走向“一般”意义上的代数

张伟明　钟立

【摘   要】小学阶段，“字母表示数”是促进学生符号意识发展的重要教学内容之一。基于前测确定教学目标后，围绕“随机‘红包，感知字母可以表示可变数；比较‘思辨，体会含有字母的式子可以表示数量关系；内化‘结构，丰富字母表示数的代数意义；回顾‘过程，顺应字母表示数的历史发展”展开“字母表示数”的教学实践。通过教学，学生的理解逐步从“特殊”走向了“一般”。

【关键词】前测；字母表示数；符号意识；代数思维

一、问题缘起

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）加强了对“字母表示数”相关内容的要求，其明确指出：“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性。”在小学阶段，“字母表示数”的相关内容，是帮助学生体会如何运用符号表示数量关系和一般规律，理解运算规律和推理结论具有一般性的重要渠道，对学生提升抽象概括能力、发展数学符号意识和数学语言表达能力有着重要的意义。

在现行人教版教材中，“字母表示数”的起始例题先用对话的形式呈现“爸爸的年龄比小红大30岁”，再用表格整理出小红不同年龄时爸爸的对应年龄，并用算式进行表征，接着提出问题“怎样才能用一个式子表示出任何一年爸爸的岁数”，借此引发学生认知冲突，让学生有寻求、探讨、交流的欲望，并在交流中形成对用字母表示数的共识。教材的编排，呈现了一条可以让学生经历从特殊到一般再回到特殊的学习路径。从“一个式子表示一个年龄”到“一个式子表示任何年龄”的突破，是学生认知上的一次飞跃，也是本内容的教学难点。

学生对字母或含有字母的式子可以表示数的理解究竟有多深？字母与含有字母的式子的表征应如何建立？怎样引导学生理解用字母表示数具有一般意义？笔者带着这些问题，设计了问卷，于2022年5月对X校五年级45名学生进行了前测，并基于前测确定教学目标，展开教学实践。

二、前测及结果分析

前测的主要目的是了解学生对字母表示数的理解情况，了解学生对用字母或含有字母的式子进行表征的水平。

（一）学生对字母表示数的理解程度

通过测试题①“△+△+△+△=16，△表示的是   ；我的想法是   ”，对学生是否能解决用字母表示特定数的问题，以及用怎样的思路解决问题进行检测。具体解题情况如表1所示。

测试表明，解题时学生的想法大致有两种：一种是用除法计算，思维过程主要是4个△是16，1个△就是16÷4=4；另一种是用乘法计算，思维过程主要是4个4相乘的结果为16，所以△代表的数是4。有90%的学生能正确表达出本题代表的数量关系是4个△之和为16，这说明学生能够理解用字母表示特定数的意义。

通过测试题②“2、4、6、□、10、12…… □表示的是           ”、测试题③“2、4、6、8、10、12……□，□表示的是          ”，对学生是否能够用字母表示一类数进行检测。其中学生解决测试题②的正确率为100%，解决测试题③的情况如表2所示。

从表2可以看到，只有6.67%的学生能够正确地用字母表示出这一组数的特征。以14、20、26等具体数来描述数据特征的占77.78%。有15.56%的学生采用了ɑ、12+ɑ、x等表征方式，这部分学生已经具备了偶数的概念，也试图在符号和偶数之间建立关联，但在具体的表征方式上遇到了困难。访谈中发现，多数学生知道测试题③中“□”表示的意思是偶数，但学生无法用字母进行表征，很多不能正确表征的学生给出的理由是“我不知道，感觉应该是这样的”。

（二）学生用字母或含有字母的式子进行表征的水平分析

通过测试题④“郑老师的年龄比张老师大20岁，你能简明地表示出郑老师有几岁吗？我的表示方法    ，我的想法是    ”，对学生用字母或含有字母的式子进行表征的水平进行分析。学生的表征水平划分为水平0到水平5共6个层次，具体情况如表3所示。

从表3可以看到，有53.33%的学生能用文字表征、图形符号表征、字母等式表征、字母式表征等刻画郑老师的年龄。其中，48.89%的学生用含有符号的等式（如ɑ+20=郑老师年龄）表征郑老师的年龄，仅约4.44%的学生直接用含有字母的式子（如ɑ+20）表征郑老师的年龄。结合访谈发现，这两类表征的差别在于，他们都知道可以用符号来表示数，也知道可以借助符号进行运算，但前者不理解代数式也能表示数。也就是说，对学生群体来讲，理解同一个式子中同一符号可以表示相同的数，以及用含有字母的式子表示数量关系是有难度，但比较而言，理解含有符号的式子可以表示结果的难度更大。

综上所述，学生在前测中体现出的符号表征能力差异性比较大。前期用字母表示“固定数”（如扑克牌中A、J、Q、K分别表示1、11、12、13）的生活经验，对学生真正提升用字母表示数的意识作用有限。学生对用字母表达一般性的关系的理解有所欠缺。因此确定“引导学生理解符号（字母）可以表示一个数，也可以像数一样参与四则运算”为本课的教学目标。

