在探索中归纳 在生活中应用

王国伟 王玉凤

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确要求教师要确立核心素养导向的课程目标，通过数学课堂的系统学习，夯实学生对数学基础知识，优化数学思想，提高学生对问题的分析以及解答能力，形成正确的价值观念。在初中阶段，勾股定理是整个教学板块的重要内容，教师亟须吸收先进的教育理念，站在学生的角度思考问题，优化学生思维，满足不同学生的实际需要，让学生在实践中摸索，在生活中能够灵活应用。同时，教师必须探索多种途径，创建丰富且趣味性较强的数学课堂，帮助学生掌握直角三角形三边的关系，在不断实践和探索的过程中打造高质量的数学课堂。本文就北师大版八年级上册“勾股定理”这一内容展开分析，在各种教学活动的开展下，帮助学生掌握勾股定理的概念、理解直角三角形三边的关系，并能够根据课堂所学灵活解答现实生活中的各种问题，近距离感知数学课堂的魅力。

一、史料引出，探究勾股定理的文化背景

教师利用多媒体给学生播放勾股定理的背景，以趣味性的图片展示勾股定理的文化背景，引领学生感知勾股定理，建立初步的学习概念，使其深入探索勾股定理的历史数学知识，以此满足学生的求知欲望。在问题与现实生活问题的分析下，为学生创设生活化学习情境，引发学生深入思考，让其从思想上感知数学学科与生活的必然联系，为接下来的知识学习打下坚实的基础。

师：大家知道勾股定理吗？勾股定理在现实生活中有什么作用？（播放勾股定理数学视频）

教师结合视频，引导学生回答问题。

生1：勾股定理是毕达哥拉斯发现的，但是在他之前勾股定理的原理以及证明已经存在很长时间，最后是毕达哥拉斯将勾股定理进行了完善。

生2：勾股定理在几何学、建筑等领域都得到了广泛应用，很多技术工人都会用到勾股定理，在建房子的时候需要用勾股定理计算，设计工程图纸同样也会用到勾股定理。

生3；在物理学科中也会运用，比如要求几个力？如何求出物体的合速度？

生4：古人也会应用勾股定理，比如造车。

生5：我读过《周髀算经》，里面夏禹就用勾股定理进行了测量，而且在这本书里还有一位数学家用勾股定理测量了太阳的高度，还分析了太阳的直径。

教师：大家的回答太让我吃惊了，特别是第五位同学对勾股定理的理解非常棒，真是一位“数学小百科”，看来他对这部分知识的预习非常充分，希望大家向他学习。勾股定理作为一种实用性极强的数学工具，在实际生活中能够更好地帮助我们解决各种实际问题，接下来让我们一起深入分析勾股定理的具体内容。

二、注重启发，探究关系

探究活动一：

测量物体长度并完善表格内容。

教师：刚才我们对勾股定理的应用范围以及相关的历史背景进行了简要分析，现在请大家准备两把直角三角尺，分别测量这两把三角尺的三边长度，并将你所得到的数据填写进表格内（见表1）。

教师：刚才大家所获得的数据都已经详细进行了记录，现在请大家思考三边长度A、B、C之间有什么关系，可与同桌讨论一下。

探究活动二：

在特殊的等腰直角三角形里，两个小正方形P和Q的面积之和等于大正方形R的面积，请写出详细公式。（见图1）

学生：根据已知条件可知AC2+BC2=AB2

探究活动三：

依据图2中的图形探究下列问题：

任意直角三角形里，若∠C=90°，那么a2+b2=c2，注意：一个小方格的实际长度为1平方厘米。

教师：综上所述，我们能够得出什么是勾股定理，请大家结合上面的例题将勾股定理变式。

a2+b2=c2变式为两种：

1.a2+b2=c2

2.b2=c2-a2

為简化学生对勾股定理概念以及直角三角形三边关系的判定，教师在学生讨论的过程中，通过提示、引导、分析等多种方式解答学生的学习问题，降低学习难度。在整个讨论过程中，以一种倾听者的角色了解学生的真实想法，帮助学生解答学习困惑。

三、案例引入，深入剖析直角三角形三边关系的判定内容

教师引入具体的生活化案例，旨在帮助学生回忆前期所学的知识要点，解决本节课程的知识难点。在多种案例的分析下，让学生有更多的选择空间，同时，通过小组之间的共同协作，能够对“直角三角形三边关系”的相关知识理解得更加深刻。生活化例题的引入也能让学生更直观地理解以及分析实际生活中所出现的数学问题，优化学生思维，保障学习效果。

教师：同学们，前期大家对“直角三角形三边关系”的相关内容有了初步了解，接下来我们以数字闯关游戏的方式解答生活中的实际问题。现在请大家以小组为单位，四五个人为一小组进行小组PK。每一道例题在讲解中必须有明确的解题步骤，明确思路，小组内可以自由分工合作。在讨论结束之后，我会邀请学生上台发言。

