挖掘排列组合问题特点 奠定复习方向

重庆 刘大伟 李勇霞

在高考排列组合知识板块的复习过程中，要以夯实教材基础为前提，掌握典型组合类模型特点，加强对学生一题多变能力的培养，通过强化学生的阅读理解能力和信息提炼能力，来迎合高考试题中数学应用的广泛性，以及基础性、综合性、应用性和创新性的考查潮流.

纵观高考，不难发现，排列组合问题是高考试卷上经久不衰的典型试题，它在试卷中往往多出现在选择、填空题的位置，本身难度适中，往往涉及涂色、分配、排队等问题.但随着高考数学学科呈现出坚持以《中国高考评价体系》为指导，以核心素养为导向，思想性与科学性高度统一的特点，并凸显出数学应用的广泛性，以及联系实际的学科特点，兼顾基础性、综合性、应用性、创新性的试题形式将成为考查的潮流.

对于排列组合类问题的求解策略，笔者结合自身的教学经验，抛砖引玉，可以考虑以下几点：

(1)从实际问题本身出发，抽象出特定的数学模型(要求学生具备较强的抽象思维能力)，结合教材中涉及的典型组合类型，对号入座，进行分析求解；

(2)如果限制条件比较隐晦，需要我们对问题中的关键词(特别是逻辑关联词和量词)进行准确理解；

(3)个别试题可能涉及的组合模型较为简单，但在选择正确合理的计算方案时可能需要较大的思维量；

(4)组合类问题的计算方案是否正确，往往不能用直观方法直接检验，需要我们厘清基本的概念和原理，并具备较强的分析能力.

本文对常见的排列组合类题型涉及的考查方向进行了梳理，并归纳探究了不同题型的解题策略，希望对广大教师朋友有所帮助.

一、考向剖析归纳解析思路

考向一：涂色问题

与涂色问题有关的试题新颖有趣，且蕴含着丰富的数学思想，求解方法灵活多变且技巧性强，能够很好地培养学生的分析问题与解决问题的能力，以及创新思维能力，对开发学生的智力，提升学生的素养具有积极的引导作用.

求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解：

(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；

(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；

(3)对于空间中的涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.

【例1】(2022·全国高三专题练习·17)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？

如果2与5或6同色，则1,3,4共有2×2×1=4种栽种方法；

如果2与5或6异色，则1,3,4共有1×1×1=1种栽种方法；

【例2】(2022·全国高二专题练习·14)从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”，事件B为“3个格子的颜色均不相同”，则P(B|A)=________.

解析：用4种颜色对3个格子涂色，涂色方法数为43=64，

考向二：约束分配问题

组合问题中的约束分配问题往往涉及以下两类题型:

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含有”，则先将这些元素取出，再由其他元素补足；“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：当直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解，即利用正难则反的数学思想，巧妙应用排除法往往可以起到事半功倍的效果.

【例3】在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是________.

【例4】图中展示的是我国清代前五帝(顺治、康熙、雍正、乾隆、嘉庆)时期的五枚铜钱，现将这五枚铜钱分给甲、乙、丙三人，要求每人至少获得一枚铜钱，则一共有________种不同的分法．

考向三：排队问题

排列组合中的排队问题常涉及的方法：捆绑法和插空法.

(1)捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先考虑整体，将相邻元素视为一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序.值得一提的是，捆绑法的首要特点是“相邻”，一般应用在不同物体的排序问题中.

(2)插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻元素插入到已排好元素的间隙或两端位置.值得一提的是，插空法的首要特点是“不相邻”，一般应用在排序问题中.

排队问题的解题思想:

(1)合理归类，将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题.

(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理.

