坚持素养导向 考查关键能力 注重应用创新——浅析2022年新高考Ⅱ卷的命题规律与备考策略

辽宁 陈 威

2022年新高考Ⅱ卷数学试题基于《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》以下简称《课程标准》，强化基础考查，突出数学本质，注重理性思维，保持了全国卷高考命题的优良传统.同时，试题基于高考评价体系，坚持素养导向，突出关键能力，落实立德树人，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的新高考改革要求.可见，2022年新高考Ⅱ卷数学试题正在稳步推进高考命题从能力立意到素养导向的历史性转变.

一、试卷评析

(一)基础性

试卷中第1，2，4，5，6，9，13，14，18，20题全面系统地考查了高中数学核心概念、基本原理、基本方法，考查学生是否掌握了必备的基础知识，是否形成了解决问题的关键能力.

【例1】(2022·新高考Ⅱ卷·4)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若〈a，c〉=〈b，c〉，则t=( )

A．-6 B．-5 C．5 D．6

【参考答案】C

【评析】本题主要考查向量的坐标运算和向量的夹角公式，利用公式即可求得t=5.此外，本题可以根据向量加法的平行四边形法则，得到a与tb组成的平行四边形为菱形求解.

A．tan(α-β)=1 B．tan(α+β)=1

C．tan(α-β)=-1 D．tan(α+β)=-1

【参考答案】C

(二)综合性

试卷中第7,8,10,11,12,15,16,22题凸显了数学学科的特点和学科内的综合，突出考查了高中数学知识的内部联系，既考查了各模块内部的知识交汇点，又考查了各模块之间的联系与综合，强调学生注重数学本质，学会融会贯通，考查学生是否有完整的知识体系，是否形成了合理的认知结构.

A．-3 B．-2 C．0 D．1

【参考答案】A

(三)应用性

试卷中第3,19题分别通过设置传统文化情境、生产生活情境将抽象的数学概念与实际生活相结合，体现了数学的应用价值.强调学生注重理论联系实际，学以致用，考查学生的理性思维，深刻、精准地考查了学生运用数学知识和思想方法对实际问题进行分析与研究，进而有效解决实际问题的方法和能力.

图1

图2

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

【参考答案】D

【评析】本题以中国古代建筑为背景，将语文教材文章《中国建筑的特征》中的“举折”实例化，考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等知识解决实际问题的能力.这类情境问题的显著特点是题干长，学生要从大段文字中提取有用信息，在充分理解材料的基础上分析问题，寻求解决问题的途径，通过细心运算最终求解.本题中可设OD1=DC1=CB1=BA1=1，进而可得关于k3的方程，求出其解即可.

【例6】(2022·新高考Ⅱ卷·19)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)．

【参考答案】(1)47.9；(2)0.89；(3)0.001 4

【评析】本题对概率与统计的思想进行了深入的考查，突出对基本概念，基本原理的考查，要求学生能够将知识和方法内化为自身的知识结构，考查学生对模块内部知识之间联系的深入理解和综合应用.(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求解；(2)根据图中数据即可求解；(3)根据条件概率公式即可求解．

(四)创新性

试卷中第17，21题凸显了试题的传承创新，探索了新的设问方式，强调学生对知识的灵活运用，考查了学生的探究意识和创新能力，很好地发挥了选拔功能.

【例7】(2022·新高考Ⅱ卷·17)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．

(1)证明：a1=b1；

(2)求集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．

【参考答案】(1)证明略；(2)共9个元素

【评析】本题考查数列问题，第一问设问方式是证明a1=b1，与以往证明数列是等差或等比数列不同，第二问将数列与集合结合，给考生耳目一新的感觉.(1)设数列{an}的公差为d，进而根据题意列出方程组即可证出a1=b1；(2)将bk=am+a1化简可得m=2k-2，根据题意即可解出2≤k≤10，故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为9．

(1)求C的方程；

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【评析】以双曲线为背景考查圆锥曲线，增大了试题难度.本题打破了开放性试题和结构不良试题的固有模式，要求学生在给出的三个条件中选出两个作为已知条件证明另外一个成立，为学生提供了广阔的思维空间，很好地考查了学生的探究能力和创新能力.