案例一：明明爸爸将一根长为10 m的梯子斜靠在围墙上，BC长度为6 m，现在请问梯子上端A到墙的底边垂直距离AB是多少？（见图3）

案例二：在某城市，强烈的台风将一根高为18米的木质旗杆吹裂，随时都有可能危及周围居民的生命安全，警察接到报警之后现场决定在断裂处将旗杆折断，（断裂的地方距离地面5米）现在需要划分安全区域，通过什么方式可以确定安全区域的半径呢？

案例三：星星搬进了新家，在新家的附近有一片湖，现在要求出湖两岸的距离A和B，星星在C点设一个木桩，构成直角三角形ABC，在测量以后得出AC长度为160 m，BC长度为128 m，现在请算出A点到B点的距离。（见图4）

教师根据PPT展示的例题，让学生以小组合作的方式现场讨论分析，了解直角三角形三边的关系，并根据课堂的知识学习得出正确结论。教师随机邀请一名学生上台讲解具体的解题思路，选择的案例类型不设限制。

学生：老师，我来讲解案例一，根据题目的已知条件可以知道AC=10 m，BC=6 m，那么在RT△ABC中：

AB2=AC2-BC2

=100-36

=64

所以AB=8 m

师：在解答这道例题时都有什么考点可以说一说吗？你认为在解答这种例题的时候需要注意哪些？请简要说明。

生：在这道例题里，通过勾股定理的相关知识可以得出最终结论。我认为在解答这种问题时，从实际问题中抽象出勾股定理是这道例题解答的关键。（1）必须仔细阅读题目中所给出的关键信息，特别是题目里出现的数字要重点关注，根据所学知识灵活应用；（2）要注意公式应用的准确性，比如求b2，那根据公式可知b2=c2-a2；（3）一定要有明确的解题步骤，书写要整齐，公式的数字要写清楚。

师：非常不错，这位同学的讲解思路明确，而且他对例题经验的分享也非常实用，希望大家后期可以借鉴这位同学的解题方法，切实提高数学成绩。

教师结合学生的陈述作出评价，以此帮助学生分析其他例题。

师：刚才大家针对例题的解答非常详细，我看到每一名学生的解题步骤非常仔细，现在请大家分享一下我们如何应用勾股定理，可以从具体的解题步骤、你认为最高效的计算方式等方面作出分析。

生1：我认为要确定直角三角形三条边之间的关系可以应用公式，因为这种公式很简单，而且非常实用，在很多的例题里面都得到了广泛应用。

生2：在解答时，我认为最重要的是首先必须确定直角三角形的边，因为勾股定理只能在直角三角形里面才能应用。如果确定好是直角三角形之后，勾股定理就非常简单了。而区分什么是直角三角形或者是其他三角形，这个时候只需要判定在一个三角形里面是否有一个90度的角，通常用一个小方格标注。其次，在确定三角形三边可以用勾股定理时，a和b分别表示直角三角形的两条直角边，而c用来表示直角三角形的斜边，也就是最长的那一条边。最后，根据题目要求，结合勾股定理的公式就能求出答案。这个时候要注意在计算平方的时候先算出已知边长度的具体平方值，或者可以选择保留平方。

生3：老师，我认为除了应用勾股定理的公式之外，还可以在直角坐标系中求两点的直线距离，运用这种方式也能够求出最终的值。

师：非常不错，特别是第三位同学在陈述中对于勾股定理的具体应用步骤、解题的技巧都进行了重点说明，看来大家对如何判定直角三角形三边关系的相关内容已经掌握得非常牢固，希望大家在后期的例题中也能够高效应用，提高解题正确率。

四、布置课后作业，提高学生对知识的应用能力

在作业设计中，教师可结合当前学生的实际情况，整合教育资源，为学生创新作业类型，在多种类型的作业设置下满足不同学生的实际需要，调动学生对当前作业完成的积极性，保持学生热情，实现对知识的巩固和利用的教学目标。基础题型的作业侧重学生对课堂所学知识的掌握和理解，便于教师直观分析学生的知识吸收情况，提高学生对基础知识的掌握能力；拓展型作业可以满足不同水平学生的实际需要，在拓宽学生知识面的基础之上提高学生解决实际问题的能力。

例如，让学生根据本节课堂所学，以直角三角形三边关系为中心建立思维导图。框架要求思路清晰、制作形式简单直观。当学生完成思维导图之后，以同桌两人为一组共同分析思维导图制作中的不足以及优势。比如，有的思维导图包含的知识点完整、全面，但是整体的设计形式呆板、缺乏创新；有的思维导图设计形式新颖，但是每一个板块的知识点罗列过于详细，看起来有点烦琐。

以这种互相评价的方式，一方面让学生去了解自身所存在的不足，并在后期的思维导图制作中及时查漏补缺，不断完善；另一方面也能让学生在明确自身优势的基础之上去学习他人在思维导图制作中的优点，这种取长补短的方式能为学生各方面能力的提升打下坚实的基础。

教师以总结的方式，让学生明确不同形式作业的必要性，并让学生敢于挑战自我，克服难题的心理障碍，最后结束课堂。

（作者单位：1.兰州市第五中学；2.兰州市第三中学）

编辑：陳鲜艳