善用结构特征 巧解代数问题

王小梅 陈科融 汤强

［摘  要］ 代数式的结构特征对解决代数问题至关重要，为使学生对代数式的结构有深入的认知，文章对解题中常见的代数结构进行了梳理并分类，包括“平方和”结构、“分式”结构、“和积”结构与“隐形”结构，并用例子加以解释和说明.

［关键词］ 数学解题；结构特征；代数问题

有些代数题虽然表述简短，但学生解决起来有一定的困难，大部分原因是学生辨别数学结构的能力较弱，尤其是变换代数式时不能根据其结构特征有效使用公式与性质，但如果以代数式的结构特征为起点，问题便可快速解决.同时研究表明，学生在代数学习上的困难主要反映在四个方面：对代数的抽象性和形式化不适应；不能熟练运用代数的符号表征系统和形式规则；不能从算术思维过渡到代数思维；不能理解代数结构，不能认识到代数方程和表达式中的结构［1］. 最后一方面是最困难的. 例如，大多数学生不能把类似于（x－3）4－（x+3）4的代数式看成平方差来处理.由此可见，学生缺乏的不是数学理论知识，而是对形式结构的识别力，他们无法看到代数式的内在结构以及意义，故而忘记规则或者误用造成各种错误［1］. 因此，结构特征的识别与使用对解决代数问题举足轻重. 为了提高学生的结构意识，有必要对中学常见的代数结构进行分类整理.

“平方和”结构

解题时经常会遇到类似于“a2+b2”的代数结构（即“平方和”结构），根据与平方和的关联度可分为“主平方和”结构与“次平方和”结构：与“主平方和”结构密切相关的有勾股定理、两点间的距离公式、同角三角函数的平方关系（sin2θ+cos2θ=1）、圆方程以及椭圆方程等；与 “次平方和”结构紧密相关的有完全平方公式、余弦定理、基本不等式、柯西不等式等.

数学高考题中经常会出现利用正余弦定理解三角形或判断三角形的形状，明确正余弦定理的适用条件是关键.此外，若题目中出现了形如“a2+b2－ab”“a2－b2－c2”（其中的字母a，b，c可以是代数式或三角函数等）的代数式，利用余弦定理求解会快很多，如2020年全国卷Ⅱ理数第17题，题目给出的条件是“sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC”，可以先用正弦定理再用余弦定理进行求解.

余弦定理因其特殊的结构特征，应用广泛，比如下面这个例子：

“平方和”结构在代数式中居多，不少数学公式均有此特征，解决此类问题的关键是识别出题目中代数式的结构特征，联系相关的数学知识，有时可以借助数形结合思想巧妙解决.

“分式”结构

针对第一类“分式”结构，一般先要对其进行化简，然后利用相关的数学知识解决问题. 分式化简的常见方法有除法降次、倒数思想、拆项相消、引入参数等.对于第二类“分式”结构，其结构特征明显，其中最为突出的是与斜率公式相关的拉格朗日中值定理，在高考的导数压轴题中多次出现，有时常规思路复杂，计算烦琐，但从结构特征入手可达到化难为易的目的；此外，点到直线的距离公式也属于“分式”结构，若能识别题目中涉及的代数式是点到直线的距离公式，则解决过程会简单很多.下面以第二类“分式”结构为例.

虽然拉格朗日中值定理属于高等数学内容，高考不能直接用此方法求解，但是原理在学生的认知范围内，且做选择题或填空题时可快速得到答案.除此之外，洛必达法则、柯西中值定理、泰勒展开式等高等数学内容有时在解题中也有相同的妙用，可适当了解.

例5 设k，θ∈R，

“和积”结构

“和积”结构是另一种常见的代数结构，主要有两种类型，一种似“ac+bd”，另一种似a+b=c，ab=d，其中字母表示代数式.

对于“ac+bd”这种结构，与之相关的有柯西不等式、向量数量积的坐标表示、两角和与差的正余弦公式以及托勒密定理等. 而且，两角差的余弦公式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ的证明思路之一是向量数量积的两种表示方法，既简便又直观，其思路来源于两者相似的代数结构.

例6 （2016年全国卷Ⅰ理数第17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c. 求C.

分析：该题难度不高，利用正余弦定理、三角函数相关公式等知识即可求解，一般采用统一性原则，将角化为边或者将边化为角. 方法1：利用余弦定理可将角全部化为边，得a2+b2－c2=ab，再利用余弦定理求解；方法2：观察到2cosC·（acosB+bcosA）=c的结构属于“ac+bd”型，用正弦定理将其化为2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，再利用两角和的正弦公式也可以求出C. 相比之下，第二种方法明显要快很多.

形如a+b=c，ab=d的结构，一般与韦达定理相联系，将其转化为一元二次方程有解的问题. 除此之外，a+b=c等价于1·a+1·b=c，已知a+b=c，ab=d，通过完全平方公式容易求得a2+b2，因此还可以联想到柯西不等式. 我们知道平方差公式来源于古代的解方程，已知两数和与两数积，求这两数，可以联想到初中的平方差公式.下面通过一道经典的竞赛题进行说明：

“隐形”结构

有时，题目条件与已学过的公式或定理的代数结构并不类似，但其结构较特殊，仍可以从结构特征入手，比如利用同构思想解决问题.同构是指根据问题解决的需要寻找与之紧密关联的特殊函数，将关联函数的基本性质进行迁移并运用于问题解决的过程.同构的目的在于将看似复杂的问题简单化，从特殊到一般，经历问题的合理转化，即抽象问题模型化［2］. 同构思想在数学解题中的应用广泛，利用同构思想解决代数问题的关键是从代数式的结构特征找到对应的函数，利用构造的新函数的性质进行求解.

例8 解不等式（x2－1）2019+x4038+2x2－1≤0.

同构思想是近几年高考的热点，其解题策略是：首先，对代数式进行简单的数学运算，观察代数式的结构特征；其次，将代数式两边的结构一致化，构造新的函数；最后，利用函数的单调性解不等式. 其中，最为关键的是识别代数式的结构特征，构造新函数.

综上分析，可以发现利用代数式的结构特征解决代数问题的有效性.教师需要培养学生的结构意识，善于捕捉代数式的结构特征. 那么，在公式教学中对结构特征的深入讲解就很有必要了. 虽然教材没有强调，但是教师应当帮助学生梳理常见的代数式的结构特征及其联系. 值得注意的是，代数结构是一种形式，具有高度的抽象性，学生很容易忽视其数学本质意义，只顾形式不考虑实质内容，生搬硬套，忽略适用范围. 比如学生的错误认知“sin（x+y）=sinx+siny”，就是类比“a（b+c）=ab+ac”导致的，原因是学生只关注代数式的形式而忽视了其数学本质（乘法与三角函数是两种不同的数学运算）. 所以，教师需要同时强调代数式的结构特征和数学本质.

参考文献：

［1］  鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程［M］. 上海：上海教育出版社，2009.

［2］  唐明超，潘敬贞，袁锦前. 例谈同构视角下函数与导数高考试题的求解策略——从2020年高考试题谈起［J］. 中学数学研究，2021（05）：45-47.

作者简介：王小梅（1994—），硕士研究生，从事中学数学研究工作.

通讯作者：汤强（1975—），博士，硕士生导师，教授，從事教师培训、数学课程与教学论研究工作.