二、备考策略

(一)用好教材全面覆盖基础，掌握必备知识

2022年的新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷在选择题部分分别考查了棱台的体积和外接球问题，同时在解答题部分都考查了条件概率.全概率公式和贝叶斯公式是新教材增加的内容，而条件概率是这两个公式的基础.因此，高三复习不能丢掉教材，教师要高度重视教材的作用，用好教材，全面覆盖基础知识.具体说来，要做到以下几点：第一，教师要引导学生通过复习教材弄清数学概念的内涵和外延，概念间的区别与联系；第二，教师要让学生明确知识的来龙去脉以及知识产生过程中所蕴含的思想方法；第三，教师要充分挖掘教材典型例题和习题的训练价值，从不同角度分析解答过程，展示解题方法的形成过程，加强一题多解、一题多变、多题一解等训练，进而达到不断优化知识结构，提高复习实效的目的.

(二)依托课标建构知识体系，扎牢素养根基

2022年的新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷在选择题压轴部分分别考查了抽象函数问题和不等式的性质，同时都考查了立体几何的外接球问题，另外今年的高考题中档题较多，计算量较大.函数问题需要构造函数，考查了学生的数学抽象核心素养；立体几何问题考查了学生的直观想象核心素养；计算加重考查了学生的数学运算和数据分析核心素养.因此，高三复习应依托《课程标准》，做到有的放矢，事半功倍.《课程标准》凝练了数学学科的六大核心素养，对考试评价具有指导性作用，《课程标准》附录2中的教学与评价案例就是为了教师更好地理解《课程标准》的要求，特别是理解数学学科核心素养与教学、评价、考试命题的关系，为教学、评价、考试命题提供范例.每个案例都说明了其蕴含的核心素养，如案例11蕴含了直观想象、数学抽象、逻辑推理等多个核心素养，案例14蕴含了数据分析核心素养，案例34蕴含了数学运算核心素养.

(三)研读真题明确备考方向，培养关键能力

研读高考真题，可以发现核心素养导向下的高考数学试题除了重视必备知识的考查，更重视真实情境下探究能力和解决问题能力的考查.因此，高三复习要把握好高考数学试题的基础性和综合性，更要把握好高考试题的应用性和创新性，有意培养学生的思维能力和创新意识.既要培养学生学会利用已学知识解决常规问题的能力，又要培养学生利用新学知识解决创新问题的能力.具体说来，要做到以下几点：

第一，梳理高考真题，归纳常考类型，寻找命题规律.可以发现一些经典题目常考常新，如2022年新高考Ⅱ卷中第8题考查的抽象函数问题，第20题考查的立体几何平行与垂直问题和空间角问题在以往的全国卷中均多次出现.

第二，要注意培养学生的应用意识.近年来与其他学科交叉渗透、相互联系的试题在高考中多次出现，试题或涉及体育知识，或涉及化学、生物和医学知识，这样的试题阅读材料较长，与生产生活密切相关，具有时代气息，复习备考时教师要指导学生多加练习，培养学生阅读理解与信息加工和提取的能力，以及综合应用所学知识解决问题的能力.

第三，要培养学生的创新意识.近年来结构不良试题，结论开放试题等创新题型继2020年新高考Ⅰ卷之后陆续出现，高考题中三角函数、数列、圆锥曲线和导数均考查过结构不良试题，2021年八省联考和2021年新高考Ⅱ卷也分别考查了立体几何和概率与统计问题的创新题，所以哪个模块都可以命制结构不良试题，也都可以命制创新题和压轴题，复习备考时教师要与时俱进，指导学生强化训练这类试题，培养学生的探索精神和探究能力.比如命制立体几何大题时，第一问考查平行与垂直时，设置两个结论进行判断真伪，正确地进行证明，错误的进行证伪；第二问考查空间角时，设置两个条件，给出一个线面角的大小，给出一个二面角大小，选择其中一个证明另一个成立等.

第四，要培养学生的心理素质.近年来高考试题在第3题或第4题位置上经常设置一道文化情境试题；解答题考查顺序不确定，概率与统计大题可能出现在第17题，也可能出现在第22题；经常出现在第1题或第2题的复数题在多选题第10题和填空题第15题也出现过.也就是说解答题第17题也可以难度较大，集合问题也可以出现在大题的某一个问，复数也可以设置压轴题.因此，复习备考时教师要设置好题目顺序和压轴题考查知识点，命制总体难度合适但各模块难度不确定的高质量试卷，培养学生良好的心理素质.