问题引领 凸显本质

宋璐佳

摘 要：高中数学教学应以发展学生素养为目标，关注学生的个性发展和持续发展，培养学生终身学习的能力.为了达到这一目标，教师应从教学实际出发，精心设计问题，让学生在问题的引导下学会思考，学会发现，学会探索，以此打牢终生发展的基础，提升数学核心素养.本文以“数学归纳法”一课教学为例，在教学中以学生为出发点精心设计问题，让学生在问题的解决过程中理解数学归纳法论证步骤的本质，促进了思维的发展和能力的提升.

关键词：发展；问题；本质

在唯分论的影响下，为了追求成绩，教师常常大包大揽，将知识、经验等以“灌输”的方式讲授给学生，这样不仅影响了学生创新能力的提升，还限制了学生可持续学习能力的发展^［1］.为了改变这一现状，教师可以从学生已有知识和经验出发，精心设计问题，进而在问题的解决过程中让学生更好地理解知识，提高教学有效性.

“数学归纳法”是一种重要的数学论证方法，它在解决与自然数有关的命题中具有重要的价值.不过“数学归纳法”这一课为选修课，碍于课时的限制，大多教师以讲授的方式呈现本节内容，这样使得学生对本节内容的理解不够深入，仅仅记住了其形式上的步骤，未能认清问题的本质，从而难以灵活应用相关知识解决问题.为了让学生更好地理解和应用“数学归纳法”，教师需要精心设置问题，帮助学生突破教学重难点，让学生理解数学归纳法论证步骤的本质，提高学生的数学应用能力.

1 借助问题情境，诱发思考

教学预设：根据已知，由a₁推导a₂，由a₂推导a₃，……，通过递推猜想得到了结论.

问题3：这个猜想对不对呢？

师生交流探索：通过对前面几项的验证可知该猜想是正确的，但通过该方法不能确保后面也一定正确，因此该猜想需要进一步证明.

问题4：这个猜想该如何证明呢？

教学预设：学生通过思考发现，若按照刚刚的方法研究需要验证无限次，显然该方法行不通.由此引发思考：应该用什么方法来验证呢？

设计意图：以学生熟悉的数列题为切入点，让学生发现之前探究数列通项公式的方法具有一定的局限性，以此感觉探究新方法迫在眉睫，进而有效吸引学生注意力，激发学生探寻新方法的热情.同时，在教学中，以“问题”为主线，从学生的视角设计问题，调动了学生参与的积极性，激发了学生的数学学习兴趣^［2］.

這样以认知冲突为出发点，让学生体会数学研究的必要性，让学生带着问题去探索大大地提升了学生的参与课堂的积极性，有利于提高教学效率.

2 借助生活实例，引导探究

在教学中，教师播放了一些“多米诺骨牌”游戏的视频，并在课堂上自制了一个简单的“多米诺骨牌”游戏，不过教师制作的游戏中，左边一侧的红色骨牌能全部倒下，但是右边一侧的绿色骨牌却不能全部倒下.结束演示后，教师让学生思考这样一个问题：

问题5：结合游戏过程，请思考让骨牌全部倒下需要满足什么条件.

师生交流探索：通过观察、对比、交流，发现让骨牌全部倒下需要满足两个条件：一是第一块骨牌倒下（视频中推倒第一块的过程）；二是任意相邻的两块骨牌，前一块倒下会导致后一块倒下.

设计意图：从“多米诺骨牌”入手，让学生体验“无数”骨牌倒下其实只需要两个步骤，进而为接下来的探究作铺垫.

对于以上教学环节，学生通过观察容易发现，若没有推倒第一块骨牌就不可能让后面的骨牌倒下，于是易于总结归纳出第一个条件.而第二个条件不易于发现，为此教师应给予一定的提示，通过设问、对比等方式让学生发现，前一块倒下是导致后一块倒下的前提，它们之间是一种递推关系.由此总结归纳出，只有同时满足这两个条件才能确保所有骨牌可以全部倒下.

