创设主题情境 深度建构概念

高珺 石榴 邵汉民

【摘   要】“倍”是一个重要的数学概念，它可以表示两个量之间的比较关系。在教学人教版教材三年级上册“倍的认识”时，教师可以以学生的已有知识与生活经验为基础，由“相差关系”引出“倍数关系”，引导学生感知倍的认识；再通过取球活动等例子丰富学生对“倍”的感知，从而建立“倍”的概念；最后让学生结合巩固拓展练习，强化倍的认识。

【关键词】主题情境；深度构建；倍的认识

“倍的认识”是人教版教材三年级上册第五单元第1课时的教学内容。在此之前，学生已经学习了乘法与除法的含义，在日常生活中对“倍”有初步的生活化了解，这些都为本节课的学习奠定了基础。“倍”可以表示两个量进行比较时的一种关系，它与学生已学的“相差关系”既有联系，又有本质区别。如何创设真实情境，引导学生区分“倍的关系”与“相差关系”？如何通过活动，不断地丰富学习素材，有效揭示“倍”的本质含义？带着这些问题，笔者进行了教学实践。

一、创设情境，感知倍的认识

“倍”与“差”都是描述两个量大小关系的基本方法，但两者又有着本质的区别。“差”是两个量比较时去掉同样多的部分后，描述两个量之间多或少的部分。“倍”则需要把“较小的量”看成一个整体，再描述“较大的量”中有几个这样的整体。教师通过引导学生观察两个不同大小的袋子，然后比较里面球数量的多少，在不断细化比较的过程中，由“相差关系”引出“倍数关系”。

（一）直观比较，表达差的关系

教学伊始，教师让学生观察挂在黑板上的两袋球（球大小相同），一袋是黄球，一袋是红球（如图1）。观察后，请学生说一说两袋球有什么关系？学生先后回答：红袋子里球多、黄袋子里球少；红袋里球的数量比黄袋的多；黄袋里球的数量比红袋的少。教师板书：红球比黄球多。

（二）改变情境，感知倍的关系

学生通过观察袋子的大小，推导出两个袋子里球的多少关系，在此基础上，教师把大袋子里面的红球分成3袋（每袋球同样多），由图1变为图2，让学生再一次观察，并引导学生思考：说一说，又发现了什么关系？

有学生按相差关系的思路指出“红球比黄球多2袋”，教师板书后追问：“是怎样发现的？”学生指出：红球中去掉与黄球同样多的1袋后，剩下的2袋就是多出来的。有学生发现“红球是黄球的3倍”，教师板书后让学生说明。学生指出：先把黄球看成“1份”，红球有这样的“3份”，就是“3倍”。教师依据学生的回答，在图中分别圈一圈，然后划分“3份”与“3倍”（如图3），提问：“这里的‘3份’与‘3倍’意思相同吗？”学生依据图式，指出“3份”只是指红球的“3袋”，而“3倍”则是指红袋中球的个数与黄袋中球的个数之间的关系。

一般地，我们会认为“分数”才有表示“数量”与“关系”这两种含义。实际上，整数与小数也同样表示这两种含义。上述环节，“3倍”中的“3”表示的就是一种关系。

（三）比较“差”“倍”，规范倍的表达

教师先请学生观察图3中的图式与板书，进一步指出，上一句叫作“相差关系”，下一句是“倍数关系”。接着让学生说一说表示“相差关系”与“倍数关系”的关系句有什么区别，并引导学生观察图。从图中，学生发现：“相差关系”是找到同样多的部分，再记录相差的部分；“倍数关系”是先圈出“1份”与“几份”，再记录“（   ; ）是（    ）的几倍”。最后引导学生从文字中找区别，学生发现：“相差关系”用“比”连接两个数，用“多几袋”（或“少几袋”）表示比较的结果；而“倍数关系”用“是”连接两个数，用“谁是谁的几倍”表示结果。教师在关系句中把学生找到的表示区别的字的下面加点（如图4），并请学生齐声朗读，其中加点的字重读。学生朗读时，教师在图3中指出相应文字在图式中的含义，让学生感受数形结合、相互表征的意义。

值得注意的是，在表示图3中红球与黄球的关系时，学生的回答中如果出现“红球比黄球多2倍”这样的表述，教师应及时用副板书的形式记录在旁边，不做重点分析。在比较了图4中的关系句后，教师可以追问：“那么这一句关系句表示什么关系呢？”结合图式引导学生发现，这实际上是表示倍数关系，完整地说是“红球比黄球多的是黄球的2倍”。然后，教师在相应的位置加上点（如图5），请学生再次齐声朗读图4与图5中的关系句，一边朗读一边体会两种关系的相同点与不同点。如果课堂中没有出现这样的关系句，就不刻意引出。

二、结合操作，深化倍的认识

结合具体例子，由“相差关系”引入“倍数关系”，让学生初步感知倍数关系的基本含义。在此基础上，结合操作活动，丰富“倍数关系”的表征，加深学生对倍的认识。

（一）取球活动，积累活动经验

教师从装黄球的袋子里面拿出1个黄球，粘贴到图3的右边处，并提问：“现在袋子里面红球的个数还是黄球的3倍吗？为什么？”请学生观察后判断，学生都认为不是，因为现在每个红袋里面球的数量与黄袋中球的数量不相等了。教师追问：“那你有什么办法，使红球的个数还是黄球的3倍？”有学生提出从每个红袋中取出1个球。教师依据学生的描述从每个红袋里面各取出1个红球，粘贴到图3的右边，形成图6的图式。请学生观察图6，模仿图4中的两种表述方式，说一说红球个数与黄球个数的关系。学生指出“红球比黄球多2个”“红球是黄球的3倍”。再请学生分别在图式中划一划，划出相差关系；圈一圈，圈出倍数关系（如图7的左边部分）。

