BCK-代数的稳定化子

程晓云，王军涛，杨青，侯亚军

BCK-代数的稳定化子

程晓云1，王军涛2*，杨青1，侯亚军1

（1.西安航空学院 理学院，陕西 西安 710077； 2.西安石油大学 理学院，陕西 西安 710065）

引入了BCK-代数的稳定化子概念，给出了其相关性质，重点研究了左稳定化子与正则理想之间的关系。进一步，引入了BCK-代数的相对稳定化子概念，讨论了相对稳定化子与正则理想、固执理想及布尔理想之间的关系。借助左相对稳定化子，证明了BCK-代数的所有理想之集构成一个相对伪补格。

BCK-代数；稳定化子；相对稳定化子；理想；相对伪补格

0　引言

逻辑代数是与模糊逻辑对应的代数结构，BCK-代数对应BCK-逻辑系统［1］。BCK-代数是与众多逻辑代数密切相关的一类重要代数系统。例如，正定关联BCK-代数范畴等价于Hilbert代数；MV-代数范畴等价于有界可换BCK-代数；BL-代数范畴等价于特殊的BCK-代数，即Iséki代数等［2-3］。

稳定化子是逻辑代数的重要子结构，其概念来源于不动点理论，引入稳定化子有助于更好地研究逻辑代数的结构和性质［4-10］。HAVESHIKI等［4-5］将稳定化子和相对稳定化子的概念引入BL-代数，给出了BL-代数的相关性质，并讨论了稳定化子与几类滤子之间的关系。SAEID等［6］研究了剩余格上的稳定化子理论，讨论了相对稳定化子与几类滤子之间的关系，并通过稳定化子构造了商剩余格。随后，HAVESHKI［7］进一步改进和优化了相关结论。WANG等［8］将蕴涵稳定化子和乘稳定化子引入MTL-代数，刻画了几类特殊的MTL-代数，并证明了右蕴涵稳定化子与右乘稳定化子序同构。

受上述研究启发，本文将逻辑代数的稳定化子理论应用于BCK-代数，引入BCK-代数的稳定化子和相对稳定化子概念，给出BCK-代数的相关性质；考虑到理想是BCK-代数的重要子结构，本文重点研究稳定化子、相对稳定化子与BCK-代数理想之间的关系，得到BCK-代数的全体理想之集结构。

1　预备知识

2　BCK-代数的稳定化子

表1　二元运算“”的定义

（5）显然成立。

（6）可由（2）证得。

（8）可由（2）证得。

（2）和（3）可由（1）证得。

3　BCK-代数的相对稳定化子

（3）可由（2）证得。

（5）可由（4）证得。

（7）和（8）可由相对稳定化子的定义证得。

证明 （1）由正则理想的定义易证得。

表2　二元运算“”的定义

4　结论

通过BCK-代数的稳定化子这一重要子结构，研究了BCK-代数的理想和结构，研究结果具有一定的理论意义。所得结论在一定程度上拓展了BCK-代数的理想理论，丰富了逻辑代数稳定化子的研究内容。

［1］ IMAI Y， ISÉKI K. On axiom systems of propositional calculi， XIV［J］. Proceedings of the Japan Academy， 1966， 42（1）： 19-22. DOI：10. 3792/pja/1195522169

［2］ 孟杰，刘用麟. BCI-代数引论［M］. 西安：陕西科学技术出版社， 2001.

MENG J， LIU Y L. An Introduction to BCI-Algebras［M］. Xi'an： Shaanxi Science and Technology Press， 2001.

［3］ IORGULESCU A. ISÉKI A. Connection with BLalgebras［J］. Soft Computing， 2004， 8（7）： 449-463. DOI：10.1007/s00500-003-0304-0

［4］ HAVESHKI M， SAEID A B， ESLAMI E. Some types of filters in BL algebras［J］. Soft Computing， 2006， 10： 657-664. DOI：10.1007/s00500-005-0534-4

［5］ HAVESHKI M， MOHAMADHASANI M. Stabilizer in BL-algebras and its properties［J］. International Mathematical Forum， 2010， 57： 2809-2816.

［6］ SAEID A B， MOHTASHAMNIA N. Stabilizer in residuated lattices［J］. University Politehnica of Bucharest， Scientific Bulletin Series A： Applied Mathematics and Physics， 2012， 74（2）： 65-74. DOI：10.1117/12.922936

［7］ HAVESHKI M. Some results on stabilizers in residuated lattices［J］. Cankaya University Journal of Science and Engineering， 2014， 11（2）： 7-17.

［8］ WANG J T， HE P F， SAEID A B. Stabilizers in MTL-algebras［J］. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems， 2018， 35（1）： 717-727. DOI：10.3233/JIFS-171105

［9］ MOTAMED S. Double left stabilizers in BL-algebras［J］. Annals of The University of Craiova-Mathematics and Computer Science Series， 2017， 44（2）： 214-227.

［10］ZHU K Y， WANG J R， YANG Y W. On two new classes of stabilizers in residuated lattices［J］. Soft Computing， 2019， 23（23）： 12209-12219. DOI：10.1007/s00500-019-04204-y

［11］MENG J， JUN Y B. BCK-Algebras［M］. Dodrecht： Kyung Moon Sa Co， 1994.

［12］HUANG Y S. BCI-Algebras［M］. Beijing： Science Press， 2006.

Stabilizers in BCK-algebras

CHENG Xiaoyun1, WANG Juntao2, YANG Qing1, HOU Yajun1

1，，710077，；2，，710065，）

In this paper, we introduce the notion of stabilizers in BCK-algebras and investigate the related properties of them. We focus on the study of the relationship between left stabilizers and normal ideals. Further, we introduce the concept of relative stabilizers in BCK-algebras and deliver the relationship between relative stabilizers and normal ideals, obstinate ideals and Boolean ideals. Finally, by use of the left relative stabilizers we prove that the set of all ideals in a BCK-algebra constructs a relative pseudo-complemented lattice.

BCK-algebra; stabilizer; relative stabilizer; ideal; relative pseudo-complemented lattice

O 155

A

1008⁃9497（2023）01⁃020⁃05

2021⁃11⁃09.

国家自然科学基金资助项目（12001423，11961016）；陕西省自然科学基础研究计划项目（2020JQ-762，2021JQ-580，2021JQ-579，2022JM-014）；陕西省教育厅自然科学研究专项计划（20JK0626）；西安航空学院校级科研项目（2020KY0206）；西安航空学院博士科研启动基金项目.

程晓云（1978—），ORCID： https：//orcid.org/0000-0002-4047-0504，女，博士，副教授，主要从事逻辑代数及超代数研究.

通信作者，ORCID： https：//orcid.org/0000-0002-0337-9517，E-mail：wjt@xsyu.edu.cn.