高中生数学建模能力培养

祁君英

（福建省莆田市第五中学 福建莆田 350007）

引言

当前，社会快速发展，科技水平不断提高，数学是计算机和人工智能领域的关键学科。数学建模是数学应用的重要形式，所以，新课标当中将建模列入核心素养范畴。自新版数学教材投入使用以后，内部增设诸多与建模关联的教学内容，对此，教师应该在把握教材的基础之上，寻找高效的数学教学方法，不断提高学生创新、实践和解决问题等能力，通过对数学知识的系统化学习，逐渐提高建模素养。

一、数学建模内涵介绍

高中数学课标明确提出，数学建模的内涵是学生从实际问题当中提炼抽象模型，并且使用数学语言进行表达的能力，通过建模思想，解决实际问题，提高应用能力，为将来生活和职业发展奠定基础。课标要求教学环节需注重学生核心素养的发展，建模素养属于核心素养内容之一，学生具备此项能力以后，能够运用数学知识发现现实世界，提出具体问题，感受数学知识、现实生活之间的联系，能够运用数学模型将实际问题解决，积累更多实践经验。因为数学模型能够应用于诸多领域，建模能力的培养有助于学生科学精神、创新意识、实践能力的不断提高。课标当中对于高中生建模能力划分具体包括函数领域、统计领域、向量领域、数列领域等方面的建模知识。在教学过程中，引导学生学习对应知识，感受数学建模方法与思想的运用，逐渐形成解决问题能力[1]。

二、数学教材中的模型内容分布

以人教2019版必修1数学教材为例，其中专门设立了两个建模模块知识，除此之外，建模内容也出现在了引言部分、阅读与思考当中，还有部分例题也是通过建模情境方式呈现。整本教材当中重点描述了函数模型，该模型属于根据世界的变化规律呈现的重要模型之一。在教材当中分别出现函数概念性质、指数、对数、三角函数、幂函数等不同的模型内容，指数和对数函数、三角函数的后面还单独设计建模活动，旨在帮助学生形成解决问题的能力。在教学过程中，教师应该对学生进行指导，使其能够经历建模过程，利用函数将实际问题解决。对于以上函数性质、变化规律全面掌握以后，学生能够在实际情境中，合理选择数学模型，探索事物变化规律，并寻求问题解决方法。

教材引言部分介绍了函数的基本性质，还有几种初等函数内容，在教学过程中，教师需要重点引导学生感受函数当中蕴含的现实问题，并将问题化为函数模型，对于具体问题展开探究，将函数学习目标和方法向学生介绍，提高其解题能力。

教材第三章的引言部分描述了客观世界当中各类运动变化的现象，需要学生在感受现实情境的前提之下，从变量之间寻找对应关系。在教学过程中，可以运用信息技术创设情境，从中找到变量之间存在的对应关系，通过转化建立模型，让学生在学习之前对于函数模型形成直观想象[2]。教材第三章主要讲述的内容是信息技术的应用，由于计算机软件可以作为重要的工具，辅助学生研究函数图像。通过计算机软件，向学生介绍函数图像绘制方法，将其置于建模情境当中，体会变量之间关系的复杂，了解到手工描点的画图方式存在误差和局限性，因此利用计算机软件进行建模具有实用价值。

在第四章的引言部分，教材当中给出考古分析良渚遗址当中碳14的含量，从而推导出古城良渚真实存在时间，通过现实事物当中物体的变化规律，获得直观体验，将物体的变化规律转化为指数函数变化建模过程，体现了数学模型思想在生活当中的实践应用，明确数学概念和定理公式的抽象性。在阅读与思考部分，介绍了放射物质衰减规律，要求学生查找资料，之后自主建立函数模型，体现指数函数倍增特性，让学生直观体会现实情境向数学问题转化的过程。

三、高中生建模能力培养策略

1.创设建模情境

课标当中对于高中生的建模能力培养要求为，可以从现实情境当中选取数学模型，将对应问题解决。所以，在教学过程当中，需要教师注重学生科学精神、科学素养等方面的培养，创设建模情境。具体包括生活情境、科学情境等。

