妙用导数法解答双变量函数问题

龙祁林

双变量函数问题中含有两个变量，因而此类问题较为复杂，且难度较大．解答此类问题，通常需仔细研究双变量之间的关系，灵活运用导数法，通过研究导函数的性质，来判断函数的单调性，求得函数的极值，从而使问题得解．本文主要谈一谈如何运用导数法解答双变量函数问题．

一、设定主元

在解答双变量函数问题时，可将其中的一个变量设为主元、另一个视为参数，将问题转化为关于主元的函数问题，再对函数进行求导，讨论导函数与0之间的关系，进而判断出函数的单调性，求得极值，据此建立关系式，即可求得问题的答案．

首先将x看作未知数、k看作参数，将函数视为关于x的函数式，对其进行求导，再根据导函数与函数单调性之间的关系，判断函数的单调性，将问题转化为导函数h'（x）<0在[0，2]上成立的问题，即可运用导数法解题．

二、运用转化思想

双变量函数不等式问题一般较为复杂，有时很难快速求得问题的答案，此时不妨利用转化思想，将问题等价转化为函数最值问题来求解．如，

解答本题，需运用转化思想，将问题转化为对于任意x1、x2∈[1，e2]，都有h（x）min= 2g（x）0判断函数在某个区间上单调递增；由f'（x）<0判断函数在某个区间上单调递减；（4）确定极值点，求得函数的极值．

三、换元

对于关于x1、x2的双变量函数不等式问题，往往可以通过换元，将双变量问题转化为单变量问题来求解．通常可用一个变量替换x1±x2等，或用一个变量将x1、x2表示出来，这样便将函数不等式转化为关于新变量的式子，再利用导数法，判断函数的单调性，求函数的极值，进而求得问题的答案． 首先将x1、x2代人函数G（x）=x（㏑x-ax+1）中，得到两个等式，然后将两式相减和相加得到关于的式子，再将用t替换，便可将问题转化为关于t的函数最值问题，利用导数法求得函数的最值，即可证明不等式．

虽然双变量函数问题比较复杂，但是我们只要仔细研究双变量，根据解题需求合理设定主元、换元，巧妙运用转化思想，便可将问题转化为常规的函数最值問题、函数不等式问题，这样就能将问题简化，达到化繁为简，化难为易的效果．