小学生“因数和倍数”解题能力的后测与分析

作者简介：张华荣（1979—），本科学历，小学一级教师，从事小学数学教学与研究工作。

[摘  要] 前测和后测活动是循证教育的具体表现，教师教什么是根据学生的学习掌握情况决定，让课堂教学活动有据可依。研究者通过设计“因数和倍数”的后测题，了解学生对“因数和倍数”的掌握情况，并在此基础上给出“因数和倍数”的具体教学建议。

[关键词] 因数和倍数;解题能力;后测分析

前测和后测活动是循证教育的具体表现，教师教什么是根据学生还有什么不懂的内容来决定，让课堂教学活动有据可依。“因数和倍数”一课的教学知识点有：认识因数和倍数的含义，会求一个数的因数和倍数等。笔者在教学“因数和倍数”一课时，让学生经历建构概念的过程：（1）理解倍数和因数的概念;（2）运用概念掌握找倍数和因数的方法;（3）利用概念解决生活实际问题。

为了了解学生对因数和倍数的掌握情况，笔者设计了这节课的后测题，对五年级学生进行了后测。

一、后测题的设计及意图

下面是“因数和倍数”一课的后测题：

（1）根据算式写出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。

①4×5=20;②48÷6=8。

（2）在下面的圈里填合适的数。

[ 9的倍数][ 9的因数][既是9的倍数

又是9的因数]

（3）解决问题：24个同学表演团体操，每排人数可能是几人？排数呢？请在表格中写出所有情况，并说明它们的关系。

[排数 1 2 每排人数 ]

（4）乘坐小艇每人应付4元，乘坐人数和应付金额之间有什么关系呢？先把下表填完整，然后说明它们的关系。

[乘坐人数 1 2 3 4 应付金额 ]

设计意图：第（1）题属于具体直观水平，主要考查学生能否利用乘法模型与除法模型关联算式中的因数和倍数，感悟因数和倍数的依存关系;第（2）题属于“形象—抽象”水平，主要考查学生是否掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法，在比较中辨析因数和倍数的特征;第（3）题和第（4）题属于本质抽象水平，第（3）题主要考查学生在具体情境中灵活地运用因数的模型解决问题，第（4）题主要考查学生在具体情境中灵活地运用倍数的模型解决问题。

二、后测的对象及过程

笔者选取了五年级两个班级的学生作为后测样本，共计80名学生。这些学生已经在课堂中学习了因数和倍数的相关知识，下课后就进行后测，没有做任何知识的强化。笔者以班级为单位开展后测活动，后测时不提供任何指导和帮助，学生确认完成后上交测试试卷。

三、后测的结果及分析

笔者对“因数和倍数”一课的后测情况进行了统计和分析，学生后测结果见表1。

1. 第（1）题检测学生是否达到具体直观水平

从第（1）题检测情况看，学生的整体情况已经达到具体直观水平，能用直观的乘法模型和除法模型解释倍数和因数的关系。这是由于在课堂上笔者设计了三个具体活动：活动一，让学生在辨析和修改前测单的四种观点中初步感知倍数和因数的概念;活动二，让学生把前测单中有关倍数的数学信息改写成因数有关的数学信息，建立了倍数和因数的相互联系;活动三，巩固练习环节中让学生先把乘法算式改写成除法算式，或把除法算式改写成乘法算式，再写出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。

2. 第（2）题检测学生是否达到“形象—抽象”水平

从第（2）题检测情况看，学生的整体情况已经达到“形象—抽象”水平，能运用因数和倍数的概念找一个数的因数和倍数，进一步体会因数和倍数的特征。这是由于在课堂上笔者设计了三个具体活动：活动一是让学生在写一写、标一标和想一想中发现倍数的奥秘，掌握找一个数的倍数的方法;活动二是让学生在写一写、想一想和找一找中发现因数的奥秘，掌握找一个数的因数的方法;活动三是在巩固练习环节中让学生找出36的因数和8的倍数，并找出最小的因数、最大的因数和最小的倍数。

3. 第（3）题和第（4）题检测学生是否达到本质抽象水平

从第（3）题和第（4）题检测情况看，大部分学生已经达到本质抽象水平，能运用因数和倍数的概念综合解决实际问题。学生在解决实际问题时需要剥离情境，将其转化为求一个数的因数或倍数的题目，与第（2）题的解题方法类似。

四、后测的结论与建议

1. 后测结论

从后测的数据看，大多数学生解决有关认识“因数和倍数”的正确率已经在86%以上，基本上已经达到本质抽象水平。但是笔者也看到学生运用“因数和倍数”的概念综合解决实际问题的能力较弱，这块内容需要教师进行补救教学，帮助学生提高解决问题的能力。

2. 教学建议

针对以上的后测结论，笔者对教学活动提出四点建议。

（1）实施“教学评一致性”是未来的趋势

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出“教学评一致性”，明确数学课堂教学“为什么教”“教什么”“教到什么程度”。比如“因数和倍数”一课后测中第（1）题和第（2）题的正确率明显高于第（3）题和第（4）题，这是由于后测中第（1）题和第（2）题可以在课堂中找到较多对应的数学活动，而第（3）题和第（4）题在课堂中没有对应的数学活动，虽然教师可以从具体情境中抽离出数学知识点，转化为找因数和找倍数，但是对五年级学生来说还是有一定的难度。

（2）数学教学要以生为本，开展循证教育

在数学课堂上，教师在课前和课后都要开展循证教育，在课前通过前测了解学生的已有知识经验，确定教学的内容和具体的教学活动;在课后通过后测了解学生的掌握程度，确定补救教育的内容和需要关注的学生。

只有当教师开展循证教育，才能避免在教学中“瞎忙”和“做无用功”，把教学时间放在“刀刃”上，使出恰当的力气，促进每个学生在数学学习上都有发展。

（3）数学课堂要让学生充分经历概念建构

数学概念的建构是一个比较漫长的过程，当然也因人而异。因此，教师在教学“因数和倍数”一课时，先通过前测单的结果引出四种观点，让学生在辨析四种观点中体会倍数的含义;然后，在大任务中探索求一个数的倍数的方法，借助前测单的结果认识因数的含义，感受倍数和因数是相互依存的关系;最后，在大任务中探索求一个数的因数的方法。

只有当学生在活动中经历了充分的思维活动，才会促进因数和倍数数学概念的建构，才会运用概念正确解决数学问题。

（4）数学教育的最终目的是解决实际问题

数学源自生活，又服务于生活。因此，教师不仅要让学生体会到数学学习的价值，还要在平时的数学课堂上让学生多解决实际问题。比如在“因数和倍数”教学时，教师可以设计一个情境问题：王爷爷要围一块48平方米的长方形菜地，若长和宽都是整米数，并且长要大于宽，问这个长方形的长和宽有哪些可能？这样学生在解决问题时能够自然地应用数学知识，学会从情境中寻找问题的关键信息和突破口。

综上所述，教学后测是为了教师利用后测数据反思教学活动和学生表现，为深入研究课堂教学活动提供依据。教师可以通过学生的检测情况来反思教学过程中不到位的情况或设计不合理的地方，在以后的教學中逐渐完善自己的教学设计和课堂组织，从而实现教学目标和突破教学重难点，促进学生扎实地掌握“双基”，发展数学核心素养。