从生活情境的创设角度分析，主要包含现实生活当中面临的各类问题。比如：个人收入，个税缴纳环节需要应用函数模型，对于阶梯水价的计算需要利用计费模型，在投资方案选择或者汽车耗油问题当中都含有具体生活背景知识。教师可指导学生根据题目数据，参与建模活动[3]。

比如：要求学生将一年时间内，日出和日落相关时间资料收集起来；调查生活所在区域日用电情形，从而制定出“消峰平谷”电价方案。将建模任务和具体生活情景相关联，转变学生错误的学习态度。因为部分学生认为数学建模就是利用数学模型，解决问题。如果是函数模型，就找出函数解析式，利用对应参数求出问题答案。鉴于此，需要数学教师通过教学过程的引导，让学生在参与建模活动期间，能够体会到信息收集阶段的重要性，树立正确的学习态度，对于建模活动形成正确认知。

从科学情境创设角度分析，还需要融合其他学科内容。比如：利用社会学科知识，针对人口增长建立模型；利用考古学知识，通过生物体内碳14的衰减建立函数模型，最终能够将古城建造时间推理出来。这样的教学情境对于学生创新意识、科学素养提升十分有利。在数学教学阶段，侧重于建模情境的建设，让高中生体会数学与其他学科之间的联系，从而树立远大志向，为创新型人才培养奠定基础。

2.完善建模过程

数学建模流程如下：第一，变量和数学化识别；第二，建立数学模型；第三，求解数学模型；第四，检验与优化数学模型；第五，将模型现实化。其中建立模型、求解模型属于建模重点内容。因此，在课堂教学环节可通过现实情境，要求学生查阅网站或者资料，选择数学模型，重视模型优化与检验，深度思考模型思想。为了提高学生的建模能力，教学过程需要将学生的认知能力、发展特点考虑其中，对于现实生活材料全面收集似乎难度较大，不利于数据的处理。同时，在数学课堂上，对于学生的评价结果性评价为主要内容。无论是收集数据，还是优化模型，对于学生来讲难度较高。在模型优化阶段，通常会借助计算机方式，部分学生信息化基础薄弱，因此模型优化过程难度高。考虑到以上问题，在数学课堂上，教师应该重点突出模型情境复杂性特点，将教学的侧重点倾向于学生数据收集、数据处理等能力的培养上，让学生通过观察建立模型，掌握计算机技术，能够对于数学模型优化、验证，最终提高建模能力[4]。

3.建模教学案例

（1）案例内容

本研究选择教材中的建模活动“苹果最佳出售时间点”，围绕此生活化问题展开讨论，利用数学语言、符号等展开情景描述，明确量的增加与减少，建立模型，确认苹果最佳的出售时间。由于高中生已经具备函数知识基础，课堂上通过生活化场景的创设，让学生发现问题，利用建模思想进行求解。结合建模活动实际特点，利用多媒体、讨论互动多种形式展开教学，鼓励学生使用计算机软件，联系数学问题，寻找解决策略，逐渐形成建模能力。

（2）情境创设

情境创设阶段，选择牛顿的故事，利用信息化的方式呈现。通过牛顿思考“苹果为何会坠地？”这一问题，最终通过研究，提出万有引力定律。为了启发学生思维，教师需要循序渐进引导。可通过提问的方式完成“牛顿是否单纯通过苹果落地现象就推出万有引力？”“思考牛顿发现引力的过程是怎样的？”通过问题启发学生思维，使其明确万有引力的发现并非容易之事，牛顿需站立在哥白尼、开普勒等巨人的肩膀上，建立数学模型，从中发现问题，并且将其解决，最终将万有引力推导出来。

（3）建模过程

发现问题阶段，学生通过阅读问题内容，可以知道如果市面上苹果数量相对较多，则其价格就会降低，如果选择技术手段，将苹果保鲜储存，待市面苹果数量减少并且价格升高的时候出售，即可获得更高利润。需要注意，保鲜储存需要消耗成本和时间，在时间不断延长的时候成本也会增加。

提出问题阶段，要求学生通过以上生活现象，对于其中的内涵问题进行探讨。比如：是什么原因导致苹果价格出现高低浮动？怎样才能避免出现这些现象？苹果保鲜储存需要利用哪些技术手段？选择怎样的储存方式消耗的成本最低？

