谈谈基本不等式的配凑方法

李秋香

若a、b>0，则a+b≥2√ab，当且仅当a=b时，等号成立，该式称为基本不等式．基本不等式是解答最值问题的重要工具，在解答最值问题、参数的取值范围问题、恒成立问题中应用广泛，在运用基本不等式求最值时，往往要把握三个条件：（1）一正．即两个式子均为正的；（2）二定．当两式的和为定值时，其积取最大值；当两式的积为定值时，其和取最小值；（3）三相等．即当且仅当两式相等时，等号成立．一般地，很多同学能把握第一、三个条件，但对于第二个条件，却很难把握，不知如何配凑出两式的和或积．下面结合实例来谈一谈基本不等式的两个配凑技巧．

一、通过分离，配凑出基本不等式

若目标式为分式，且分子的最高次数高于分母的最高次数，则可考虑通过分离来配凑基本不等式．一般地，可通过添项、减项、凑系数、拆项的方式，将分子配凑成分母的倍数，使整式、分式分离，将其转化为形如的形式．只需使分母为正数，便可利用基本不等式求得最值．

该目标式为分式，于是通过分离整式、分式，将其变形为的形式，而为定值，于是利用基本不等式就能求出最小值．

二、通过换元，配凑出基本不等式

有些目标式较为复杂，无法直接运用基本不等式来求得最值，此时可通过换元来配凑出两式的和或积，为运用基本不等式创造条件．可将某个式子用一个新元替换，通过等量代换，得到关于新元的目标式，再将其变形为两式的和或积的形式，便可利用基本不等式求得最值．

该目标式较为复杂，需根据已知关系式，将其变形，于是令t=b+l，便可得到关于t的式子：，该式中含有两式t、之和，其积为定值，即可运用基本等式求得最值．

有時可将已知条件进行适当的变形，使其等于一个常数，便可通过常量代换，配凑出两式的和或积，利用基本不等式求得最值．

将“1”替换为变量，并代人目标式中，便可配凑出两式的和，且两式的积为定值，则可利用基本不等式求最值．在求得最值时，要判断等号的情况是否成立．

同学们在求最值时，要明确变量的个数，分析所求式子与已知等式的结构特点，合理进行分离、换元，配凑出两式的和或积，并使其一为定值，以便运用基本不等式顺利求得最值．