在对策问题中感悟优化的魅力

董涛

“田忌赛马”是人教版数学四年级上册第八单元的例3。本课时是在学生掌握运筹问题的基础上教学的，旨在引导学生经历从多种“对策”方案中寻找“最优策略”的过程，形成优化思想。

一、借助游戏，萌发优化意识

《田忌赛马》是最古老、最成功的对策论的案例。如何引导学生从故事中发掘数学知识，在分析不同策略中理解优化过程，形成优化意识呢？

上课伊始，笔者引导学生用扑克牌玩“比大小”游戏，感知“以小胜大”。笔者先用课件呈现如下两组扑克牌及游戏规则：

接着，笔者要求同桌两人各选一组扑克牌进行游戏，看谁能赢得比赛。游戏结束后，笔者组织学生交流。一名学生说：“黑牌先出，我用红桃8、6、4分别与黑桃9、7、5比，结果三场都输了。”另一名学生说：“红牌先出，我用黑桃5、7、9分别与红桃4、6、8比，结果我赢了三场。”笔者顺势设疑：“为什么刚才两组都是红牌输了比赛，是不是每张黑牌都比红牌大？”一名学生说：“是的，黑牌整体要比红牌大，红牌不可能赢黑牌。”笔者暂不给予评判，而是提示：“虽然黑牌整体比红牌大，但是将红牌的出牌顺序打乱，有没有可能获胜？”一名学生说：“有可能。若用红桃4与黑桃9比，再用红桃8与黑桃7比，最后用红桃6与黑桃5比，红牌就会赢两场，持红牌者会以2：1获胜。”笔者肯定道：“你真棒！竟然用小牌战胜了大牌。虽然黑牌整体比红牌大，但只要我们对应的策略运用得当，就能以小牌胜大牌。”

扑克牌“比大小”活动激活了学生已有的生活经验，使学生感知到对策问题中的可能性大小，体会到“以小胜大”事实的存在，初步产生了优化意识，为后续探究奠定了基础。

二、借助故事，突出优化思想

优化思想就是从优化的角度在多种解决问题的方案中寻找最优方案，体会最优思想在实际生活中的应用，进而形成基本的策略模型的数学思想。教学中，笔者将“田忌赛马”中的六匹马的实力分别用数据表示，引导学生借助“以小胜大”的经验，探究“以弱胜强”的策略。课堂上，笔者呈现例3后，组织如下教学活动。

师：若用4～9这六个数字给齐王、田忌的马按实力打分，最高分应该给哪匹马？为什么？

生₁：最高分9分应该给齐王的上等马，因为齐王的三个层次马的实力都优于田忌的三个层次的同等马。

师：田忌的上等马应该打多少分呢？为什么？

生₂：田忌的上等马应该打8分，因为上等马优于中等马，中等马优于下等马。

师：其他的马呢？

生₃：齐王的中等马应該打7分，下等马应该打5分；田忌的中等马应该打6分，下等马应该打4分。

师：田忌是不是没有可能战胜齐王？

生₄：只要对应策略正确，还是有可能战胜齐王的。

师：田忌要想战胜齐王，第一场应该用哪种马去对阵齐王的上等马？为什么？

生₅：田忌应该用下等马（4分）对阵齐王的上等马（9分）。田忌表面看是输了第一场，实际上他不仅消耗了齐王3分的优势，还“赚了”2分，接下来的两场比赛田忌就有优势了。

师：后两场比赛，田忌无论怎样对阵是不是都能获胜？

生₆：不是。如果第二场齐王用中等马（7分）出阵，田忌就出上等马（8分）对阵；如果齐王用下等马（5分）出阵，田忌就出中等马（6分）对阵，这样田忌才能确保赢两场，以2∶1的结果获胜，实现“以弱胜强”。

师：田忌一共有多少种方案对阵齐王？田忌战胜齐王的策略是唯一的吗？请同学们小组研究后汇报。

生₇：田忌一共有6种对阵策略，其中5种策略齐王可以获胜，只有1种策略田忌可以获胜。具体对阵策略如下表。

师：通过比赛可以看出，田忌要想获胜，除了运用最优策略外，还有一个重要的条件，那就是齐王必须先出马，否则田忌无法获胜。

以上教学，学生通过数据的分析、比较，不仅感受到数据的力量，而且体会到对阵策略的多样性，深化了对优化思想的理解。

三、借助“做一做”，掌握优化策略

为帮助学生理清优化思路，形成对优化策略的清晰认知，课堂上，笔者把教材第106页的“做一做”（如下图）设计成“三种假设”并展开活动。

假设一：假设对方第一场出红桃9，小红该怎样出牌才能获胜？

第一小组代表回答：“第一场小红应出黑桃3，输掉第一局。第二场对方若出红桃7，小红就出黑桃8，第三场小红就以黑桃6赢红桃5；第二场对方若出红桃5，小红就出黑桃6，第三场小红就用黑桃8赢红桃7。这样最终结果都是小红以2∶1获胜。”笔者追问：“为什么小红要故意输掉第一场这一局？”该名学生回答：“因为红桃9在六张牌中最大，小红不论用哪一张牌去比，都会输掉这一局，既然这一局肯定会输，那就用小红最小的牌去比，这样就极大地消耗了对方的优势，为后面两场比赛获胜提供了保障。”

假设二：假设对方第一场出红桃7，小红该怎样出牌才能获胜？

第二小组代表回答：“第一场小红应该出黑桃8，赢第一局，第二场对方若出红桃9，小红就出黑桃3，第三场小红用黑桃6赢红桃5；第二场对方若出红桃5，小红就出黑桃6。这样小红仍以2∶1获胜。”笔者追问：“为什么第一场不故意输掉比赛？”他接着回答：“因为后面两场比赛中，肯定有一场要输，若第一场输掉了比赛，那小红就没有获胜的机会了，所以第一场必须赢得比赛，整体才有机会获胜。”

假设三：假设对方第一场出黑桃5，小红该怎样出牌才能获胜？

第三小组代表回答：“第一场小红应该出黑桃6，赢第一局。第二场对方若出红桃9，小红就出黑桃3，输掉这一局，第三场小红就稳赢了；第二场对方若出红桃7，小红出黑桃8，第三场小红会输掉比赛，但最终结果小红还是以2∶1获胜。”笔者追问：“第一场小红为什么不用黑桃8对战红桃5？”他接着回答：“如果第一场小红用黑桃8去赢得比赛，那后面两场无论怎么出牌，小红都会输，最后就不可能获胜了。”

经历了实践活动，学生找到了“以小胜大”的策略，“让对方先出、以最小对战最大、最终赢两场”，感悟到最优策略的价值。

（作者单位：应城市杨岭镇中心小学）

责任编辑  张敏