谈一道高中数学教材经典习题的解法*
2023-01-11北京丰台二中
⦿北京丰台二中
甘志国
1 谈一道高中数学教材经典习题的解法
解:与教材[1]配套使用的《教师教学用书》[2](2020年8月第1次印刷)第193页给出的该题解答是:
由题设可求得a=2,于是由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=4.又因为|MF1|=5,所以所求|MF2|的值是1或9.
高中数学教材[1]、[3]~[5]的习题中均给出了下面的题2,且与这些教材配套使用的《教师教学用书》中给出的解法也相同,可见其“经典”之程度.
题2如果双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于.
不妨设|PF1|=1,因而|PF2|=17.
A.11 B.9 C.5 D.3
解:B.由所给双曲线的方程及双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=3,可得|PF2|=-3或9(舍去负值),所以|PF2|=9.
解:11.由所给双曲线的方程及双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=6.再由|PF1|=5,可得|PF2|=-1或11(舍去负值),所以|PF2|=11.
“正值保留、非正值舍去”这种检验方法似乎完整无误,果真如此吗?请看另一道高考题:
该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内;若不正确,将正确的结果填在下面空格内:.
答案:|PF2|=17.
疑问:为什么得到的|PF2|的正值“1”又要舍去呢?难道题1~4的解法有误或者有不严谨之处,答案有错吗?
我们要知道下面的常识:不是通过等价转化得到的答案都要检验.如果得到了两两互异的n(n∈N*)个答案,则检验的结果有2n种可能:恰有其中的0个答案满足题设,或恰有其中的1个答案满足题设,……,或恰有其中的n个答案满足题设.比如,当不是通过等价转化得到了两个不同的答案(记作λ,μ)时,检验的结果有四种可能:λ,μ均不满足题设(此时原问题无解);λ满足题设,但μ不满足题设(此时原问题有唯一解:解是λ);λ不满足题设,但μ满足题设(此时原问题有唯一解:解是μ);λ,μ均满足题设(此时原问题有且仅有两个解:解是λ,μ).对两个答案λ,μ均要检验,绝不能说“若λ不满足题设,则μ就满足题设”.
图1
因此,题1~4的解法均有误,并且《教师教学用书》[2]给出的题1的答案也是错误的(理由见后面的论述):错误在于检验方法“正值保留、非正值舍去”不对(在下文的题7中,得到的两个正值均应舍去).
若点M在该双曲线的右支上,由该双曲线的右支向左凸,可得|MF1|≥|A2F1|=|A2O|+|OF1|=2+4=6,与题设|MF1|=5矛盾.所以点M在该双曲线的左支上,因而|MF1|<|MF2|.
再由双曲线的定义,可得||MF1|-|MF2||=|MF2|-|MF1|=|MF2|-5=4,|MF2|=9.
由图1可看出,双曲线左支上的动点到左焦点距离的取值范围不是(0,+∞),右支上的动点到左焦点距离的取值范围也不是(0,+∞),这正是以上检验方法“正值保留、非正值舍去”的错误原因.
2 一般情形的结论及其应用
(用减元法、三角换元法、双曲线的焦半径公式均可获证.)
由定理1及其证明,可得下面的两个推论:
推论1如图2所示,设双曲线Γ的左、右顶点分别是A1,A2,左焦点是F1.则有:
(1)若以F1为圆心,|F1A1|为半径画圆Ω,则除点A1外双曲线Γ左支上的点均在圆Ω外;
(2)若以F1为圆心,|F1A2|为半径画圆Ω′,则除点A2外双曲线Γ右支上的点均在圆Ω′外.
图2
注:在图2中,由圆及双曲线的凹凸性,可得推论1(2)显然成立,但推论1(1)不能仅由看图得出.
(1)当c-a≤r (2)当r≥c+a时,点P到双曲线Γ的另一个焦点的距离的取值集合是{r-2a,r+2a}. 证明:不妨设点P到双曲线Γ的左焦点F1的距离是|PF1|=r,双曲线Γ的右焦点是F2. (1)当c-a≤r (2)当r≥c+a时,由定理1可得点P可在双曲线Γ的左支上,也可在双曲线Γ的右支上. 若点P可在双曲线Γ的左支上,由双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=|PF2|-|PF1|=|PF2|-r=2a,|PF2|=r+2a;若点P可在双曲线Γ的右支上,由双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=|PF1|-|PF2|=r-|PF2|=2a,|PF2|=r-2a≥c-a.进而可得欲证结论成立. (1)若|PF1|=17,则|PF2|=; (4)若|PF1|=r(r>0),则|PF2|=. 解:依题意可得|PF1|-|PF2|=±16,再由推论2可得所求答案分别是: 错误解法:由题设及双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=||PF2|-25|=22,|PF2|=3或47. 正确解法:因为双曲线Γ的实半轴长a=11,半焦距c=61,所以由定理1可得|PF1|≥c-a=50,与题设|PF1|=25矛盾!所以本题的答案是“不存在”. 还可把推论1加强为: 图3 笔者于2011年发表的文[7]还得到了关于抛物线、椭圆的相应结论(下面的表述略有改动): 定理3[7]如图4所示,以点C(t,0)(t>0)为圆心,|CO|(O为坐标原点)为半径画圆Ω,则除点O外抛物线Γ:y2=2px(p>0)上的点均在圆Ω外的充要条件是0 图4 图5 图6 图7 推论3如图7所示,设椭圆Γ的左、右顶点分别是A1,A2,左焦点是F1. (1)若以F1为圆心,|F1A1|为半径画圆Ω,则除点A1外椭圆Γ上的点均在圆Ω外; (2)若以F1为圆心,|F1A2|为半径画圆Ω′,则除点A2外椭圆Γ上的点均在圆Ω′内. 注:推论3的两个结论均不能由图7直接得出. 题8已知O是坐标原点,椭圆长轴的一个端点是A,椭圆上存在点P使OP⊥PA,求该椭圆离心率的取值范围. c2cos2θ-a2cosθ+a2-c2=0.