基于Duffing系统的微弱超声导波幅值检测方法研究

闫晓鹏，成梦菲，张伟伟，武 静，马宏伟

(1.太原理工大学 机械与运载工程学院，太原 030024；2.暨南大学 力学与建筑工程学院，广州 510632;3.东莞理工学院 机械工程学院，广东 东莞 523808)

与传统超声波检测技术相比，超声导波检测技术具有检测距离远，范围广等优点[1]，广泛应用于长距离管线检测中。然而，超声导波在传播过程中存在频散、衰减、模态转换等现象[2-4]，加之环境噪声的影响，在进行小缺陷检测时，因缺陷回波十分微弱极有可能被淹没在噪声中，造成漏检风险。二十世纪八十年代，Brix等[5]提出了利用Duffing系统混沌相变特性进行弱信号检测的方法。该方法充分利用了混沌系统的敏感性，将弱信号作为系统扰动输入到混沌系统中，当系统处于相变临界点时，即便信号十分微弱，也能引起系统的显著变化，从而实现弱信号检测，这为识别微弱超声导波信号提供了思路。张淑清等[6]对Duffing系统检测导波信号进行了数值研究，指出了Duffing系统在超声导波检测中的潜力。邹珺等[7]利用Duffing系统对磁致伸缩导波信号进行了检测，通过试验验证了利用混沌系统敏感性检测超声导波信号的可行性。张伟伟等[8]讨论了利用改进型Duffing系统进行导波信号检测时，实测信号与检测系统的参数匹配问题，并通过数值研究分析了纯噪声、导波信号和混有噪声的导波信号对系统相轨图的影响规律，给出了信号识别方法。武静等[9]利用Lyapunov指数分析了改进型Duffing系统的相变特征，确定了系统的临界状态，实现了对超声导波小缺陷回波信号的检测。

然而对于超声导波检测，识别缺陷的有无，只是缺陷检测的第一步，还需要获取缺陷回波的幅值，以便对结构损伤程度做出判断。武静等[10]利用改进型Duffing系统开展了以Lyapunov指数为指标的超声导波检测方法研究，发现在一定范围内，Lyapunov指数与超声导波幅值存在定性关系。温宇立等[11-12]利用Duffing系统对双裂纹管道的缺陷回波进行检测，发现缺陷回波幅值与Lyapunov指数成正相关关系。但是，这些方法需要对Lyapunov指数与信号幅值之间的对应关系进行标定，然而计算Lyapunov指数的算法、求解步长等都会对结果产生影响，难以获得统一的结果。不过，研究人员针对正余弦信号的幅值检测研究为此提供了一些参考，如Shen等[13]通过建立混沌阈值与信号幅值之间的量化关系，给出了幅值检测方法。Wang等[14]考虑了噪声因素的影响，建立起噪声影响下混沌阈值与信号幅值间的定量关系，利用数值仿真检测了噪声干扰下的正弦信号幅值。Jin等[15]通过研究Lyapunov指数的统计特性，建立了Lyapunov指数与输入信号幅值之间的定量关系，给出了幅值计算方法。周玲等[16]建立了混沌阈值与驱动力幅值，信号幅值、相位之间的量化关系，检测了高频地波雷达海洋回波信号的幅值。这些研究均是通过建立信号幅值与混沌指标之间的量化关系来实现幅值定量检测的。

与正余弦信号不同，超声导波一般为调制信号，信号幅值不是常数，且具有脉冲特征，这为信号幅值识别带来了一定的挑战。本文拟利用Duffing系统的混沌相变特性，构建一种超声导波信号幅值的检测方法，重点研究并建立Duffing系统驱动力幅值与导波信号幅值之间的量化关系，在此基础上，构造一种幅值定量检测方法，详细讨论导波信号周期数对检测结果的影响规律。最后，对管道内微弱缺陷回波信号进行幅值检测，以验证本文方法的有效性。

1 弱导波信号对Duffing系统的影响分析

考虑式(1)所示的Duffing方程

(1)

式中：k为阻尼系数；-x+x3为非线性恢复力；F为内置驱动力幅值；ω为驱动力角频率。在超声导波检测中，经Hanning窗调制的单音频正弦信号经常被用来激发导波信号，表达式为

(2)

式中：A为信号幅值；n为单音频周期数；ω=2πfc，fc为中心频率。图1为中心频率70 kHz，周期数10，幅值1的调制信号，该信号多用于在管道中激发L(0,2)模态的超声导波。

将式(2)所示导波作为驱动力的扰动项叠加在式(1)中，则导波信号的Duffing系统检测模型可表示为

(3)

利用积化和差将式(3)右侧的超声导波展开如下

(4)

文献[17-18]对Duffing系统的频率敏感范围进行了研究，结果表明当内置驱动力幅值远大于待测信号幅值时，Duffing系统能够识别与其内置频率的相对误差最大不超过3%的信号。由此可知，式(4)中超声导波展开的第一项频率与系统内置频率相同，第二、第三项与内置频率的相对误差为1/n。可见，当1/n>3%时，第二、第三项由于频率远离系统驱动力频率，认为它们不对Duffing系统产生影响，只有当1/n≤3%时，第二、第三项才会对Duffing系统产生影响。为此，我们分以下两种情况进行讨论：