3 创设问题情境，提炼知识

问题6：你认为前面问题的证明和刚刚的游戏是否存在一定的相似性呢？你能通过类比分析解决刚刚的证明问题吗？

师生探索：师生通过交流发现，两者都存在递推的特征.“第一块骨牌倒下”所对应的是“第一项成立”；“前一块倒下导致后一块倒下”所对应的是“由前一项能够推导后二项成立”，即一般地，若第k项a_k成立，则能推导第k+1项a_k+1也成立，则所有项成立.分析至此，学生发现证明“无限次”可以用两步完成.

问题7：结合刚刚问题的证明，你能将其推广至一般命题的证明吗？

设计意图：通过理解“多米诺骨牌”原理让学生解决刚刚证明中遇到的难题，并交流提炼数学归纳法.学生亲身经历数学归纳法的形成过程，让抽象的内容更加生动化、形象化，易于学生理解和接受^［3］.同时，在教学中，教师以学生发展为目标，通过问题引导学生去交流、去概括、去抽象，有效地提高了学生的数学核心素养.

4 借助错误分析，深化理解

问题8：判断下列数学归纳法的证明过程是否正确，若不正确，说出你的理由.

若n∈N^*，求证：2+4+6+…+2n=n²+n.

证明：（1）当n=1时，等式左边=2，等式右边=2，结论成立.

（2）假设当n=k时等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k，

综上可知，结论对于任意n∈N^*都成立.

设计意图：通过主动“示错”促进知识的深化.从以上过程可以看出，对于第二步，表面上看应用的是数学归纳法，假设n=k时结论成立，判断n=k+1时结论成立，但仔细分析不难发现，学生在证明的过程中没有通过递推实现“有限”到“无限”，没有领悟问题的本质.

师生互动交流发现问题的症结后，教师鼓励学生独立纠错.几分钟后，学生给出了正确的证明过程：

假设n=k时等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k.

当n=k+1时，

左边=2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2（k+1）=（k+1）²+（k+1）=右边，结论也成立.

设计意图：教师给学生充足的时间思考，通过主动“纠错”进一步理解数学归纳法的本质，优化学生认知.

以上错误在解题时经常出现，这样主动“示错”，既可以有效规避学生在解题时出现同样的错误，而且能让学生进一步理解“数学归纳法”的本质，促进学生分析和解决问题能力的提升.

5 借助课堂小结，升华认知

课堂小结是课堂教学的重要组成部分，有效的小结有助于知识的深化与升华.在此环节，教师先是让学生分组小结，并展示小组交流结果，至此学生对本课内容有了清晰的认识.为了进一步深化学生的认识，教师提出了如下问题.

问题9：我们知道数学归纳法有两个步骤，它们分别有什么作用呢？

问题10：数学归纳法中的第2步应用的是“假设”，为什么要这么操作呢？

问题11：数学归纳法是科学的、严谨的吗？

问题12：数学归纳法主要用于解决哪类问题呢？

设计意图：因学生的认知水平有限，学生所总结归纳的内容可能缺乏一定的深度，因此在学生总结归纳后，教师又进行了有效的补充，从而让学生更加全面、系统地认知数学归纳法，升华认知.

纵观以上教学过程，教师在各个环节精心设计问题，让学生在问题的引领下经历了“数学归纳法”形成和发展的过程，使抽象的、难于理解的问题形象化、简单化，让学生认清了问题的本质，掌握了解决问题的方法.同时通过交流、提炼、抽象等活动发展了学生的数学思维能力，為数学学习打下了坚实的基础.

参考文献：

［1］ 郭立祥，李鸿艳.“问题意识”促进高中生数学逻辑推理素养发展研究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2021（20）：5-7.

［2］ 高丽娜.巧用任务驱动教学 培养学生探究能力［J］.中学课程辅导（教师通讯），2021（11）：25-26.

［3］ 田芬.构建核心教学课堂，提高数学课堂效率［J］.华夏教师，2019（28）：31-32.