聚焦新高考“创新性”研究 培养命题创新意识——第二届命题征集活动优质创新试题选登

江西 江苏 陕西 谢小平 王成功 焦战武

得，a1+a2=1,a2+a3=0,a3+a4=-9,a4+a5=0,…,

即a4k+1+a4k+2=(4k+1)2,a4k+2+a4k+3=0,a4k+3+a4k+4=-(4k+3)2,a4k+4+a4k+5=0,…,

从而有a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=(4k+1)2-(4k+3)2=-16k-8，

且a4k+2+a4k+3=a4k+4+a4k+5=0⟹a2k+a2k+1=0，

从而有a2+a3+a4+…+a38+a39=0，

【试题亮点】本题由三角函数的周期性可知，是四项并成一项转化为等差数列进行求和，联系所求与题干便能充分调动学生思考，考查学生的化归与转化思想，三角函数的参与恰到好处.

【原创试题2】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱CC1，BC的中点，P在正方体ABCD-A1B1C1D1内及其表面上运动，若点P满足A1P∥平面AEF，则点P的运动轨迹所构成的平面图形的面积为________.

【解题思路】如图，延长CC1至E1，使得C1E1=CE，则有A1E1∥AE,

取B1C1的中点M，连接A1M，则有A1M∥AF，

连接E1M并延长交BB1于点N，则点N为BB1的中点.

因为A1E1∥AE，A1E1⊄平面AEF，AE⊂平面AEF,所以A1E1∥平面AEF.

同理可得A1M∥平面AEF.

又A1E1，A1M在平面A1E1N内，且相交于点A1，

所以平面A1E1N∥平面AEF，

故点P在△A1MN上运动时，A1P∥平面AEF，

【创新点分析】试题原创灵感来自教材研究性学习——正方体的截面问题，试题立足空间几何体的基本图形正方体，考查过三点的截面，空间中的位置关系等，同时融入截面形状，几何图形面积以及正方体截面的性质为一体.

【试题亮点】本题考查空间几何体截面问题，考查学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理以及数学运算核心素养，全面落实《中国高考评价体系》中的“四基”“四翼”.

【原创试题3】如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下了轨迹C.已知细绳长度为3 cm.经测量，当笔尖运动到点P处时，∠FAP=30°，∠AFP=90°.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，以1 cm为单位长度，建立平面直角坐标系.

(1)求C的方程；

Δ=(6k+3)2-36k2=36k+9>0，

【创新点分析】本题属于回归教材类题型，是以人教A版选择性必修第一册教材第130页“抛物线的画法”为基础，考查抛物线定义、斜率、直线与抛物线位置关系、解不等式等多种知识，体现了回归教材、重概念、考通法的命题思想.本题第(1)问先要利用抛物线定义定型，再利用P点的坐标求方程；第(2)问设直线l方程，代入第一问求出的抛物线方程，用韦达定理求解，思维量、计算量较大，可以有效区分学生的思维能力、运算求解能力、数学建模能力、推理论证能力，落实对数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查.