函数思维在中学数学解题中的应用研究

沈秋雨

（苏州大学数学科学学院，江苏 苏州 215006）

中学数学的学习难点在于“举一反三”，该学科具有“高度抽象性、结论确定性与应用广泛性的特点”。然而对于中学生来说，正是因为数学知识或定理的抽象性，所以一些规律性的已知条件通常都会在题干中以隐藏的形式体现，这显然给中学生解题带来了极大的困扰。部分学生在解题过程中发现，即使书本上的公式定理都已经一字不差地背诵下来了，但在具体的实践中还是难以做到活学活用，不懂得怎么将已知条件转化为一种方便直观理解的形式，这主要是因为学生的函数思维培养比较薄弱。对于中学生来说，应用函数思维是对所给问题深度观察、分解、剖析的关键，当传统代数法无法解决数学难题时，利用“构造函数”规定思想来提取已知条件或许是一条可行的解题捷径。

1 研究背景

1.1 函数思维理念分析

函数思维是由函数问题引申出来的一种数学思想，近代函数定义认为，函数是建立在集合与映射的观点上，对某个给定数集A中所有元素施加的一个客观规律性法则，这个法则在数学上记作f（x）。那么任何一个函数都有如下三个特征，定义域，函数自变量x的取值范围一定，只有x被A包含时函数才具有意义，所以定数集合A的取值范围是明确的；值域，f（x）可以看做是x在特定规则下的映射值，那么如果元素x的定值范围明确，f（x）的映射值范围也应是明确的，若另一个定数集合D中任意元素y在数值上都与f（x）的输出结果相同，那么f（x）=y时，D就是f（x）的函数值域。定义域与值域可以用来解释或判断同属于数集A中任意元素在数值区间上的属性特点；对应法则，指f（x）的数量变化关系，f（x）视为x元素经过一系列规则转化后的唯一映射值，因此若是可以理清f（x）具体所指代的数值处理规则，就可以直接推导出特定条件下自变量x的定值或f（x）的输出值[1]。

在经过前人的经验实践与总结后得出这样的结论，函数思维的性质就是利用函数描述几个变量之间映射关联的性质，将待解决的数学问题转化为“已知+未知+规定法则”的形式，根据数学问题给出的既定规律，人为地构建一种客观函数关系，使题目中的无限的变量被约束在函数规律内，再去解决具体数学问题的一种思维策略。在具体的解题过程中，合理利用函数的解析式、定义域与值域的取值性质来挖掘题目隐藏的已知条件，是函数思维应用的关键所在，建立在充分、全面、深入地了解观察问题的基础上，利用数学问题中已知条件与未知变量之间的映射关系来构造出函数的原型，就可以用来描述题干的关键线索或者直接输出我们想解得的问题答案。

1.2 函数思维的特点

函数思维从性质上来看，它是数学学科的核心素养中逻辑推理、数学建模、数学应用与数据分析交叉形成的产物，是数学以“客观唯物论”为辩证基础的集中体现。函数思维在解题过程中应用，自然需要中学生不断从多个动态角度来理解数学的知识定理，在对已知条件的梳理与转化过程中找到利于答案输出的解题方法。而函数思维的培养过程中，中学生钻研数学的能力与独立解决数学问题的能力都会得到综合提升，久而久之就会形成一种灵敏的数学直觉与数学经验，使更加复杂多变的数学问题的解密变得游刃有余、得心应手了。在中学阶段的数学解题中应用函数思维，主要是它如下两个方面特点的体现：

一是化无限为有限的特点，许多数学问题给出的已知条件中，某些变量的取值似乎是可以无限变换的，这也是代数法解题的局限性所在，当代数关系不足以描述“无限变化”的变量时，我们就需要用一个短小且有限长度的函数公式来为它们施加一个规定法则[2]。这样不管题目中的变量条件如何取值，在数值输出中总要满足特定规则下的元素性质，用函数思维解决无限变量的数学问题，其目的在于最大程度压缩或优化问题的复杂程度，始终控制已知或未知的变量条件保持基本的映射关系，就可以用“有限”规则来描述“无限”的变量条件了。

