的一个数看成“1份”,较大的一个数有这样的几份,就是较大的数是较小数的几倍。依据这样的经验,让学生按要求自主操作,创造“倍”。

教师出示图11,先请学生按要求想一想:画出一个怎样的倍数关系;接着画一画:画出想好的倍数关系;然后把这一种倍数关系填入关系句。独立完成后,再在四人小组中说一说。

最后分类展示学生的作品,并进行评析。第一类,以4个△为标准,得出“○的个数是△的几倍”,这时的倍数关系没有限制,可以是1倍、2倍、3倍……第二类,以学生自己画的○为标准,得出“△的个数是○的几倍”,这时存在1倍、2倍和4倍的关系。

(三)边数边思,拓宽倍的应用

“周长”与“面积”是学生需要学习的两个重要的图形测量的概念。教师借助图12,要求学生结合对具体图形的观察,发现两个图形共同的数学特征,并用倍进行表达,为后续学习这两个概念做适当的铺垫。

教师出示图12,提问:“说一说这两个图形有什么共同的地方?”学生指出,都是用小棒围成的正方形。教师追问:“又有什么不同的地方?”学生指出,用的小棒的根数不同,围成的图形的大小不同。教师进一步提出要求:请用“倍”分别描述它们的不同点。

用数学的语言表达现实世界,是数学核心素养表达中的“三会”之一。“倍的认识”的价值就是可以帮助学生辨别两个事物某一特征之间的区别与联系。

本节课的教学启示我们:课堂中数学新知的学习从来都不是“全新”的,它总是与已有的学习基础和生活经验相联系。因此,教师需要寻找到新知与旧知、数学与生活之间的连接点,选择合适的学习材料,创设有利于凸显连接点的问题情境,让学生在观察、思考与表达的过程中,获得数学新知,提升学习能力。

(1.浙江省杭州市长青小学2.浙江省杭州市安吉路教育集团新天地实验学校3.浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学)

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