方程思想在面积问题中的应用——以求解与圆有关的阴影部分面积为例

杨再发

(贵州省沿河县第六中学,565302)

与圆有关的阴影图形的面积,一般可通过图形面积的和、差,或割补重组,或等积变换等手段来解决.但当图形构造较为复杂时,仍用一般方法求解阴影图形的面积会比较麻烦.其中有些问题通过设元,建立方程组求解,往往显得简单明了.这里,笔者略举几例加以说明,供大家参考.

例1如图1,在Rt∆ABC中,∠C=90°，AC=2,BC=4.分别以AC,BC为直径画弧,求图中阴影部分的面积.

设三个阴影部分的面积分别为x,y,z,两个空白部分的面积分别为a,b，则有

①

y+b+z=2π,

②

a+y+b=4.

③

④

例2如图2,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求所围成的阴影部分面积.

解由图形的对称性,可知正方形被分成两种类型的图形,设它们的面积分别为x,y,则有

①

4x+4y=a2.

②

例3如图3,在Rt∆ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,求图中阴影部分面积.

设三个阴影部分面积分别为S1,S2,S3,空白面积分别为a,b,则有

①

②

③

由①+②-③,得

例4如图4,正方形ABCD的边长为2,分别以AB,BC为直径,在正方形内作半圆,求图中阴影部分的面积.

解由图形的对称性,可知正方形被分成两种类型的图形,设弓形的面积为x,每一个曲边三角形的面积为y,则有

①

②

例5如图5,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点E,以C为圆心,CB长为半径画弧交CD的延长线于点F,求图中阴影部分的面积.

解易知S矩形ABCD=AB×BC=6,

设图中两个阴影部分的面积分别是x,y,两个空白部分的面积分别是a,b,则有

a+y+b=6,

①

a+y=π,

②

③

由①-②,得b=6-π.

④

设图中两个阴影部分的面积分别为x,y,两个空白部分的面积分别为a,b,则有

a+x+b=12,

①

x+b+y=3π,

②

x+a=3π.

③

由②+③,得2x+a+b+y=6π.

④

由④-①,得x+y=6π-12.

故图中阴影部分的面积是6π-12.

例7(2015年巴彦淖尔中考题)如图7,在半径为2,圆心角为90°的扇形ACB内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连结CD,则图中的阴影部分面积是多少?

设图中两个空白部分的面积分别是a,b,阴影部分的面积分别是x,y,则由CD=BD,得S∆ADC=a+b=1.

∵S扇形ACB=x+y+a+b=π,

∴x+y=π-1.

故图中阴影部分的面积是π-1.

例8如图8,已知边长为a的正方形ABCD内接于⊙O,分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆,求四条弧所围成的四个新月形的面积.

解由题意,得四个等腰直角三角形面积相等,四个空白弓形面积相等,四个月形面积相等.

设一个月形面积为x,一个空白弓形面积为y,一个等腰直角三角形面积为z,则有

①

②

∴4y+4z=4x+4y,∴x=z.

∵4z=a2,∴S阴影=4x=4z=a2.

例9如图9,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为a,b,分别以每边向形内作半圆,求四条半圆弧围成的花瓣形的面积(阴影部分面积).

设图中S阴影AOE=x,S弓形AE=y,S弓形OB=z,S空白=d,则有

①

②

①-②,得

∴S阴影=4(x+y+z)

例10如图10,正方形ABCD中,有一个以正方形的中心为圆心,以一边长为直径的圆,分别以A,B,C,D为圆心,以边长的一半为半径画四条弧.若正方形边长为2a,求所围成的阴影部分的面积.

解设图10中一个月形面积为x,中间大空白部分面积为y,圆外四个空白中的一个空白部分面积为z,则有

4x+y=S圆=πa2,

①

②

4x+y+4z=S正方形ABCD=4a2.

③

④

∴S阴影=4x=2a2π-4a2.

例11如图11,在等腰Rt∆ABC中,∠ACB=90°，AC=4,以BC边的中点D为圆心,CD的长为半径作弧,交AB于点E,以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交AB于点F,求阴影部分的面积.

设空白部分的面积分别是a,b,c,阴影部分面积分别是x,y,则有

x+a=π,

①

y+b=2,

②

x+y+c=2π,

③

x+y+a+b+c=S∆ABC=8.

④

④-①-②,得c=6-π,

∴x+y+6-π=2π,

∴S阴影=x+y=3π-6.

例12如图12,在Rt∆ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，求图中阴影部分的面积.

解易得AB=13,

设图中两个阴影部分面积依次为S1,S2,两个月型空白部分面积依次是a,b,则有

①

S1+a=18π,

②

③

由②+③-①,得S1+S2=30.

故图中阴影部分的面积是30.