幂指对大小比较四妙招

邱红英 吴海军

江苏省镇江市丹徒高级中学

1 妙招一：引入媒介，巧取中间值

A.a

C.b

故选：A.

2 妙招二： 构造函数，单调性比大小

A.a

C.c

解析：设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1).

当x∈(-1,0)时，f′(x)>0；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0.

所以，函数f(x)=ln(1+x)-x在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减.

设g(x)=xex+ln(1-x)(0

令h(x)=ex(x2-1)+1，0

所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln 0.9.

所以a>c.

故选：C.

A.a

C.b

解析：由a=2ln 1.01=ln 1.0201，b=ln 1.02，可得a>b.

于是g(t)=2ln(t2+3)-t+1-2ln 4，则

g(t)>g(1)=2ln 4-1+1-2ln 4=0.

故f(x)>0，可得a>c.

故选：B.

方法提炼：本组题目难度较大，关键在于将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.这样的问题，凭借近似估值计算往往是无法解决的.

3 妙招三：数形结合，交点定大小

例4a，b，c依次表示函数f(x)=2x+x-2，g(x)=3x+x-2，h(x)=lnx+x-2的零点，则a，b，c的大小顺序为( ).

A.c

C.a

解法2：几何法.因为a，b，c分别是函数f(x)=2x+x-2，g(x)=3x+x-2，h(x)=lnx+x-2的零点.所以a，b，c分别是函数f1(x)=2x，g1(x)=3x，h1(x)=lnx与m(x)=-x+2图象交点的横坐标.由图1可得b

图1

方法提炼：指数、对数型超越函数零点大小的比较，利用转化与化归、函数与方程、数形结合思想，将零点问题转化为函数图象的交点问题，通过作图进行大小比较.这种几何法的解题速度比较快.

4 妙招四：应考绝招，代值求大小

例5已知a=log0.20.02,b=log660,c=ln 6，则下列选项正确的是( ).

A.b

C.c

解法1：由a=log0.20.02=1-log0.210=1+log510，b=log660=1+log610>1+log66=2，及log510>log610,得a>b>2.又c=ln 6

解法2：：代值近似计算.

方法提炼：我们在题目中常见含有ln 2,ln 3,ln 5等值的大小比较问题，有时还是单选压轴题，如果能记住常见的这些对数值，就可以独辟蹊径，很快得出结论.

常用必备对数值有：

ln 2≈0.70，ln 3≈1.10，ln π≈1.14，ln 5≈1.60，ln 6≈1.80，ln 7≈1.95.

5 方法总结

由以上各例可知，指、对、幂大小比较的常用方法有：

(1)底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性比较大小.

(3)底数相同，真数不同时，如logax1和logax2，利用对数函数y=logax的单调性比较大小.

(4)底数、指数、真数都不同时，寻找中间变量0，1或者其他能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

(5)转化为两函数图象交点的横坐标.

(6)估算法.

常用对数值有：

ln 2≈0.70；

ln 3≈1.10；

ln π≈1.14；

ln 6=ln 2+ln 3≈1.80；

希望大家在实际应用时灵活应变，选择最佳途径以达到事半功倍的效果.Z