利用方格纸增加学生面积度量体验

【摘要】面积可以是一个数，面积教学应当体现面积的度量功能，方格纸则把面积的度量功能进行了显性体现。方格纸在数学中运用广泛，但是现实中面积的教学仅仅局限于数格子，学生对面积的度量体验比较少。对此，可从利用方格纸增加学生面积度量体验出发，打通所有度量知识，让学生感悟到所有的度量都是在用合适的数与合适的单位对物体从不同维度进行赋值。

【关键词】度量 面积 方格纸 小学数学教学

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）34-0062-04

关于面积的定义，《辞海》（第六版）中的解释是：“几何学的基本度量之一。是用以度量平面或曲面上一块区域大小的正数。通常以边长为单位长的正方形的面积为度量单位。”这说明，面积确确实实是数，我们通常将映射m称为图形的面积，即给平面图形分别指定一个数（非负数），而且必须满足有限可加性、运动不变性和正则性三个条件。

一、研究的缘起

笔者对面积的研究，还得从一次不经意的聊天说起。一次备课讨论时，笔者随机询问了身边一名教师关于长方形面积的计算原因，他思考了很久后回答说，这是数学上的规定，长方形的面积等于长乘以宽。其他老师也持有相同的观点，认为这是数学上约定俗成的。他们对这个问题的回答令笔者感到意外，于是开始思考：如果笔者不是一名小学数学老师，没有给学生上过面积这一课，是否也能立刻回答上来这个问题？是不是所有学过面积的学生都知道为什么长方形面积等于长乘以宽呢？为此，笔者随机选取四、五、六年级的部分学生进行了问卷调查，调查结果如表1所示。

从表1中可以看出，虽然学生都已经学过面积相关知识，但是对面积的理解还不够透彻。通过对比可以看出，三个年级的学生中，问题最明显的是五年级学生对面积的理解。分析原因可知，到五年级时，学生距离三年级学习面积已经很久，如果他们当时就没有很好地理解面积的度量赋值功能，那么时间越长，遗忘程度越深；而到了六年级时，学生已经学习了更系统的知识，了解了“点动成线、线动成面”的知识，并在圆的学习中受到微积分的启发，对长方形面积的形成有了更深的体会，除了会用单位小正方形的行和列来解释，还会联系到一些微积分的知识，但总的来说，他们对于面积的度量体验还是欠缺的。学生认识面积是在三年级，但是在學习面积之后常常会把周长和面积的概念混淆，习惯性地用周长这个一维的概念去刻画面积这个二维的概念。尽管三年级的教材里安排了用覆盖的方法对图形进行度量的操作，但是学生往往只是为了覆盖而覆盖，并没有形成度量的意识。这反映到调查结果中就是学生虽然学习了面积知识，知道了长方形面积计算公式，但只是死记硬背，并没有真正理解其中的奥妙。所以，面积概念的建立仅靠一节课是不够的，学生从原有的一维思维过渡到二维思维是需要一个过程的。在前面认识面积的时候，如果学生没有充分体验面积的度量，就会为后续学习面积知识带来诸多麻烦。因此，让学生思考和研究度量的赋值功能十分必要。

二、不同版本教材面积教学所使用的度量材料对比

方格纸作为面积教学时一种直观的学具，对学生建立面积单位概念有重要意义。在人教版小学数学三年级上册教材中，方格纸和面积单位片第一次正式和学生见面，学生首次借助以1平方厘米为单位的方格计算面积的大小。但是这里只是通过数格子的方式计算出图形的面积，此后方格纸也仅仅是在帮助学生画图形或找图形的高时起到过辅助作用。在五年级上册教材“平行四边形面积”一课中是这样提及方格纸的：在方格纸上数一数，一个方格代表1平方米，不满一格的都按半格计算。习题中也大多以数格子计算面积的形式出现方格纸。在“三角形面积”中，教材也只是通过用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形的方法来推导三角形面积计算公式，而没有呈现割补法。在此之后，人教版小学数学教材中就几乎没有用到方格纸了，仅仅是在五年级下册“图形的运动”中用方格纸帮助学生准确找到点的位置。

人教版和北师大版的教材以“面积”为单元标题，苏教版以“长方形和正方形的面积”为单元标题。三种教材都用了不同的方式对面积进行赋值，人教版是用不同的图形，北师大版直接用方格纸，苏教版则是用实物度量。相比而言，人教版和苏教版更加注重面积度量的体验，北师大版的呈现方式则更加直观。但是三种教材都是直接用面即从二维层面对面积进行度量的，缺失对二维概念的建立过程。这就导致了部分学生把一维的周长和二维的面积混淆、学习多边形面积时盲目剪拼图形等问题。从周长到面积，从一维到二维，是一种数学概念的跃迁，教师需要给学生建立一个新概念，这种新概念的建立必须以充分的度量体验为基础。于是，笔者在面积教学中进行了如下尝试。

