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带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解

2023-01-17吴沈辉宋明

浙江大学学报(理学版) 2023年1期
关键词:波解将式分支

吴沈辉,宋明

带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解

吴沈辉,宋明*

(绍兴文理学院 数理信息学院, 浙江 绍兴 312000)

利用动力系统定性理论和分支方法,研究了带有量子修正的Zakharov方程的精确非线性波解,给出了不同参数条件下的相图,沿相图中的特殊轨道进行了积分,得到量子Zakharov方程的4个孤立波解、7个奇异波解和24个周期波解共3类非线性波解。当参数取特殊值时,对部分周期波解取极限,给出了周期波解演化为相应的孤立波解和奇异波解的过程。

分支方法;修正Zakharov方程;非线性波解

0 引言

1972年,ZAKHAROV[1]提出了可用于描述高频Langmuir波和低频等离子波之间非线性相互作用的Zakharov方程,此为等离子体物理中的重要方程组。在一维情况下,经典的Zakharov方程为

近年来,众多学者致力于研究经典等离子体中的物理现象。考虑量子效应,用经典模型进行描述不够精确,GARCIA等[2]利用量子流体方法得到带有量子修正的Zakharov方程:

首先,利用动力系统分支方法和定性理论[10-20]研究量子Zakharov方程的非线性波解,讨论不同参数取值范围内行波解的存在性。其次,通过行波变换将方程转至平面系统,确定不同参数条件下奇点的类型,并借助Mathematica软件得到系统的分支相图,分别对相图中的同宿轨道、异宿轨道和周期轨道进行积分,得到对应的孤立波解、奇异波解和周期波解。最后,给出当参数取极限时周期波解演化为孤立波解和奇异波解的过程。

1 相图

采用变换:

将式(2)转化为

将式(4)的第2式求导后代入第1式,并对第3式积分2次,得

将式(6)代入式(5)的第1式,得

将式(6)代入式(5)的第2式,得

对式(9)积分,得到2个哈密顿函数:

根据动力系统定性理论,利用Mathmatica软件,得到式(9)的相图(图1)。

2 非线性波解

图1 在不同参数下式(9)的相图

由式(3),得到2个孤立波解:

2个奇异波解:

利用式(3),得到2个周期波解:

利用式(3),得到2个周期波解:

利用式(3),得到8个周期波解:

利用式(3),得到3个奇异波解:

利用式(3),得到2个孤立波解:

2个奇异波解:

利用式(3),得到2个周期波解:

利用式(3),得到2个周期波解:

利用式(3),得到8个周期波解:

3 周期波解的演化过程

当参数取特殊值时,对周期波解取极限,得到相应的孤立波解和奇异波解。

图2 当时,周期波解式(27)孤立波解式(16)

图3 当时,周期波解式(37)孤立波解式(16)

图4 当时,周期波解式(28)奇异波解式(17)

图5 当时,周期波解式(38)奇异波解式(17)

4 结论

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Exact nonlinear wave solutions for the modified Zakharov equation with a quantum correction

WU Shenhui, SONG Ming

(,,312000,,)

bifurcation method; the modified Zakharov equation; nonlinear wave solutions

O 175.29

A

1008⁃9497(2023)01⁃030⁃08

2021⁃09⁃23.

国家自然科学基金资助项目(11775146).

吴沈辉(1997—),ORCID:https://orcid.org/0000-0002-8633-0769,男,硕士研究生,主要从事微分方程非线性波解研究,E-mail:wsh56314@163.com.

通信作者,ORCID:https://orcid.org/0000-0003-4176-4923,E-mail:songming12_15@163.com.

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