【例5】(2021·江苏省南通市高三阶段练习·14)某企业利用星期六安排A，B，C，D，E，F六位教授对企业员工进行不同内容的6次培训(每人培训一次)，规定上午最后一次培训和下午第一次培训为相邻的培训.要求A，B两位教授相邻，C，D两位教授不相邻，则共有________种不同的安排培训方法.(用数字作答)

【例6】(2022·湖南省岳阳市一模·15)将唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有________种．

考向四：平均分配问题

分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

(2)部分均匀分组，应重视不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!；

(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

【例7】(2022·辽宁省高二期末·16)某地区有3个疫苗接种定点医院，现有10名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有________种.

【例8】(2022·全国高三专题练习·16)5本不同的书，分给三名同学，每人至少一本，则不同的分配方法种数为________.

考向五：圆排列问题

【例9】设集合A={1,2,3,4,5,6}，一一映射f:A→A满足条件：对任意的x∈A，有f(f(f(x)))=x，则满足上述条件的映射f的个数为________.

解析：若有x∈A，则有f(x)=x或f(x)=x1,f(x1)=x2,f(x2)=x3，且x1,x2,x3互不相同.

因此有以下三种情况：

(1)对任意的x∈A，f(x)=x，这样的f只有1个.

因此，满足上述条件的映射f的个数为81个.

二、命题启发分享复习方向

新课改背景下，高考试题更加注重对高中数学基础知识、基本技能、基本方法及基本思想方法的考查，因此，教师在教学中应突破“只重视知识灌输，而轻视知识获得过程”的桎梏，在教学中不仅要夯实基础，更要注重培养学生对知识体系的整体感知能力和知识的迁移应用能力，把握知识间内在的本质联系，加强思维的训练，迎合新高考对学生数学核心素养能力的要求.

(1)加强对教材基础知识的夯实

2022年高考数学试题具备起点低、角度广的特点，注重对高中数学基础知识和技能、基本方法和思想的考查，例如2022年全国乙卷考查了约束分配问题；2022年全国甲卷考查了排队问题，因此在高考复习中要重视回归教材，夯实基础，对排列组合知识板块中涉及的知识类型进行由浅入深的系统复习，不能厚此薄彼，不能出现知识的盲区.同时，加深对涂色问题、均分问题、圆排列问题等不同题型的理解，区分不同知识类型的解题思路和方法，加强学生综合运用数学知识、思想和方法能力的培养，从而提升学生的数学核心素养.

(2)加强对学生一题多变能力的培养

著名数学家苏步青说：“学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然，然后知其所以然.”所以在学习数学的过程中，要探究知识的本源，拓展问题的应用，培养学生一题多变能力，拓宽学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力，促进学生思维能力的形成.

比如约束分配问题，可以设置如下问题：

有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派5人外出比赛，按下列要求分别有多少种选法：

①男运动员3名，女运动员2名；

②至少有1名女运动员；

③至少有1名队长；

④既有队长，又有女运动员.

答案：①120;②246;③196;④191

这样的问题设置可以有意识地强化学生区分不同类型试题的解题思想方法，引导学生厘清知识的内在联系和应用场景，主动寻求试题的解决策略，在反思和总结中提升学生的复习效率，培养学生的思维能力.

(3)加强对学生阅读理解能力和信息提炼能力的培养

高考命题的核心是立德树人、服务选材、引导教学，所以在试题中设置真实情境，渗透数学文化，用数学的语言表达世界，对学生的阅读理解能力、信息提炼能力及知识迁移与应用能力等提出了较高要求.这就要求以学生形成适应自身和社会发展需要的关键能力和必备品质为教学目标，并体现在对学生核心素养能力的培养中，使得学生具备在面对复杂的问题和情境中能够灵活的综合运用所学的知识和技能去解决实际问题的能力.比如：

1.(2022·北京首都师范大学附属中学高三开学考试·13)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为________种.

答案：12

2.(2022·全国高三专题练习·16)《红楼梦》，中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著.《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者.《红楼梦》三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社.诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉.”诗社成员有8人林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨.若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有________种排列方法.

答案：14 400