(1) 当1/n>3%时，超声导波中的第二、第三项对系统无明显影响，式(4)可简化为

(5)

为了便于描述，称(F+A)为等价驱动力幅值。显然，Duffing系统叠加超声导波后等价驱动力幅值与原内置驱动力相比，幅值增大了A。

(2) 当1/n≤3%时，超声导波展开的三项均对系统产生影响，在式(5)的基础上叠加第二、第三项，经三角函数变换后化简为

(6)

综上所述，当Duffing方程驱动力项叠加弱导波信号后，等价驱动力幅值改变与导波周期数n有关。当1/n>3%时，输入幅值为A的导波后，等价驱动力幅值增大A；当1/n≤3%时，输入幅值为A的导波后，等价驱动力幅值增加2A。根据这一特性构造幅值检测方法，在输入超声导波信号前，先将系统调整至由周期态向混沌态转变的临界态，记此时的内置驱动力幅值为Fc；输入超声导波后，系统发生由周期态向混沌态的跳变，然后逐渐减小驱动力幅值，直至系统再一次由混沌态返回到周期态，记此时的驱动力幅值为Fc0，定义ΔF=Fc-Fc0，即为系统驱动力幅值调整量，其与待检信号幅值A的关系为

(7)

在实际检测中，周期数一般不超过30，满足条件1/n>3%，可选择A=ΔF进行识别导波幅值。

2 基于混沌相变的弱导波幅值检测方法

2.1 Duffing检测系统的参数设置

由第1章可知，导波幅值识别利用了混沌系统由周期态变为混沌态的敏感性，确定混沌系统处于临界态的内置驱动力幅值Fc是本文方法的基础。为此，首先要设置系统的频率ω与阻尼系数k，再去求取混沌阈值。由于待检信号中心频率为70 kHz，为了与求解步长相匹配，变化量纲后ω=0.439 823 rad/μs。根据文献[19]，当频率ω一定时，激励幅值与阻尼系数满足F/k>c时，系统可能出现混沌状态，其中c为一常数，为了减小计算量，在小范围内寻找到系统关于F的混沌阈值，k的取值不宜过大，此处取k=0.4。在确定频率ω与阻尼系数k的值后，为了获取系统关于F的混沌阈值，对F作分岔分析，具体计算如下：

(1) 设定F的取值范围为F∈(0,1)，增量为10-5；

(2) 采用四阶龙格-库塔法求解式(1)，时间步长设为0.02 μs，初值设为(0,0)。计算时长为500个外激励周期，舍去前200个周期的数据以获得稳态结果。

(3) 根据计算得到的位移结果，绘制出系统关于F的分岔图。

图2所示为Duffing系统在ω=0.439 823 rad/μs和k=0.4时，系统随驱动力F变化时的位移分岔图。从图2中可知：当驱动力幅值变化时，系统分别经历了周期、周期跳跃、倍周期分岔、间歇性混沌等过程，表现出了丰富的动力学特性；F=0.457 80为系统由周期态向混沌态转变的临界值，即混沌阈值Fc=0.457 80。为了对混沌相变做出更清晰的刻画，分别做出系统混沌相变前与混沌相变后的相轨图如图3(a)和图3(b)所示。图3(a)表示当F=0.457 80时，系统的相轨图为周期态，当F稍稍增大一点，驱动力幅值只在小数点后第5位发生了变化，系统相轨图将变得“杂乱无章”，系统处于混沌状态，见图3(b)，这就体现了混沌系统的弱信号检测能力。检测信号时，首先将系统内置驱动力幅值设为F=Fc，然后添加导波信号后，由于系统的敏感性，系统将由周期态跳变为混沌态，此时，再逐渐减小内置驱动力幅值F，通过观察相轨图，直到系统再次返回为周期态，并记录此时外驱动力幅值为Fc0，求得ΔF=Fc-Fc0，再依据式(7)进行导波的幅值识别。

图2 系统关于激励幅值F的分岔图Fig.2 Bifurcation diagram of the system depending on excitation amplitude F

图3 不同幅值下的相轨图Fig.3 Phase trajectory under different amplitudes

2.2 幅值检测的仿真研究

考虑式(2)所示的导波检测模型，给出六种不同幅值的超声导波，如表1所示，其频率与Duffing系统内置驱动频率相同ω=0.439 823，周期数均取n=10，满足1/n>3%。输入导波后，系统由周期态转变为混沌态，相轨图由图3(a)所示的周期态转变为图3(b)所示的混沌态，然后逐渐减小驱动力幅值F，当系统恰好由混沌态转变为周期态时记录此时的驱动力幅值为Fc0，六种工况的Fc0识别结果均列在表1中。由表1可以看出，当导波信号幅值较小时，该方法识别精度较高，当幅值逐渐增大时，误差也随之增加。这是因为随着幅值A的增大，F≫A这一条件难以严格满足，使系统可检测的频率范围增大[20]，致使式(4)中超声导波展开的后两项被部分检测到，这也表明本文检测方法适用于弱导波信号，对于幅值A≤0.001的信号检测相对误差小于5%，精度较高，对于A≥0.001的信号，可以先以一定比例缩小待测信号幅值，然后采用本文检测方法进行幅值检测，再将检测结果等比例放大即可得到原信号幅值。

