数学思想方法指导学生高效学习

［摘  要］ 数学思想方法指引着解题方向，是提升解题效率、培养学生数学能力的重要工具. 文章从数学思想方法的考查特点入手，通过对具体案例的解析展示了数学思想方法的价值，进而引起师生重视数学思想方法的提炼和总结，促进学生提升数学能力.

［关键词］ 数学思想；解题效率；数学能力

高考题目是千变万化的，为了提高解题效率，部分师生往往喜欢研究一些特殊的解题技巧，然高考往往侧重于对通性通法的考核，盲目追求解题技巧可能会使教学目标发生偏移，进而影响学习能力的提升和数学思想方法的培养. 为了引起师生对数学思想方法的重视，笔者通过实例谈谈数学思想方法的考查特点以及教学策略.

考查特点以及考查方式

1. 情境性

数学试题中常常会出现一些与生活紧密相连的问题情境，通过对具体的问题情境的抽象和概括转化成数学问题，进而通过对数学知识的考核来考查学生对数学思想方法的掌握情况.

例1 小明的身高是176 cm，他爷爷的身高是173 cm，他父亲的身高是170 cm，他儿子的身高是182 cm. 若儿子的身高与父亲有关，请应用线性回归来推算小明孙子的身高.

分析：不妨设当父亲的身高是x cm时，儿子的身高是y cm，根据已知可得对应的关系如表1所示.

由表1可得x的平均值为173，y的平均值为176，利用公式易求得线性回归方程为y=x+3，于是可预测小明孙子的身高为185 cm.

评注：本题是一道中档题，主要借助于学生熟悉的情境来考查学生对数理统计和函数等相关知识的掌握情况，在解题过程中巧妙地渗透着函数与方程、概率统计等数学思想方法的应用.

2. 蕴含性

数学思想方法的考查往往是隐性的，却贯穿编题、审题、解题等各个过程，因此，处处可见数学思想方法的影子，其在解题过程中发挥着重要的作用.

例2 设x，y为实数，4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______.

评注：本题为求最值问题，因为是多元方程，所以需要换元，换元思想蕴含其中. 换元并化简后，将原问题转化为含参数t的一元二次方程问题，这样求解时自然会应用与方程相关的知识，方程思想也蕴含其中. 这样将换元思想、方程思想“含而不露”地隐藏其中，学生只有熟练掌握这些数学思想方法，问题才能迎刃而解.

3. 综合性

数学题目是丰富多彩的，一个题目中蕴含着多个知识点、多种数学思想方法. 各知识点相互交融，因此解题过程中需要各种思想方法与之配合，协同作战，体现了数学思想方法的综合性.

例3 设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0.

（2）求函数f（x）的极值点；

评注：本题考查的知识点主要是函数的导数、函数的单调性以及函数的极值等. 从本题的解答过程可以看出，其应用了多种数学思想方法. 例如，解决问题（2）时应用了分类讨论思想，解决问题（3）时应用构造法构造出了一个新函数h（x）=x3－x2+ln（x+1），为接下来的证明做好了铺垫，转化与化归思想方法蕴含其中，同时函数与方程思想贯穿了整个解答过程.

4. 层次性

命题者往往会参考学生的思维特点设计一些“多解”的题目，进而从解法上考查学生对数学思想方法灵活应用的水平，因学生的认知结构及思维能力有一定的层次性，故数学思想方法也会呈现一定的层次性.

例4 设函数f（x）=x3cosx+1. 若f（a）=11，则f（－a）=______.

解法1：由f（a）=a3cosa+1=11，得a3cosa=10，于是f（－a）=（－a）3cos（－a）+1= －a3cosa+1=－10+1=－9.

解法2：令g（x）=f（x）－1=x3cosx，易知g（x）为奇函数，于是g（－a）=f（－a）－1= －g（a）=－f（a）+1=－11+1=－10，故f（－a）=-9.

