祖暅原理应用于球、牟合方盖体积教学中的课堂分析

唐亚平

一、教学内容分析

“祖暅原理与柱体、锥体的体积”是“探究与发现”部分的内容。本节课通过介绍数学家们的探究过程，让学生体会数学建模的过程；通过类比球的体积公式的证明推理，引导学生自主探究牟合方盖的体积，掌握将复杂几何体体积问题转化成已知几何体组合体的体积问题的数学建模的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养。

二、教学目标

1.了解祖暅原理，学会运用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式，并推导出牟合方盖这一曲面几何体的体积公式，培养学生直观想象能力。

2.通过3D动画演示、牟合方盖的模具展示以及实验研究等活动，增强学生的空间想象能力，引导学生体验由特殊到一般的类比推理数学研究方法，培养数学建模的数学素养。

3.体会转化思想，培养联想拓展的数学思维能力，了解中国古代数学家的伟大成就，激发学生数学研究的兴趣与热情。

三、教学重难点

重点：运用祖暅原理推导球、牟合方盖的体积公式。

难点：理解利用祖暅原理求解曲面几何体的体积公式的类比与转化思想。

四、教学过程

▲环节一：数学史引入

1.數学史故事引入：溯祖暅原理之源

中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时发现其中球的体积公式是错误的，于是他构建了一个几何体“牟合方盖”，设想通过求解出牟合方盖的体积，进一步得到球的准确公式，可是刘徽终其一生都没有求解出牟合方盖与球的体积。一直到200多年之后，祖氏父子（祖冲之与祖暅）通过“祖暅原理”解决了这一难题。那么，什么是祖暅原理呢？

2.通过实验得出祖暅原理：明祖暅原理之意

师生活动：学生通过推书实验回答教师提出的问题。

问题1：把一摞垂直放置于桌面上的纸推得倾斜一些，或者推得更加倾斜，三种状态下，这一摞纸的体积发生改变了吗？

学生回答：没有发生改变。

问题2：这三种状态下每张纸的面积发生改变了吗？这摞纸的高度发生改变了吗？你可以根据这一现象总结出什么规律？

学生回答：底面积相同、高相同，则体积相同。

师生互动得出祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。（幂：水平截面的面积；势：几何体的高度。）

总结得出祖暅原理的适用条件：（1）高相等（h1=h2）；（2）相同高度的水平截面积总相等（S1=S2恒成立）。则两个几何体的体积相等（V1=V2）。

问题3：根据祖暅原理，如何求解这一摞纸的体积？根据祖暅原理，当求解不规则几何体的体积时，我们可以怎么做？

学生回答：将不规则几何体转化成我们已经学过的几何体去求解。

3.练习：辨析祖暅原理之义

题目：一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为2的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为___________。