二是跃迁转化的特点，函数思维虽然是从函数问题中引申出来的数学策略，但并不意味着它仅能解决函数问题。在“已知+未知+固定法则”的解题模板框架下，任何包含未知求解的数学型问题，都可以用函数思维来转化解答。例如中学的方程式求解、不等式运算以及数列的规律推导等，只要用一个构造函数来为其中变量或未知量赋予一个固定的取值范围，那么就可以用数与数的关系来描述数学问题中的抽象变化关系。所以函数思维的跃迁转化特点，就是指可以用函数思维来解答非函数问题[3]。

2 函数思维在中学数学解题中的应用分析

2.1 在方程上的应用

函数与方程是数学学科的两个不同研究范畴，方程是一组含有未知量的等式，它是表示两个不同数学式之间数值相等的关系，方程式问题中使等式成立的条件就是未知数满足某一个或多个定值，而推导出方程式未知数具体值的过程，就叫做方程式求解。函数与方程问题的联系体现在它们的表达形式上，若有一个方程写作y=0，那么它的解在f（x）=0的图像与x轴的交点坐标上，而这样函数y=f（x）也可以被视为二元一次方程f（x）-y=0的形式来进行解答。所以在方程问题上应用函数思维，关键就在于将方程式整个或某一部分来用函数关系式f（x）的方式来替代，先将方程式进行简化处理，然后再具体分析其中f（x）的变化规律。总的来说，在中学方程问题上应用函数思想，就是将形式较为复杂或者计算量比较大的方程式两边分别构造为两个固定规则相同的函数，再利用它们在同一个函数图像上的性质来判断取值关系。

2.2 在不等式上的应用

不等式是指用“〉”“〈”“≥”“≤”或“≠”连接的两个数学式，在中学阶段的数学问题中，不等式左右两边成分的讨论范畴均为实数，其中字母也代表实数。不等式也有它的定义域，左右两边均存在例如m与n等未知数的，若想要让不等式成立必须在取值上满足某些条件，而m所属数集A与n所属数集B就叫做不等式的公共定义域。不等式与函数的关联在于它们定义域与解集的共性特征上，例如有这样一个函数f（x），它的输出值y恒定大于0的情况下，x的取值范围正是不等式f（x）〉0中x的解集，若画出f（x）的函数图像，那么所有在x轴上方的点横坐标都为不等式f（x）〉0的解集[4]。所以在不等式问题上应用函数思维，可以将函数增减区间性质判断不等式成分的辅助手段，为不等式关系证明或推导提供更多的已知信息。在不等式问题中应用函数思维，关键点就在于根据不等式的代数形式来构建函数规则，再利用构建函数的单调增减性质或者值域特点，对不等式成分进行分析。

2.3 在数列上的应用

数列与方程和不等式不同，它本身就是数学函数问题中的一个分支，但它的表达形式与一般函数表达式有所差异，数列与一般函数表达式的特殊点在于它的定义域与值域上，它可被看做是定义域为正整数集的函数式，这样有序列的数字在函数图像上表现为彼此分割离散的点坐标。数列中的子项必须是实数或负数，假如有数列{an}，它的定义域为函数f（x）的正整数解集，那么f（x）输出值y与x的关系，就可以视为数列{an}的通项公式。因此函数思维在数列问题中应用，需要学生透彻理解二者之间的关联，即f（x）的输出值y，可以视为数列中第x项的ax的数值。

在中学学习阶段，数列的最值问题是最常见到的题型，此类问题主要是考查学生对数列通项公式以及数列定义域、值域等知识点的掌握理解程度。而解决此类数列最值问题，最便捷的方法就是构建其函数与数列之间的逻辑关联，从函数在不同定义域区间的增减单调性上来进行子项作差，从而得到问题所求的最大值子项或最小值子项结果。

3 函数思维在中学数学解题中的应用案例分析

3.1 方程问题中应用函数思想的实例

我们以下列一组例题的解法来说明方程式问题中的函数思维体现：已知 m，n两个未知数，满足方程m3-3m2+5m=1；n3-3n2+5n=5的关系，求m+n的值。

根据题干来看，学生可能会认为最优解法是利用代数法分别解出两个方程的未知数解，接着再将两个方程式的解相加得到问题答案。但在实际操作中会发现单独解任何一个方程都存在计算上的障碍，问题中的一元三次方程不易在不借助任何计算设备辅助的情况下直接手算得出结果。所以不妨在该题中应用函数思维来优化两个方程式的表达形式，首先将方程式按照如下方法变形：

