活用定义 巧解圆锥曲线考题——以2022届八省联考第5题为例

贺凤梅

(新疆维吾尔自治区伊犁巩留县高级中学 835400)

在近几年的高考试题中，抛物线以选择题、解答题的形式出现.2016年全国Ⅰ卷理科第10题、2018年全国Ⅱ卷理科第19题、2021年全国乙卷理科第21题均考查了抛物线.2022届八省联考题以选择题的形式进行了考查，彰显了抛物线定义应用的普遍性，从试题设置来看，也突出了解题的技巧性和灵活性.如果只是按部就班地解此题，很可能在考场上耗费大量时间还未成功，从而对考生的心理造成消极的暗示，影响其他试题的解答.下面以2022届八省联考题为例，期待通过思路的分析及解法的对比，厘清问题的本质.

1 问题的提出

题目(2022届八省联考第5题)如图1，抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l与C交于A,B两点，l与y轴交于点E，已知|AF|=7，|BF|=3，记△AEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，则( ).

A.S1=2S2B.2S1=3S2

C.S1=3S2D.3S1=4S2

2 解法探究

解法1(以两个三角形的底和高为研究对象)

设AB与x轴的交点为P，以PF为两个三角形的公共底边，高由对应两点纵坐标之差的绝对值确定，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，结合图1有y1>0，y2<0.

由抛物线的定义,得|AF|=x1+1=7，

解得x1=6.

由|BF|=x2+1=3，解得x2=2.

图1

所以直线AB的方程为

S△BEF=S△EFP-S△BFP

故选C.

评析此种解法思路自然，没有变形技巧和思维难度，需要什么求什么. 但从解题过程来看，不亚于一道大题的计算量. 如何破解此题，实现小题小做，小题巧做呢？重新审视此题，既然题设中与焦点弦有关，我们要充分利用抛物线的定义和性质，还有两三角形的面积如何表示，能实现面积的比与已知条件中线段的长度建立相对直接的关系，题目就简单很多.

解法2 (利用抛物线的定义，借助平面几何知识解答)如图2，作AA1⊥y轴于点A1，作BB1⊥y轴于点B1，所以AA1∥BB1.

图2

由抛物线的定义,得

设点F到AB的距离为d，

故选C.

评注此法利用抛物线的定义及几何位置关系进行等价转化，将化归与转化、数形结合的思想和方法体现得淋漓尽致，很好地领悟了命题者的意图.

3 举一反三

如果题设中出现了抛物线的焦点、焦半径、抛物线上的点及准线时，一般应考虑利用抛物线的定义解题，而对抛物线有关问题的求解，若能巧妙利用定义转化，则常能化繁为简，优化解题思路，节省解题时间，提高解题效率，拓展思维能力.下面分类举例.

3.1 比值问题

解析设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨设y1>0，y2<0，作AE垂直于准线于点E，作BD垂直于准线于点D，如图3.由抛物线的定义知|BF|=x2+1=5.

图3

所以x2=4.由题设可求得y2=-4.

所以B(4，-4).则AB的方程为y=4x-20.

2x2-(p+8)x+8=0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由根与系数的关系知

①

②

联立①②解得x1=4，x2=1.

3.2 长度问题

3.3 最值问题

例4设抛物线y2=2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为____.

评析与抛物线有关的最值问题，优先考虑抛物线的定义，当然抛物线的定义在应用上有很大的灵活性，这对学生的思维能力和转化能力提出了更高的要求.正所谓“看到焦点作准线，看到准线连焦点”.(参考答案：P(2,2).)

3.4 参数问题

例5过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，交其准线l于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为____.

评析本题是山西大学附中2019届的一道适应性检测压轴题，有一定的难度和灵活性，但只要利用定义进行等价转化，还是可以突破的.(参考答案：y2=3x)

抛物线的定义揭示了抛物线的内涵与外延，也反映出它的本质，在解题教学中，我们倡导要回归课本，回归定义.美国著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中说到“回到定义上去是一种重要的思维活动”.因此，用好定义解题很重要，它不仅可以使问题得到简化，还能提高学习效率，增强学生学习的兴趣和自信心.