用数学抽象解高考试题——以2022全国新高考Ⅰ卷第7题为例

王光华 孟 泰

江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学 江苏省泗洪县第一高级中学

2022年高考数学全国新高考Ⅰ卷普遍认为是最难的.而选择题第7题又是这份试卷难题的代表.

A.a

C.c

1 题目的高等数学背景分析

其实这道题并不难，我们只要在计算器上分别算出a，b，c的值就一见分晓，大小立见.

本题也可以利用泰勒展开式估算其大小，但属于高等数学范畴，普通高中不作要求，有的同学估计没学.因而我们必须另辟蹊径，寻找适合高中 生的解题办法.

2 解题的一般化思路理解

先看下面这个问题：

4×34+1是合数吗？ 经计算，4×34+1=325，再对325进行分解，325=25×13，所以4×34+1是合数.如果将3改为2 022，那么4×2 0224+1为合数吗？很显然，运用上述方法，运算量大，分解有难度.

因此要换一种思路，这个思路就是抽象.我们将数字3，2 022等数抽象为字母m(m>1，m∈N)，问题就抽象为“4m4+1是合数吗”.此时我们很容易想到数学上处理代数式的“因式分解”.

事实上，4m4+1=4m4+4m2+1-4m2=(2m2+1)2-4m2=(2m2+1+2m)(2m2+1-2m).

因而4m4+1为合数.此时只要令m=2 022，就知道4×2 0224+1为合数.

这就是抽象的神奇之处[1]！

在这里，我们先将特殊的数式抽象为具有一般性的代数式，通过模式识别，运用多项式的理论——因式分解，从而解决了这个“4×2 0224+1为合数吗？”

现实世界有很多具体的、特殊的问题.我们就要把它们抽象成一般性的数学问题，然后通过模型识别，寻找解决数学问题的数学模型，从而解决具体的、特殊问题[2].具体思维策略如图1所示：

图1 思维策略

例如：周期现象通过抽象，可以用三角模型解决；随机现象通过抽象，可以用概率统计解决；大小现象通过抽象，可以用函数性质解决.

3 基于数学抽象策略的问题解决

将0.1记为x(抽象)，构造函数：

此时可以通过研究上述三个函数，利用函数单调性比较大小，这是高中常用的方法.

(1)先研究a与b的大小

令u(x)=ex(1-x)2-1，求导,可得u′(x)=ex·(x2-1).当x∈(0,1)时，u′(x)=ex(x2-1)<0，则u(x)=ex(1-x)2-1在(0,1)单调递减.

(2)再研究a与c的大小

令m(x)=xex-[-ln(1-x)]=xex+ln(1-x)，x∈(0,1),则

其分母恒大于零，只需判断分子符号，因此构建函数v(x)=(1-x2)ex-1，x∈(0,1).

所以v′(x)=(1-2x-x2)ex>0 在(0,0.25) 上恒成立.

(关键在于选择恰当区间来卡0.1即可.)

于是v(x)在区间(0,0.25) 上单调递增.

所以v(x)=(1-x2)ex-1>v(0)=0，

对∀x∈(0,0.25)恒成立.

所以m(x)=在(0，0.25)上单调递增,从而m(0.1)>m(0)=0,即0.1e0.1>-ln 0.9.故a>c.结合ac,可知c

4 解题过程的再优化

数学解题追求大道至简，能否将解题过程简化呢？我们还可以优化以上解题过程.

由于这两个函数解析式的分子相同，因此只要比较分母大小.根据指数切线不等式ex≥x+1,有e-x≥-x+1,当且仅当x=0时等号成立，记x∈(0,1).

再考察b，c的大小关系.

对于x=0.1，则h(0.1)

a与c的大小同上，不难看到其运算量较大，能否将a与c的大小比较进行优化呢？

构造函数优化2：利用指数切线不等式ex≥x+1，有e0.1>0.1+1=1.1.

所以a=0.1e0.1>0.1×1.1=0.11.

而c=-ln 0.9如何处理呢？

因此，c=-ln 0.9<0.11

综上c

5 思路方法的课本寻根

我们再向教材寻根：通过所给具体数值的特征，抽象出一般性的函数，再根据函数的性质比较具体数值的大小，这在教材中是常见的.例如苏教版必修一第145页的例2.

比较log23.4与log23.8的大小.

解：考察对数函数y=log2x.

因为2>1,所以y=log2x在(0,+∞)上是增函数.

又因为0<3.4<3.8,所以log23.4

从教材给出的例题可以看到，根据所给数据的特征，找出他们的共性特征(同底数、同指数、同真数等)，找出他们的相异特征(底数不同、指数不同、真数不同等)，构建相应的函数，利用函数的单调性来比较所给数据的大小.

那么数的大小比较问题是否一定运用上述思维策略，即先通过数学抽象，再寻找数学模型来解决呢？

上述高考题的分析，其具体思维导图如图2所示.

图2

综上，思路一通过计算比较大小，虽然思路简单，但受高考及能力限制，不是行之有效.而思路二则是通过观察特殊数的特征抽象出一般意义的函数，利用模型函数的单调性，从而解决了数的大小比较问题.

A.c>a>bB.a>c>b

C.a>b>cD.c>b>a

思路分析:通过观察三个数的特征，统一形式为

又g′(x)=-lnx<0恒成立，所以g(x)在[4，9]上单调递减，从而g(x)

故a>c>b，答案选:A.

再例如2021年全国卷乙卷理科第12题：

A.a

C.b

思路分析:从三个数字特征来看，不妨将0.01抽象成变量x，则

a=2ln 1.01=2ln(1+0.01)→2ln(1+x)，

b=ln 1.02→ln(1+2x)，

所以由g(t)>g(1)=2ln 4-1+2ln 4=0.

因此f(x)>0，可得a>c.

于是h(x)<0，即c>b，从而a>c>b.故选：B.

基于2022年高考试题特点，可以看出数学抽象是高考必考查的核心素养，为此在平时学习中我们要：

学会用抽象的眼光观察数学，

学会用抽象的思维思考数学，

学会用抽象的语言表达数学.