以“动”为媒，促进几何推理

盛文雅

【摘   要】從“图形运动”的视角拓展和重构“长方体和正方体”单元教学，可以“动”为媒，围绕“建构图形特征”“推导表面积与体积”“拓展新的思考”等教学目标，实现思维的进阶，提高问题解决的能力。

【关键词】图形的运动；推理意识；长方体和正方体

【教学思考】

在第一学段学习中，学生已经认识了一些基本的平面图形，积累了一些图形分析经验，对立体图形能做直观的辨认，能够识别长方体、正方体、圆柱和球。在此基础上，“长方体和正方体”单元从结构最简单的长方体和正方体切入，围绕“表面积”和“体积”这两个核心概念，展开对立体图形的量化分析，为学生进一步学习其他立体图形打下基础。

以往这部分的教学往往以呈现一些典型的面积和体积问题，落实正确的解答方法，辨析常见的错误为主，看起来琢磨得很细，实际上内容之间的关联不够，学生赖以推理、想象、变化、迁移的底层支持没有建立起来，一旦遇到较复杂的变式或者综合应用类的问题，他们常常表现得手足无措，出现各种混淆与错误。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要让学生经历数学“再发现”的过程，发展数学思维，培养核心素养。分析本单元的教学内容，长、正方体的图形特征有内在联系，可以从“图形的运动”视角让学生经历长、正方体的产生过程，探究各种图形之间的变化规律，在变与不变中实现二维图形与三维图形的转化，并借助几何推理进行表面积和体积计算的意义建构。针对本单元教学内容，可从知识结构、构建方式在培养空间观念和推理意识方面的作用入手，确立教学目标（如图1）。

【教学过程】

一、以“动”为媒，建构图形特征

以“动”为媒，让学生经历长方体、正方体的产生过程，在观察、想象中建立立体图形各元素之间的关联，发展空间观念和推理能力。

在“长方体的认识”这个环节中，教师通过电脑演示让学生回忆“点动成线、线动成面”的二维图形形成过程，引发学生主动类比：面动会成体吗？所成之体有何特征？

教学片段1：长方体特征的探究

师：结合刚才的平移，你能说说长方体的顶点数与原长方形的顶点数有怎样的联系吗？面与棱呢？

（让学生先独立思考，再小组交流）

生：原来长方形有4个顶点，平移后终止处形成一个长方形，它也有4个顶点，4+4=8个（如图2）。

生：平移的起始与终止处各有一个相同的长方形面，平移过程中长方形的4条边又各自平移出了一个面，这样就有2+4=6个面。

生：因为长方形的对边相等，又都平移了相等的距离，所以长方体的对面是相等的（如图3）。

生：长方体中有起始位置长方形的4条边，也有终止位置长方形的4条边，加上平移产生的4条边，一共12条边，叫长方体的棱。

师总结与补充：长方形4个顶点同时平移了相同的距离，方向也一致，对应顶点之间的位置关系也不变（其实就是长与宽都没变），所以4个顶点平移的距离相等，而且表示这段距离的几条线段还互相平行（如图4）。

师：像这样的互相平行的线段组还有吗？

生：有，长方形的对边平移之后也是平行的，且与起始位置那组对边也平行，因此是四条平行且相等的棱。

学生用平移的方式“运动”，变长方形为长方体，直观理解平移前后的长方形之间的关联，从而演绎推理长方体的基本特征。

二、以“动”为媒，推导表面积与体积

基于面动成体的空间知觉，学生能对长方体的构造有深度认识，主动推导长方体的表面积和体积的计算。

教学片段2：借平移理解长方体的侧面积

师：长方形通过平移形成长方体。除了平移的起始与终止两个面，还平移出了前后左右4个面，它们分别是由谁平移得到的面呢？

（小组讨论后交流）

生：由长方形的长和宽平移了高这段距离后得到4个面，并形成了前后左右的一个包围圈。

师：这个包围圈，我们叫长方体的侧面。这个侧面打开来会是什么形状？

生：打开拉直了就是一个长方形，长是原长方形的周长，宽是垂直平移距离，就是高。

长方体体积推导也做了运动处理，先是通过大小不同的长方形等距平移后得到不同的长方体，再用等大的长方形平移不同的距离形成不同的长方体。教师引导学生进行合情推理，得出长方体体积等于长方形面积乘垂直平移距离，并组织验证。

