判断充分必要条件的几个小措施

熊丽丽

有关充分条件和必要条件问题的常见命题形式有：（1）判断指定条件与结论之间的关系；（2）探求结论成立的充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件；（3）判断命题的真假性．解答这些问题的关键在于正确判断充分必要条件．本文重点介绍三种判断充分必要条件的方法．

一、定义法

判断充分必要条件，需要熟练掌握充分条件和必要条件的定义，准确理解其含义．一般地，如果pq，那么p就是q的充分条件，q是p的必要条件．运用定义法判断充分必要条件时，要先根据题意确定条件是什么，结论是什么；然后尝试从条件去推结论，再从结论去推条件；最后确定是哪一种条件：充分条件（也称充分不必要条件）、必要条件（也称必要不充分条件）、充要条件、既不充分也不必要条件．

本题中的条件是：sinα=sinβ，结论是：存在k∈Z使得，在确定条件、结论后，再根据充分、必要条件的定义，由条件去推结论，再从结论去推条件，即求得问题的答案．

二、几何法

若一个命题的条件或结论可用图形表示出来，则可采用几何法来判断充分必要条件．通常可根据代数式的几何意义来画出图形，如x2+y2=1表示的是一个网，y=2x2表示的是一条抛物线等．若p所表示的图形在q所表示的图形的内部，则p是q的充分条件；若q所表示的图形在p所表示的图形的内部，则p是q的必要条件；如果p、q所表示的图形相等，那么p是q的充要条件．

因此，在第一象限内的图形如图2所示，由对称性可知p、q所表示的圖形完全一致，因此p是q的充要条件．

借助图形，可将命题中的代数关系以直观的形式呈现出来，通过观察图象，即可判断出条件和结论之间的包含关系，进而判断出充分必要条件．

三、传递法

根据充分条件与必要条件之间的传递性来进行判断的方法，通常称之为传递法．由充分条件的传递性可知，若，则，即Q1是Qn的充分条件，由必要条件的传递性可知，则，即Q1是Qn的必要条件．

例3．（1）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要不充分条件，q是s的必要不充分条件，那么p是q的什么条件？

（2）已知p是q的充分条件，q是r的必要条件也是s的充分条件，r是s的必要条件，那么p，q，r，s中哪几对互为充要条件？

解答此类问题，一般要根据充分条件、必要条件、充要条件之间的关系和传递性进行推理．

相比较而言，定义法更加简单，且比较常用；几何法比较直观、便捷；传递性的适用范围较窄．