由一道题谈解答含有指、对跨阶函数不等式恒成立问题的方法

周方　王树颖

不等式恒成立问题一直是高考数学中的高频考点．其中含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题一直困扰着大家，含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题的难度一般较大，且具有较强的综合性，侧重于考查逻辑推理、数学抽象、数学运算能力．本文以2020年新课标全国I卷的第21题为例，谈一谈如何从不同的角度探究指、对跨阶函数恒成立问题的解法．

题目：已知函数f（x）= aex-1 - ㏑x + ㏑a．

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求参数a的取值范围．

该函数式中同时含有指、对函数，且含有高次幂，较为复杂．第一个问题较为简单，本文主要探讨第二个问题的解法．笔者从不同角度进行分析，得到了以下几种解题的思路．

角度1：设而不求

解答含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题，通常要利用导数知识．而在运用导数知识解题过程中，需分析导函数的零点．但导方程f'（x）=0是超越方程，其零点无法求出，此时可采用设而不求法，虚设零点，借助零点存在性定理，估算出零点所在的大致范围，并用零点表示参数，将其代人到题设中，通过隐零点代换，判断出函数的单调性，求得函数的最值，找到使不等式恒成立的条件．

根据，虚设出零点，采用设而不求法，将零点代人函数式中，借助基本不等式消去x0，最终求得函数的最小值，便可建立关于参数a的不等式．

角度2：采用函数同构法

采用函数同构法解答含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题，需根据不等式的特征，构造结构相同，但变量不同的等式或者不等式，再利用函数的单调性脱去函数符号“f”，进而将问题转化成幂、对或幂、指的二阶函数问题来求解．

函数同构式有积型、商型、和差型．解法2是利用积型同构式：，将问题转化成只含有x、㏑x的二阶函数问题．解法3是利用和型同构式：，将问题转化成只含有x、ex的二阶函数问题．

角度3：利用切线不等式进行放缩

切线不等式是根据导数的几何意义求得切线的方程，根据切线与函数曲线的位置关系得到不等式．常见的切线不等式有ex≥x+1（当x=0时取等号），㏑x≤x-1（当x=1时取等号），ex≥ex（当x=1时取等号），（当x=e时取等号）．在解答含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题时，可以将不等式进行合理的变形，使其与切线不等式关联起来，利用切线不等式来放缩函数式或不等式，再根据不等式的传递性来找到使不等式恒成立的条件．

所以实数a的取值范围是[1，+∞）．

解法4中用到了切线不等式：ex-1≥x（当x=1时取等号）、㏑x≤x-1（当x=1时取等号），解法5中用到了切线不等式：ex≥x+1（当x戈=0时取等号）、㏑x≤x-1（当x=1时取等号）．通过放缩，便将超越函数放缩成一次函数式，即g（x）≥kx+b或g（x）≤kx+b，从而达到化繁为简的目的．

角度4：数形结合

数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”数与形是反映事物属性很重要的两个方面，也是解答数学问题的重要法宝．在解答含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题时，可根据不等式的结构特点，构造出函数模型，画出函数的图象，通过分析函数图象之间的位置关系，找到使不等式恒成立的临界情形，便可建立新的不等式，求得参数的取值范围．

角度5：变换主元

函数、不等式、方程问题中经常涉及常量、参数、变量等，常需运用变更主元法来解题．在解答含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题时，可根据函数的结构特征选择一个参变量作为主元，将目标式转化为关于新主元的式子，通过分析变换后目标式的最值，求得问题的答案．变换主元的目的是反客为主，使復杂的问题简单化．

所以实数a的取值范围是[1，+∞）．

我们选择a作为主元，容易判断出g（a）在（0，+∞）上单调递增，从而建立新的不等式．这样便减少了对复杂函数f（x）的分析，达到了化难为易的目的．

虽然含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题较为复杂，但是我们只要运用发散性思维，从不同角度，如隐零点、同构式、切线不等式、反函数、函数图象、参变量等进行分析，便可找到不同的解题思路．每一类问题都有其通性通法，同学们在日常学习中，要注意对含有指、对跨阶函数的不等式恒成立问题的通性通法进行总结，以完善认知，提升解题的效率．