表1 基于混沌相变的弱导波幅值检测结果Tab.1 Detection results of weak guided wave amplitude based on chaotic transition

3 试验研究

为了进一步验证本文方法的有效性，我们选取一段长5 m、外径为88 mm，厚4 mm的无缝钢管进行试验研究，主要设备和试验原理如图4所示。采用PZT5材料作为传感器，按照管道断面尺寸加工压电环，厚度为2.5 mm(厚度方向谐振)，利用AB胶粘贴在管道一端，产生周期数n=10的对称L(0,2)模态导波，接收端利用一组16片均布管道一周的压电片并联作为接收传感器，每片压电片在长度方向谐振，尺寸为15 mm×2.5 mm×0.8 mm。测试信号中心频率为70 kHz，采样频率设置为1 MHz。

图4 试验装置及试验原理图Fig.4 Experimental device and principle

利用锯弓在距离信号激励端3.0 m处加工缺陷。第一种通槽，选择1/8圆弧，如图5(a)所示，深度为2 mm；第二种缺陷选择3/16圆弧，缺陷边缘和圆弧相切，深度为2 mm，如图5(b)所示；第三种选择1/4圆弧，缺陷边缘和圆弧相切，缺陷中心距管道表面距离表示裂纹深度，加工2 mm深度裂纹，如图5(c)所示。所有工况均在表2中列出。

图5 三种缺陷示意图Fig.5 Three kinds of defects diagram

表2 含缺陷管道的试验工况Tab.2 Experimental conditions of defective pipeline

图6所示为试验接收到的四种工况的检测信号。由图6可以看到，四种工况下的入射波与端面回波信噪比较高，可以直接观察到，而工况2～工况4中的缺陷回波信号则被淹没在噪声中，无法识别是否存在缺陷回波，更无法识别其幅值大小。为了验证本文所提方法的有效性，截取工况2～工况4入射波与端面回波之间的信号，即0.65～1.65 ms的信号，利用本文检测方法检测待检信号中缺陷回波幅值。由于缺陷回波的幅值无法直接观察，我们利用反射系数和衰减系数确定缺陷回波的理论幅值。根据结构中垂直入射超声导波的反射定律，可得反射系数R为

(8)

式中，β为结构截面损失率。另一方面，反射系数为缺陷回波幅值Ad与入射波幅值A0之比

(9)

式中，K为频散修正系数，一般情况下，0

(10)

式中，Ae为端面回波幅值。将试验结果代入式(10)求得超声导波衰减系数为α=0.191 dB/m。对于含缺陷工况，缺陷位置距离激发端为3 m，则缺陷回波被接收时，导波在管道中传播了6 m，根据式(10)可得缺陷回波幅值的理论值应为

(11)

图6 试验信号Fig.6 Experimental signals

利用式(11)求得缺陷回波幅值的理论值列于表3作为参考，并利用本文所提方法进行缺陷回波信号识别，检测结果如表3所示。从表3中可知，本文方法可有效地检测出缺陷回波信号的幅值，其相对误差最大为-7.31%可满足工程需求。并且在测试信号中，缺陷回波已完全淹没在噪声信号中，这表明本文所提检测方法具有较强的噪声免疫性与弱信号敏感性，能够从强噪声中识别弱信号幅值。

表3 缺陷回波幅值检测结果Tab.3 Detection results of defect echo amplitude

4 结 论

利用Duffing系统的混沌相变特性，本文提出了一种基于Duffing系统的超声导波幅值定量检测方法。通过研究超声导波对Duffing系统的影响，建立了系统幅值与导波幅值之间的量化关系，结合Duffing系统的混沌相变特性，提出了幅值检测方法并通过数值算例验证了该方法的有效性，最后，利用该方法成功识别了管道中的微弱缺陷回波幅值，并得到以下结论：

(1) 同频率的超声导波对Duffing系统的影响主要体现在幅值上，根据超声导波周期数n不同可分为两种情况：当1/n>3%时，超声导波输入使系统幅值增大A；当1/n≤3%时，超声导波输入使系统幅值最大值增大2A，其中A为导波信号幅值。

(2) 当超声导波周期数n<30时，对于幅值A≤0.001的导波信号，本文所提幅值检测方法具有较高检测精度，仿真研究结果表明相对误差最大不超过5%。

(3) 本文所提方法具有较强的噪声免疫性与弱信号敏感性，最小可以识别截面损失率为6.4%的缺陷回波幅值，与理论值相比，最大相对误差仅为-7.31%，这对于在复杂环境中评估缺陷大小具有工程实用价值。