分析问题阶段，在教师的引导下，让学生思考问题之间的数量关系，同时还有变量关系。如果单纯利用数学方法解决问题还十分困难。因为问题当中涉及数量增减方面的问题，此时可借助数学语言或者符号展开描述。

在建立模型阶段，可指导学生通过如下几种方法对于问题进行描述，之后建立模型。

第一，利用定性描述的方式建立模型，假设市面苹果总量x吨，单价y元，生活现象代表x增加的时候y逐渐减小，将y视作x的函数，记为f（x），则f（x）为减函数。相同道理，假设保存时间是t天，因为苹果保鲜成本C元，将C视为t的函数，并记为C=g（t），可知g（t）为增函数。由于市面苹果量随时间变化，也可将x视为t函数，记x=h（t）。经过以上描述，假设苹果在第t天出售，单位数量苹果得到的收益（z）可使用关于t的函数关系式表达出来，z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）。获得函数关系式即可解决z是否有最值问题。

第二，通过合理假设的方式，建立模型。为了让学生明确f（x），h（t），g（t）等函数之间的关系，可运用假设法，认定f（x）和g（t）均为一次函数，并且f（x）=k1x+l1；g（t）=k2x+l2。同时假设h（t）是二次函数，h（t）=at2+bt+c，

第三，收集信息，确认参数，利用数据收集方法，得到x=8.4的时候y=0.8，x=7.6的时候y=1.2；t=1的时候，C=0.11，t=2的时候，C=0.12；t=1的时候，x=9.462；t=2的时候，x=9.328，t=3的时候，x=9.198。按照待定系数法，能够分别表示出各个函数之间的等量关系，整理得到z=-0.001t2+0.06t＋0.1。所以z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b-k2）t+k1c+l1-l2，a≠0，k1＜0，k2＞0。

解决问题阶段，可利用配方法，将z=-0.001t2+0.06t＋0.1整理变为z=-0.001（t-30）2＋1。当t=30的时候，z有最大值，等于1。也就是将苹果保鲜储存30天的时候，能够获得最高的利润。通过以上教学流程，以叙述的方式让学生经历建模过程。通过建模活动，从数学语言描述过程当中，建立数学模型，感受函数在生活中的应用价值。教育阶段，针对学生在不同阶段的表现进行评价，适时对学生采取启发引导，使其明确建模思路。在利用模型解题阶段，感受建模方法，形成科学精神，提高应用能力，强化创新意识，提高建模能力和素养。

四、高中数学教学中学生建模能力培养思考

通过上文分析函数部分的建模知识，笔者认为，为了将学生建模能力提升，需要对课标中的建模内容有所了解，并且能够从数学教材当中寻找模型知识，充分梳理教材习题、阅读和引言部分的建模内容，让教师从多角度出发，突出建模教学内容，提高学生的建模能力。与此同时，教材中的大部分建模情境与学生的实际生活联系紧密，在教学期间，情境的设置还需要将学生兴趣爱好和生活需求全面考虑，保证模型情境的创设能够调动学生生活经验，还能细致观察、思考生活问题。通过教学，让学生深入理解日常生活，建立和生活联系紧密的数学模型，激发学生兴趣，使其深度思考，形成逻辑、辩证思维。除此之外，数学课堂建模教学应该注重全程训练，切勿单纯追求求解结果，丰富评价方式，适当运用贴近生活的实例，引领学生独立思考，将问题解决。可以从教材当中的数学软件应用角度出发，调动学生编程兴趣，不断提高软件操作能力，为其建模能力提升奠定基础[5]。

结语

综上分析，数学教学建模能力的培养重点在于启发学生关注生活现象，鼓励学生建立模型，培养其数学兴趣，对于生活进行深度思考，强化学生逻辑思维、辩证思维能力的培养。在建模教学阶段，需要教师充分运用多媒体手段，注意建模过程训练，依托生活内容，为学生搭建学习桥梁，适当运用辅助材料，注意因材施教，循序渐进引导学生观察生活，寻找问题解决之策。