推广圆锥曲线的一个定点定值命题

［摘  要］ 文章通过对圆锥曲线的一个定点问题的探究，得出该问题的一般形式，并且以此为基础，经过类比迁移，解决了另一个与之相关的定值问题.

［关键词］ 圆锥曲线；定点定值；推广

命题研究的一个朴素目标是对命题的结论部分不断加强，对命题的条件部分不断减弱，从而获得命题更为深刻的形式；命题研究的最终目标是为了更好地理解命题，使得原本略显突兀的命题最终变得简单自然. 两者相辅相成，命题的深刻形式有益于认识命题的本质特征. 本文探讨吴世星老师提出的一个命题，通过对条件进行减弱，最终得出这一命题的一般形式.

吴世星老师在文［1］对一道解析几何中的抛物线试题进行了深入探讨，运用类比思想最后得出椭圆和双曲线中也有类似的结论成立，概括如下：

紧接着，吴世星老师对命题1进一步思考后发现可以对圆锥曲线这一定点定值命题的结论部分进行推广，给出了椭圆和双曲线两种情形的命题表述，概括如下：

从这一角度来看，命题1其实是对中学数学教师讨论多年的圆锥曲线对定点张直角弦过定点问题的逆向思考. 事实上，邹生书老师已经在文［2］中指出：圆锥曲线对定点张直角弦过定点的逆命题是成立的（关于这一问题的推广最为彻底的是许书华老师在文［3］中提出的）. 可见文［1］提出的命题1并非新命题.

继续考察文［1］提出的命题2，从吴世星老师证明命题2的过程来看，文［1］限制“点M在圆锥曲线的内部”，这一条件是可以去掉的. 本文要探讨的是命题2中的条件“点M在x轴上”是否也能够去掉. 经过一番艰难计算，最终确认这一条件也是可以去掉的，即如下命题是成立的：

考虑到使用圆锥曲线统一方程证明命题3的计算过程过于复杂，因此下面分橢圆、双曲线和抛物线三种情形证明命题3.

首先，考察命题3中的椭圆情形：

综合命题3.1、命题3.2和命题3.3可知命题3是正确的.

推广命题的动机源于希望获得对命题的本质理解，然而推广命题需要关注两个问题：关注推广所得命题是否已由他人提出，即注意推广的创造性；关注推广命题是否是本质的，即注意推广的深刻性.

通过上述讨论可以发现，前文已经指出吴世星老师获得的命题1是重复推广的，而吴世星老师将命题1推广为命题2则具有创造性.命题2可以视为是对“圆锥曲线对定点张直角弦过定点问题”的另一角度的有益探索.

推广的重复性有时极具隐蔽性而不易察觉，需要小心谨慎.下面以一个案例对此进行解释说明.

徐道老师曾在文［4］指出张忠旺老师对“圆锥曲线对定点张直角弦过定点问题”的推广是非实质性的，并且尝试给出这一问题的一个实质性推广.徐道老师提出的推广命题概括如下：

因为点M，N实际上是过定点P的圆锥曲线相交弦的中点，其轨迹是一条圆锥曲线（如图1所示），而且点P也在其轨迹上. 因此徐道老师提出的这一命题，其实与如下命题是等价的：

实际上这一命题早在文［3］中就由许书华老师提出了，它并非是对“圆锥曲线对定点张直角弦过定点问题”的实质性推广. 类似的问题也出现在文［6］中. 由此可见，推广命题是一件非常需要缜密思考的事情，稍微不慎就有可能遭受挫折.

根据查阅到的文献，发现许书华老师的文［3］是对“圆锥曲线对定点张直角弦过定点问题”从斜率角度给出的最为彻底的推广. 吴世星老师提出的命题2和本文进一步推广获得的命题3则是从向量数量积的角度给出的另一个推广.

最后需要指出的是：本文从解析几何的角度给出命题3的证明无法揭示命题3的本质，能否给出本文提出的命题3一个本质的证明呢？囿于自身能力，笔者尝试了很长时间，始终不得其解. 希望读者能够在本文的基础上进一步思考，给出命题3合理的解释，那么对命题2的推广才能算是完整的.

参考文献：

［1］  吴世星.圆锥曲线一类定点、定值问题的探究［J］. 数学通讯，2017（16）：40-42.

［2］  邹生书. 由一道抛物线竞赛题引发的探究［J］. 数学通讯，2017（04）：40-42.

［3］  许书华. 圆锥曲线顶点定值子弦性质的一般情形［J］. 数学通讯，2013（12）：42-44.

［4］  徐道. 圆锥曲线的两个定向、定点问题［J］. 数学教学，2015（06）：15-17.

［5］  张忠旺. 圆锥曲线对定点张直角弦的包络问题研究［J］. 数学通报，2013（08）：57-59.

［6］  林新建. 圆锥曲线的一个有趣性质［J］. 数学通讯，2009（08）：18-20.

作者简介：傅毓涛（1970—），滁州中学数学教研组长，滁州市学科带头人. 先后主持完成省级课题2个，市级课题2个，在《中学数学》《高中数理化》《中学数学教学参考》等杂志发表过多篇文章，指导多名教师获得安徽省优秀课一等奖.