三、使用人教版教材展开面积教学的实践探索

首先，在学生学习面积之后，笔者设计了“度量与进率”拓展课，丰富学生对面积的度量体验，让学生深刻体会度量的赋值作用，促进学生数学核心素养和关键能力的发展。

（一）方格纸彰显度量方法

在人教版小学数学三年级下册第五单元“面积”中，例1、例2、例3主要是讲解面积和面积单位，例4是进行长方形、正方形面积的计算，这样的知识衔接对学生来说有一定的跨越性，缺失了对一个图形里包含几个面积单位的体验感悟过程。所以在拓展课中，笔者引导学生经历和体验用什么度量图形（包括正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆等）面积、怎样度量图形面积的学习过程。

师：（指图1中的灰色正方形）这个正方形的面积是多少？

生：用1平方分米的小正方形去比对，一行可以摆4个，有4行。

师：原来你们在想这个正方形里面可以摆几个小正方形，是这样吗？

师：现在知道它的面积了吗？

生：25平方分米。

师：怎么看出来的？

生：一行有5个，有5行。

通过猜测一个大正方形的面积，让学生比对1平方分米的小正方形和未知面积的大正方形，初步感悟计算一个图形的面积就是看这个图形里包含了几个这样的面积单位。然后出示面积格子，让学生说一说怎样看面积格子，每行几个，有这样的几行。让学生体验到原来用面积格子可以给正方形赋值，也就是用一个数来表示它。

（二）方格尺构建度量意识

数学意义上的面积度量是指给某些平面图形指定一个合适的数并使之满足一些特性。比如在度量两条线段的长度时，如果它们彼此不重叠，那么先分别量，然后加起来就行了。类似这样的操作其实体现了数学度量的本质意义。同时，度量过程隐含了长度的运动不变性。面积教学的核心是让学生了解如何度量图形的大小，即如何给平面上的封闭图形赋值。看下面的教学案例。

师：（课件呈现图2）如果只剩下这些格子，大家还能确定正方形的面积吗？

生1：能！横着看有5格，竖着看有5行。

生2：这样的5段，就是5格。

师：（课件呈现图3）老师这里有这样的一把尺，谁来给它取个名字？

生：方格尺、丁字尺……

师：（课件呈现图4）现在有这样4个图形，大家能用这把尺测量它们的面积吗？

师：（课件呈现图5）这样放可以吗？为什么？

生1：贴着放可以看出横着有几格，竖着有几格。

生2：我可以看出横着有4格，竖着有2格。

师：（课件呈现图6）平行四边形和长方形对比有什么不同？

生：长方形可以两条边贴合方格尺，而平行四边形不管怎么放都只有一条边能贴合。

师：梯形也有一条边可以贴合方格尺，但圆没有一条边是贴着尺的，也能量吗？

从方格纸到方格尺的简化，先简化成横着一行格子和竖着一行格子，让学生说一说怎样数；再到只有刻度的方格尺，怎样横着看一次、竖着看一次。图形在方格尺上的摆放也是学生思考的过程，图形怎么放可以快速看出其中有几个面积单位？不同的图形摆放情况不同？教师让学生在对比中感悟面积度量的过程。虽然没有了格子，但是学生因为有了前面的赋值意识，会在潜意识中绘制方格纸，从而度量图形的面积。

（三）结合方格纸，深化割补法的度量意义

笔者在五年级下册的三角形、平行四边形等面积教学中继续强化方格纸对面积的度量作用。之前用数方格的办法给长方形指定了相应的面积（“求”出了面积），其中蕴含了面积的有限可加性。而接下来的割补法需要把一个三角形切下来，再通过移动该三角形拼凑长方形，这个过程中则蕴含了面积的运动不变性。两种方法都是在设法将一个确定的数与图形面积形成对应关系。

师：（课件呈现图7）我们先研究直角三角形。假设一个小方格的边长是1厘米，大家能求出这个三角形的面积吗？

生1：我用数的办法，把不到一格的拼起来，一共是9格。

生2：我把直角三角形的上面剪下来再补过去（学生演示，如图8），正好能拼成一个长方形。

师：其他同学有什么想问的吗？

生3：为什么从这里剪？

生2：我是找到直角边的中点，然后顺着格子线剪的。因为这样剪下来就是這条边的一半，补过去之后长方形的宽正好也是一半。

师：你能说一说这个三角形的面积怎么求吗？

生2：这个长方形的一条边长就是原来直角三角形的一条直角边长，另一条边长是另一条直角边长的一半，所以我觉得这个直角三角形的面积计算式是6×（4÷2）=12（平方厘米）。