我们了解了祖暅原理之后，想一想是否可以运用它解决一些几何体体积的证明问题。

▲环节二：新知应用

问题1：已知长方体的体积公式为V=Sh，那么斜棱柱、圆柱等任意柱体的体积公式又是什么呢？可否运用祖暅原理进行论证？

师生活动：学生经过独立思考后得出任意的柱体都能找到与之同底等高的长方体，由于它们的横截面积处处相等，高也相等，则所有柱体的体积公式都为V=Sh。

问题2：已知三棱锥的体积V=Sh，那么任意棱锥和圆锥的体积公式是什么？你能用祖暅原理推导任意锥体的体积公式吗？

师生活动：根据祖暅原理，任何的棱锥、圆锥都可以用与它们等底同高的三棱锥来等价转化，所以所有锥体的体积公式都是V=■Sh。

任意锥体与柱体可根据祖暅原理等价找到特殊锥体与柱体，让学生理解从特殊到一般、从已知到未知的数学思想，为后续证明球与牟合方盖的体积公式奠定基础。

之前球的体积的证明我们用的分割法，能否用祖暅原理探究出球的体积公式呢？

▲环节三：实验证明（探祖暅原理之用）

1.设计实验

问题1：球的截面是一些什么图形？这些截面是否具有对称性？

学会回答：圆。这些截面圆上下对称。

问题2：根据对称性，我们可以先求半球的体积，去找与半球同底等高的几何体，有哪些呢？

学生回答：圆柱、圆锥。

问题3：圆锥的体积小于半球的体积，圆柱的体积又大于半球的体积，它们的体积之间是否具有什么联系呢？

问题4：同学们能不能设计一个实验，验证我们的猜想？你们需要哪些实验用具？

学生回答：要同底等高的半球、圆锥、圆柱，最好是空心的。

师生活动：教师提供实验用具。学生小组派出两名代表上讲台上做实验，将红色液体导入圆锥和半球，再一同导入圆柱中，发现圆柱的水面高度恰好与半球等高，从而证明猜想。

利用设计实验，让学生利用圆柱与圆锥构成组合体去求解半球的体积。实验很直观地体现出三者体积之间的关系，激发了学生讨论与探究数学问题的热情。

2.运用祖暅原理证明半球的体积：析祖暅原理之理

实验可能存在误差，你能用祖暅原理证明我们的实验结论是正确的吗？三个几何体满足高相等，所以要看它们的截面积之间存在什么联系。

问题1：运用祖暅原理的思想，先做__________的截面。

问题2：圆柱与圆锥要如何构成组合体，才能使得在高为h处的截面的面积与半球的截面积相等？（见图1）

根据祖暅原理，满足等高，且在各位置的截面积相等，所以体积相等。

等价转化：半球的体积=圆柱体积-圆锥体积，所以得出球的体积公式：V= R3

在最初引入时，我们介绍了数学家刘徽与牟合方盖的故事，能不能运用祖暅原理去探究牟合方盖的体积公式，解决刘徽的未解之谜呢？

▲环节四：拓展探究（求牟合方盖的体积）

1.探究几何体牟合方盖与其内切球的性质

问题1：平面截牟合方盖及其内切球会形成什么图形？（见图2）

师生活动：学生通过观察老师手中展示的牟合方盖3D模型，思考问题，并根据空间想象得出问题的答案。教师播放视频验证学生的回答。

问题2：它们的截面积之比是多少？

问题3：猜测牟合方盖与其内切球的体积之比是多少。

師生活动：学生根据截面积的比值求解牟合方盖的体积公式。

运用祖暅原理，我们发现它们的体积之比等于截面积之比。

r为其内切球半径）

2.类比推理：求证牟合方盖的体积公式

问题1：模仿球的体积推导过程，可将牟合方盖___________。

问题2：找出与半个牟合方盖等高同底的几何体：________________________。

问题3：类比半球的体积，猜想同底等高的正四棱柱、正四棱锥、半个牟合方盖的体积间有什么关系。

类比于球的体积公式的推导，推导牟合方盖的体积公式，培养学生逻辑推理与数学建模的数学核心素养。相比于计算，该问题的难点是运用祖暅原理去找已知的几何体与半个牟合方盖的体积相等，而明确该组合体是如何形成的是关键。

问题4：请大家运用祖暅原理探讨我们构造的组合体是什么图形，并求解出牟合方盖的体积。（见图3）

师生活动：小组讨论组合体的构成形式，并计算高为h时的三个几何体截面积之间的关系，小组代表上台展示小组讨论的结果，并用数据严格计算得出V半牟=V正四棱柱，从而得出V牟= r3。学生总结运用祖暅原理解决未知几何体体积的关键步骤是什么，从中得到什么启发。总结得出祖暅原理的衍生应用：当高相等时，可由截面积之比得出体积之比。

▲环节五：归纳总结（凝祖暅原理之髓）

教师总结：我们运用祖暅原理推导出柱体、锥体、球以及牟合方盖的体积，体会从已知到未知、从特殊到一般以及转化化归的数学思想。祖暅原理的历史演变过程是数学家们不断做出贡献的过程。从最初的《九章算术》到刘徽的牟合方盖，再到祖氏父子的祖暅原理，通过数学家们的不断努力，球的体积公式被证明。

五、教学反思

（一）可取之处

1.挖教材

通过对教材探究与发现的深度挖掘，发现教材中数学文化的丰富内涵，即演绎了球的体积推导的过程，同时，课本的拓展与延伸内容也非常值得教师进行拓展性教学。

2.探概念

运用不同的数学几何模型探究祖暅原理的应用，突出从已知到未知、从特殊到一般的数学思想，可以为学生以后的学习打好基础。

3.育素养

通过数学3D模型培养学生的空间想象能力，通过问题探索引发学生思考，通过数学实验培养学生的动手能力，增强学生的理解；通过对球与牟合方盖体积推理的探究，培养学生数学建模、数学运算、逻辑推理的数学核心素养。

（二）改进之处

1.在对牟合方盖体积计算的讨论展示后，可以让学生发表不同见解，也可发布不同的数学模型，多让学生展示，让他们碰撞出不同的思维火花，这样课堂会更精彩。

2.课堂练习题的设置可以有难度区分——从浅入深，也可有延伸题型，以激发学生的探究兴趣，进一步培养学生的数学建模素养。

（作者单位：柳州铁一中学）

编辑：常超波