教学片段3：长方体体积推导过程

1.操作验证。

生：我们摆体积单位验证：一行摆3个小正方体，摆2行，摆1层，就可以看作是2×3的长方形向上平移1厘米，就得到了2×3×1=6立方厘米；一层摆6个小正方体，摆2层，也就是在原来一层的基础上再向上平移1厘米，这时高是2厘米，体积是6×2=12立方厘米；高是3的时候，可以看作是大正方形向上平移3厘米了，也就是摆3层，体积是18立方厘米。以此类推，可以看出6相当于平移前原长方形的面积，平移距离就是高，那么体积就是平移图形的面积乘平移距离（如图5）。

2.动态验证。

（教师动态演示“用面积单位铺出了一个3×2的长方形”，平移面的面积是6平方厘米）

师（动态演示拉高1厘米）：现在是一个长方体了（长方体以体积单位组搭的形式出现），平移的距离是几？体积是多少？

生：平移的距离是1厘米，体积是6立方厘米。

（接着教师用同样的方法拉高2厘米、3厘米、5厘米，再下降至0.5厘米，并记录了相关数据。如表1）

师：观察这组数据，你发现了什么？

生：长方体的体积等于平移面的面积乘平移距离。

师：如果高变成0，它的体积是多少立方厘米？

引導学生体会，这时它没有体积，它就是一个长方形的面。

3.代换验证。

生：因为“长方体的体积=长×宽×高”，长×宽就是平移面长方形的面积，高是垂直平移距离，“6×4=24立方厘米”是长方体体积，即“平移面的面积乘平移距离等于长方体的体积”。

三、以“动”为媒，拓展新的思考

复习整理时，进一步引导学生运用图形的分解、组合、平移、旋转等运动思路来发现和解决新问题。

学生发现直柱体可以用“V=Sh”求体积，并提出新问题：“如果不是垂直平移，而是‘斜着’平移，产生的立体图形的体积是怎样计算的呢？”

教学片段4：推理斜柱体体积

师：这是一个有价值的问题，如果是“斜着”平移成一个柱体——你能判断它们之间的体积关系吗？

（学生讨论后不能达成共识。于是教师拿出一大摞本子，先是垂直摆放，如图6中左图。它的体积是6×3。接着把这摞本子推斜了，学生感悟到作业本的体积没变，如图6中右图）

师：如何求斜柱体的体积？

在学生小组探讨无果的情况下，教师画了一个钝角三角形，问：它的面积是如何求的？现在你能联想到斜柱体的体积可以怎么求吗？（学生大胆类比推理出：平移面乘垂直的外高）

生：我还有另一种思考方法，可以把这个立体图形翻转一下，以平行四边形作底面，这样就变成平行四边形垂直平移了。平行四边形的面积正好是它的底乘高，这里的高就是原斜柱体中垂直于底面那个看不见的高。

学生对垂直平移这一限制性运动进行批判性思考，引发了新的猜想和推理，类比出斜柱体的体积计算思路。这一种创造性的发现，让学生在实现知识进阶的同时实现了思维进阶。

【教学效果】

教学实践后，笔者作了对比测验，参测对象为A班、B班，两个班是相邻两届五年级的学生。A班是前一届按教材呈现方式进行教学的对照班，B班是按本设计进行教学的实验班，两个班级都由笔者执教，测验时间在两学年的同期（在单元学习结束后、期末复习之前）进行，具体情况如表2。

从表1的对比中可以发现，以“动”为媒的教学尝试，便于学生从图形元素之间的关联中实现结构化架构，通过图形运动想象让学生实现二维与三维的空间转化，用动态思维来认识、比较、量化图形，实现思维的进阶，优化问题解决的能力。

参考文献：

［1］许家雄.数学的学习与理解［M］.昆明：云南大学出版社，2018．

［2］崔耀华.运动几何学：自然科学哲学概论［M］.北京：中国社会出版社，2008．

（浙江省杭州市余杭蔚澜学校）