三、课堂教学实践

（一）引入：随机“红包”，感知字母可以表示可变數

“抢红包”是学生熟知且乐在其中的游戏。随机金额的红包在拆开前存在着多种可能，抢红包游戏素材为学生理解可变数提供了保证。本课围绕“核桃一家人玩微信抢红包游戏，核桃爸爸、核桃妈妈、核桃三人抢随机红包，三个红包的总金额为100元”展开教学。教学中的所有环节均围绕“红包情境”展开，随机红包成了有效串联知识点、破解学生疑惑的媒介。

第一环节从核桃爸爸抢到已知钱数引入（如图1）。教师提问：“核桃爸爸抢了第一个红包，记录一下，得了多少钱。”学生很快写下“20”，为体会确定数的记录方式做铺垫。

第二环节从核桃妈妈没有拆开的红包引入（如图2），教师提问：“猜猜核桃妈妈的红包里有多少钱。”学生有说10元的，有说15元的，也有说23元的……教师进一步追问：“具体钱数是多少似乎无法确定，但若一定要把核桃妈妈红包里的钱表示出来，可以用什么办法？”引导学生在随机红包金额不确定和教师要求一定要表示出钱数的两难选择中，逐步将思路聚焦到具有一般性且能表示可变数的字母上来。

教师提问：“字母能表示出你们说的那些红包金额（10元、15元、23元等）吗？能表示出这个随机红包里的所有可能金额吗？它能表示哪些数？”通过一系列问题，学生将思路从具体钱数的有限可能（10元、15元、23元等）拓展到随机红包的“无限”可能，再逐步发现“无限”可能中隐含的限制条件。在交流讨论中，学生的思维层层推进，不断深化对用字母表示可变数的认识。学生在对比确定红包和随机红包的过程中，初步理解字母可以表示未知的可变数。

（二）探究：比较“思辨”，体会含有字母的式子可以表示数量关系

第三个环节继续从核桃未拆开的红包引入（如图3）。教师出示活动要求：想一想，妈妈的红包金额与核桃的红包金额之间有什么联系？写一写，核桃的红包金额应该怎么表示？议一议，你写的式子能合理表示核桃红包里的金额吗？通过小组合作，学生提出四种不同的方式表示核桃红包里的金额：ɑ、b、80-ɑ、100-20-ɑ。教师提问：“有没有哪种表示方式是不可行的？”“哪种表征方式更简洁、更合理？”引发学生思辨：妈妈的红包金额已经用字母ɑ表示了，核桃的红包金额如果再用ɑ表示就很难区分；如果用b表示则不能说明两个红包之间的关系，而100-20-ɑ和80-ɑ能合理表示二者关系，且80-ɑ更简洁。教师适时将具体金额代入，并配合板书引领学生进一步理解80-ɑ的意义。这样的学习过程有助于学生理解含有字母的代数式能表示数量关系。

（三）延伸：内化“结构”，丰富字母表示的数的代数意义

教师通过提问：“你觉得生活中有哪些量能用4ɑ来表示？”将学生的视野从红包情境拉回到更為丰富的现实世界。学生从“4ɑ”这个结构出发，将其表示的意义向生活中拓展。在交流过程中，教师顺势启发学生讨论：数量关系（如单价、数量、总价之间的关系，速度、时间、路程之间的关系）、唱不完的儿歌（青蛙问题）、长方形的面积、正方形的周长等问题（如图4）。让学生结合情境说明，不同情境中4、ɑ、4ɑ分别表示什么，进一步理解含有字母的式子表示的实际意义。这几个例子自成结构，又各有用意。在小结阶段，学生自然而然地提出：“用字母或含有字母的式子，可以表示确定的数，也可以表示不确定的未知数，而数只表示确定的已知量。”

（四）总结：“过程”回顾，顺应字母表示数的历史发展

课的最后，教师带着学生回顾学习过程：从在红包游戏中体会用字母表示的必要性，到思辨字母及含有字母的式子可以表示不确定的数，再到有结构的延伸拓展。从而帮助学生拾级而上，“重现”丢番图用缩略音节首字母代表未知数到韦达用符号代数的进程，跨越式地感悟数学家们数千年的探索。

本课的研究过程，紧扣儿童的认知心理特点，在充分了解学情的基础上设计和实施教学，打破了学生原来的散点式认知结构，重构了用字母表示数的多元内涵。

参考文献：

［1］杨庆余.小学数学课程与教学［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现［M］.上海：上海教育出版社，2018.

［3］贾春波.历史发生原理对小学数学教学的几点启示：以“用字母表示数”教学实践为例［J］. 教学月刊·小学版（数学），2017（7/8）：33-40.