师：还有不同的方法吗？

生4：从另一条直角边的中点割，补到下面，也能补成一个长方形（学生演示，如图9）。

生5：我在这个直角三角形的对面画一个和它一样的三角形，得到的长方形的面积是直角三角形的2倍。所以直角三角形的面积计算式是6×4÷2=12（平方厘米）。

让学生操作带有方格纸背景的三角形，并让其在操作完成后试着在方格纸上把图形转化的过程画下来。这样学生就会整理和反思刚才的操作活动，有了方格纸背景作参照，即使他们没有学过中位线的知识，也可以明白每一次割在哪里、补在哪里，改变的是什么、不变的又是什么。这样的面积教学更加显性化，可以让学生有依据地度量图形的面积，而不是盲目地割补。

通过类似以上的教学尝试和研究可以发现，结合方格纸不断增加学生对面积度量的体验，他们就会主动把图形看作是由一个个面积单位不断覆盖和内填而得到的整体，而不是去死记硬背一些图形的面积计算公式，或者盲目地进行割补。

四、面积教学建议

（一）利用方格纸，体验面积度量

用一个数来表示平面上一块区域的大小，并把这个数叫作这个区域的面积。面积具有有限可加性和运动不变性。也就是说，在多个图形不相交的前提下，其总面积就是单个图形的面积相加，无论如何移动，都是不变的。教师利用方格纸给学生提供一个具体的学习支架，引导学生思考是否能用学过的图形面积来推算它，并自主经历图形面积之间的转化、比较和推算。这样比单纯地让学生知道三角形、平行四边形等的面积计算公式更具有教学价值。

有了方格纸的辅助后，学生对图形面积进行度量就非常方便了。就好比把一张纸撕成很多个同样大小的方形纸片，只要不重叠，无论怎样摆放，面积都不变。如果再把纸片换成土豆，用同样的方式切割，就演变为了体积问题，同样体现了有限可加性和运动不变性。在此基础上继续深化，把方格无限变小，可以让学生初步了解微积分知识。

（二）改进度量方式，体验面积覆盖性

教师从学生“覆盖”或“内填”的生活经验出发，让学生用不同的图形去覆盖边长为自然数的长方形，体验面积覆盖性。这样的覆盖体验过程既是在定义面积，又是在计算面积。然后以此为铺垫，引导学生思考哪些图形可定义面积、如何求得面积，让知识螺旋上升，不断深化。这是一个很重要的数学思想方法，人教版的教材里面也有这样的环节，但是学生往往只是为了覆盖而覆盖，并没有形成度量的意识。

所以教师需要在“面积”这节种子课之后再用一节度量课加以拓展。“面积”这节课的难点就是学生受原有经验影响，在计算图形面积的时候，习惯性地想用尺子去量。这说明学生是以一维的思维方式探究面积这个二维的概念的，因为他们没有用二维的小正方形去度量图形的体验，更不理解面积计算公式中“长乘以宽”的真正含义。同时在这节度量课中借助一个更抽象的工具——方格尺，让学生逐步从数格子过渡到计算长乘以宽，进而真正理解面积这个二维概念。

（三）渗透度量“标准”意识，强化面积正则性

我们在测量物体时先要找一个单位，长度要找一个一维的单位，面积要找一个二维的单位，体积要找一个三维的单位，找到单位以后再对这个物体进行覆盖。在教学中，教师需要做的是把度量的基本思想和方法进行梳理，让学生感悟度量的本质。虽然长度用尺、面积用格子、体积用立方体，但其只是工具不同，度量的本质是一样的。教师就是通过不断地建立一个个标准，让学生感悟到1厘米有多长、1平方米有多大、1千克有多重、1度有多大、1分钟有多久……在无数个“1”的标准里不断刻画物体的特性，不管是一维的还是二维的甚至是三维的。这种智性学习就是让学生在变与不变中探究知识的本质，它不仅能让学生“学会”，更能让学生“会学”。

参考文献

［1］张奠宙.小学数学教材中的大道理［M］.上海：上海教育出版社，2019.

［2］章勤琼.数学拓展课程不是简单做加法［J］.小学数学教师，2021（1）：17.

［3］贲友林.寻变：贲友林的“学为中心”数学课［M］.武汉：长江文艺出版社，2018.

［4］俞正强.种子课［M］.北京：教育科学出版社，2018.

作者简介：黄家爱（1976— ），广西玉林人，专科，高级教师，主要研究方向为小学数学教学。

（责编 郑 夏）