接着，教师从图3的黄袋子里面取出2个球，粘贴到图6板书的右边，提问：“这时红球还是黄球的3倍吗？如果不是，怎样取球可以保证红球还是黄球的3倍？”按上一次取球的經验，学生回答，教师操作，最后观察并说明取出的球的关系，得到如图7的右边部分。

（二）观察图式，发现变化规律

两次取球活动，学生经历两次从不是3倍关系到成为3倍关系，又从取出的球中进行了两次红球个数与黄球个数的比较，积累了发现“倍数关系”特征的素材。

教师请学生观察图3和图7中的三组关系句，提问：“说一说有什么发现？”学生比较后发现，这三个图式中“多的数”在变化，但是“倍数”却是相同的。顺着学生对规律的表达，教师板贴图8的色条图，追问：“是不是可以用这样的图式表示‘红球是黄球的3倍’呢？为什么？”学生通过思考，认为可以用这样的图式表示，因为从图中可以知道，黄球是1份，红球有这样的3份，就是“3倍”。

由具体的“袋”到直观的“个”，再到抽象的色条，让学生逐步认识“倍”是两个数之间进行“份”的比较。

（三）适度提炼，深化倍的认识

在前面的学习过程中，教师围绕两种球数量的比较，由“相差关系”引出“倍数关系”，让学生在由具体的“3倍”转向抽象的“3倍”的认识过程中，加深对“倍”的认识。在此基础上，再通过图8中表示红球与黄球的色条长短的变化，引导学生说一说红球个数与黄球个数之间的关系，进一步深化他们对倍的认识。

教师依次出示图9中的色条图，让学生说一说，这几个色条各表示“红球个数是黄球的几倍”。在学生回答后，要求学生想一想，为什么红球的个数不变，但是红球个数与黄球个数的倍数关系却不相同？学生比较讨论后发现，是因为比较的标准量不同，所以会有不一样的倍数关系，并特别指出“1倍”表示两个数相等，从而认识到“倍”不仅仅表示“较大数”与“较小数”的关系，还可以表示两个数的相等关系。

“倍”既是一个数学概念，也是一个日常用词，学生对倍有一定的生活经验。基于此，教师让学生结合实例认识倍，再丰富例子，逐步揭示倍的本质，以及表示倍的基本思路。

三、巩固拓展，强化倍的认识

本节课学习的“倍”是结合具体图式，在乘法意义的背景下学习的。下面的巩固与拓展环节，采用结合具体图式或自主画图表征等策略，强化学生对倍的认识。

（一）边圈边填，巩固倍的内涵

教师出示图10的习题，先让学生按要求独立完成，再展示学生的典型作品。前两小题都是把3个苹果看成“标准”，即1份，那么桃子的个数有这样的2份，也就是“2个3”，所以“桃子的个数是苹果的2倍”。同理，梨的个数有这样的6份，也就是“6个3”，所以“梨子的个数是苹果的6倍”。这里把“几倍”和“几个几”建立联系，引导学生体会“倍”是“几个几”的乘法含义的延伸。第三小题让学生自主发现图中存在的倍数关系，学生通过有序思考能发现梨和桃子之间也有倍数关系，即梨的个数是桃子的3倍。练习后，引导学生比较，为什么同样都是18个梨，有时候是3倍关系，而有时候却是6倍关系？再一次让学生感受“标准”的变化会引起倍数的变化。

（二）边画边比，拓展倍的外延

在结合图式与操作认识倍的过程中，学生已經有了一定的构建倍的学习经验，即把较小的一个数看成“1份”，较大的一个数有这样的几份，就是较大的数是较小数的几倍。依据这样的经验，让学生按要求自主操作，创造“倍”。

教师出示图11，先请学生按要求想一想：画出一个怎样的倍数关系；接着画一画：画出想好的倍数关系；然后把这一种倍数关系填入关系句。独立完成后，再在四人小组中说一说。

最后分类展示学生的作品，并进行评析。第一类，以4个△为标准，得出“○的个数是△的几倍”，这时的倍数关系没有限制，可以是1倍、2倍、3倍……第二类，以学生自己画的○为标准，得出“△的个数是○的几倍”，这时存在1倍、2倍和4倍的关系。

（三）边数边思，拓宽倍的应用

“周长”与“面积”是学生需要学习的两个重要的图形测量的概念。教师借助图12，要求学生结合对具体图形的观察，发现两个图形共同的数学特征，并用倍进行表达，为后续学习这两个概念做适当的铺垫。

教师出示图12，提问：“说一说这两个图形有什么共同的地方？”学生指出，都是用小棒围成的正方形。教师追问：“又有什么不同的地方？”学生指出，用的小棒的根数不同，围成的图形的大小不同。教师进一步提出要求：请用“倍”分别描述它们的不同点。

用数学的语言表达现实世界，是数学核心素养表达中的“三会”之一。“倍的认识”的价值就是可以帮助学生辨别两个事物某一特征之间的区别与联系。

本节课的教学启示我们：课堂中数学新知的学习从来都不是“全新”的，它总是与已有的学习基础和生活经验相联系。因此，教师需要寻找到新知与旧知、数学与生活之间的连接点，选择合适的学习材料，创设有利于凸显连接点的问题情境，让学生在观察、思考与表达的过程中，获得数学新知，提升学习能力。

（1.浙江省杭州市长青小学2.浙江省杭州市安吉路教育集团新天地实验学校3.浙江省杭州市萧山区所前镇第二小学）