已知m3-3m2+5m=1，那么则有m3-3m2+5m-1=0[5]。再将其进行因式分解得到新的方程式，（m-1）3+2（m-1）+2=0；同理已知n3-3n2+5n=5，n3-3n2+5n-5=0，因式分解得到（1-n）3+2（1-n）+2=0。我们会发现经过因式分解后得到的两个变形方程左右两边的成分形式已经完全相同了，所以可以构造一个函数 f（x），使 f（x）=x3+2x+2，那么方程式 1就可以写作f（m-1）=0，方程式2就可以写作f（1-n）=0。由于两个方程式的输出值完全相等，有f（m-1）=f（1-n）的关系。此时只需要分析构造函数f（x）=y，当y输出值一定时x是否存在多个解，就可以判断m-1与1-n之间是否存在数值相等的关系了。而根据y=x3+2x+2的性质来看，它在定义域x∈R上为单调递增函数，因此两个自变量不可能同时输出同一个y值。所以m-1与1-n一定为同一个数值，最后将m-1=1-n方程式的未知数与已知数分别变号调换到等号的同一侧，得到m+n=1+1=2。

3.2 不等式问题中应用函数思想的实例

用如下例题来说明函数思维在不等式问题中的应用：有三个常数 a、b、c，满足{a、b、c}∈R 的关系，试证明由 a、b、c构成的不等式“”恒成立。

该不等式问题比较棘手的地方在于不明确a、b、c三者之间数值的大小关系，因此难以判断“a+b+c”的值是否大于或小于a、b、c当中任意个体。且由于|a|恒大于0，但若a〈0还需要考虑到|a|=-a的问题，所以无法直接通过比较分母或分子的大小来判断不等式两边的关系。那么解决该问题，就需要将不等式中的某些特定成分进行函数化转变。首先我们构造一个新的函数为，那么从函数实际意义成立的角度来判断，定义域为x≠1，那么从函数图像的性质来看，若当输入值满足x∈[0，+∞]的关系时，若x2〉x1，由于函数在该区间为单调递增函数，所以总有输出值 y2〉y1。而原不等式中，一定有 a≤|a|、b≤|b|、c≤|c|的数值关系，所以a、b、c三者之和一定小于|a|+|b|+|c|。那么根据我们构造函数f（x）的规则，原不等式等号左右两边的成分就可以被转化为如下形式：

3.3 数列问题中应用函数思想的实例

以如下例题来说明函数思维在中学数列问题中的应用：有一个数列的表达形式为“”，试求出该数列通项的最大值。

该问题中的难点在于无法通过手算来将 x=1、x=2、x=3...x=n等数值逐一带入到数列通项公式中求得数值结果，且在这样一系列的实数串子项中，最大值的数项位置也难以明确。因此我们需要利用数列与函数之间的表达关联，构建一个与数列通项公式规则相同的函数表达式，将数列子项之间数值大小的问题，迁移引申到函数在[1,+∞]区间中极值讨论问题。将函数式解析为的形式，那么将f（x）=0作为推导条件，可以轻易地分析出f（x）在[1,+∞]区间里有一个唯一稳定点k，此时x=k。因此虽然无法根据已知条件绘制得知f（x）函数的图像情况，但可以得出如下结论，当x〉k时，f（x）的输出结果恒小于0，而当x〈k时，f（x）的输出结果恒大于0，也就是说在函数f（x）中存在一个最大值条件，此时。将k的值回代入，不用计算其结果就可以知道其数值介于2与3之间，因此我们只要对比数列中a2与a3之间在数值上的大小关系，较大的那个就是该数列的最大项，经过计算可知大于，所以该数列的最大项数值为a3，具体数值为。

4 结论

综上所述，中学数学的学习难点在于书中的公式定理的灵活应用，学生当接触到与课本表达形式完全不同的试题时，难以与已学过的知识脉络产生关联。尤其是在未知数求解过程比较繁杂的应用题中，传统代数法的解题思路由于难以化解或计算对应数值，容易导致学生思维陷入囹圄。因此需要在日常教学中注重学生函数思维的培养，只有这样学生才能够从多个角度去观察分析问题，找到潜在的数值关系规律。在解决数学问题的过程中应用函数思维，就是利用函数建模的方法来为无限的变化形式未知量定义一个固定的规则，实现复杂数学式的“化繁为简、化整为零”，利用构建函数的某种规则表达形式、定义域、值域以及区间单调性、增减性等特点来辅助解题，找到便捷、易于理解的全新解题思路。