评注：例4从表面上看是一道函数求值问题，解法1利用的是函数的性质，虽然用该方法求解也较为方便，然透过解法可以看出学生的思维层次和数学思想方法的应用能力相对较弱；解法2通过构造奇函数g（x）=f（x）－1=x3cosx，利用奇函数的性质实现转化，可见学生对函数性质的理解较为深刻，对函数思想方法的运用也更加灵活. 教学中要鼓励学生尝试从不同的角度去分析和解决问题，这有利于培养学生思维的广度和深度，进而使学生对数学思想方法有更高层次的理解，这样应用起来势必会更加灵活，解题效率自然也会得到提升.

5. 通用性

很多学生面对高考数学题目时容易出现畏难情绪，因为学生往往感觉高考题目都是新奇的、多变的，似乎平时练习的解题技巧都随着题目的变化而失效了，故出现了“谈数色变”的现象. 然纵观历届高考题目，其考查的都是学生对基础知识和基本技能的掌握情况，而非“绝技”，解题的思想方法都是普遍适用的通性通法. 因此，教学中切勿让解题技巧蒙蔽了双眼，要从一般解法出发，重视通性通法的积累，进而拥有“以不变应万变”的能力，最终提升解题准确率.

例5 已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为______.

评注：已知中给出了a，b，c三个未知数对应的方程，求ab+bc+ca的最小值的通用方法就是联立三个方程，分别求出a，b，c的值，发现a，b，c的值并不唯一，故需要分类讨论，因此本题不仅考查了方程思想，也考查了分类讨论思想. 本题考查的就是通性通法，然很多学生解题时却习惯从结论出发，利用基本不等式求解，希望通过对结论变形而找到解题的突破口，结果走了弯路，将一道普通的题目变成了一道难题，得不偿失.

培养数学思想方法的教学策略

数学思想方法存在于“教”与“学”的每个角落，因此，在引导学生学习的过程中要有意识、有目的地进行数学思想方法的提炼和总结，进而将数学思想方法转化为一种学习能力，这将对实现“终身学习”的教育目标发挥不可估量的作用. 同时，教师也应意识到，数学思想方法的形成是一个长期的过程，对于高中学生来讲，虽然其有了较强的逻辑思维能力，然其抽象和概况能力还较为薄弱，对问题本质的领悟需要一个长期的过程. 因此，教学中切勿急于求成，要让数学思想经历萌芽、生长、开花和结果的过程，进而从感性认识逐渐上升为理性认识，引导学生从问题的本质看待问题，最终将数学思想方法转化为学习能力. 那么教学中应如何去培养呢？

1. 重视内容深度

教学中应重视教学内容的深度，拓展思维的广度，善于对教材内容进行深加工，引导学生在学习知识的基础上，注重数学思想方法的提炼. 之所以要对教学内容进行深加工，主要是因为数学思想往往是隐性存在的，只有教师有目的地进行引导，学生才会在知识产生及发展的过程中通过总结和提炼将数学思想内化成一种数学能力，促进学习能力的全面提升.

2. 关注生成过程

过程是思维产生和发展的前提，缺乏过程的教學可以理解为生搬硬套，那样学生对知识的理解是浅显的，也就谈不上数学思想方法的提炼，更不可能应用数学思想方法去高效地解决问题. 因此，教学中应引导学生多关注知识产生的背景，从知识产生和发展的过程中领悟问题的本质，体验数学思想方法的重要价值.

3. 引导解后反思

解题教学在教学中的重要性是不言而喻的，其是检验学生数学思想方法掌握程度最直接也是最有效的手段之一. 解题教学中要重视解后反思，通过反思将解题过程升华至数学思想方法的应用，从而使学生对数学知识的理解上升至一个新的高度，有利于解题效率及学习能力的提升.

总之，在教学内容的选择、教学策略的实施以及解后反思中都应渗透数学思想方法，通过潜移默化的引导使学生形成学习能力，为实现“终身学习”奠基.

作者简介：崔磊（1984—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.