例析三类分段函数问题的解法

金丙楠

分段函数是指在不同区间上有不同解析式的函数．因而分段函数问题较为复杂，需灵活运用分类讨论思想，分别对不同区间上的函数解析式、性质、图象进行讨论．本文结合几个典型的例子，谈一谈如何解答有关分段函数的单调性、奇偶性、周期性问题．

一、有关分段函数的单调性问题

若定义域的每一个子区间上的函数都是增函数（或减函数），则该分段函数在定義域内是增函数（或减函数）．求解有关分段函数的单调性问题，首先根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断每个区间段上函数的单调性．要注意的是，对于具有单调性的分段函数，需确保定义域内每个子区间上的每个x对应的y都是越来越大或越来越小．

本题看似较为复杂，其实却较简单，只需明确当x<1时，f（x）=（3a-1）x+4a为一次函数，当x≥1时，f（x）= logax为对数函数，根据一次函数和对数函数的单调性，函数单调性的定义建立不等式，即可解题．

二、有关分段函数的奇偶性问题

解答有关分段函数的奇偶性问题，需首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后根据函数奇偶性的定义来进行求解．一般地，若在定义域内厂（-x）= -f（动，则该函数为奇函数；若f（x）=f（-x），则该函数为偶函数．

三、有关分段函数的周期性问题

若某个函数f（x）的周期为T，则f（x）=f（x+T），分段函数也具有该性质．解答有关分段函数的周期性问题，需根据已知条件和函数的奇偶性、对称性，借助已知区间上的函数式或值，求得未知区间上的函数式或者值，以便明确分段函数的周期T，从而利用函数的周期性来解题．

虽然分段函数与简单基本函数有所不同，但是分段函数却是由几个简单基本函数构成的．因此在解答分段函数问题时，要灵活运用分类讨论思想，将问题转化为定义域的几个子区间上的简单基本函数的奇偶性、单调性、周期性问题，然后根据简单基本函数奇偶性、单调性、周期性的定义进行求解．