探寻2022年新高考Ⅰ卷第8题的“前世今生”

福建 汤小梅

2022年新高考Ⅰ卷的数学试题对能力的要求比往年高，“题海战术”的功效明显下降．这就需要我们面对高考数学试题时，学会多角度欣赏，从中发现试题的解决规律．高考对立体几何取值范围问题的考查也不例外，通过背景包装、更换几何体、变条件、变结论等多种方式对教材的例题、习题、高考真题进行重新加工，看似平常，实则有很多值得品味的东西．现以2022年新高考Ⅰ卷第8题为例，从考题点评、解法探究、解法点评、追根溯源、同源变式等角度来欣赏它，轻松突破求立体几何取值范围问题的思维瓶颈．

1.试题呈现

2.考题点评

这道立体几何试题是单选题的压轴题，属于课程学习情境，其文字表述流畅，考查内容丰富，但题目表述简洁美观，令人赏心悦目．借用正四棱锥的外接球为背景，表面考查的是空间几何体的体积取值范围问题，实际上考查考生利用导数或三元均值不等式解决正四棱锥体积的取值范围问题，考查学生化归与转化思想、空间想象与运算求解能力，以及直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养，意在考查理性思维、数学探索、数学应用．在近六年新课标试卷中，利用导数解决最优化立体几何问题在2017年全国卷Ⅰ理科第16题首次考查，这次是第二次考查．此类考题彰显了规避特殊技巧，凸现数学本质，强调通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构．

3.解法探究

图1

所以正四棱锥的体积

所以正四棱锥的体积

【解法3】如图1，设该球的半径为R，正四棱锥的侧棱与高的所成角为θ，

【另解】也可以利用余弦定理，得

所以l=6cosθ，

所以正四棱锥的体积

=144(sinθcos2θ)2，

则y=sinθcos2θ=t(1-t2)=t-t3，

【解法4】如图1，设该球的半径为R，正四棱锥的侧棱与高的所成角为θ，

所以l=6cosθ，故正四棱锥的体积

=72×2sin2θcos2θcos2θ

【解法5】如图1，底面正方形ABCD的对角线的交点为E，球的球心为O，设该球的半径为R，∠EOC=α，

所以正四棱锥的体积

=18sin2α(1+cosα)

=18(1-cosα)(1+cosα)2

=9(2-2cosα)(1+cosα)2

4.解法点评

在上述的五种解法中，解法1用“导数法求取值范围”是常规解法，为大多数同学所选．通过作出草图，观察图形特征，利用球的体积公式，即可求出球的半径．设正四棱锥的底边长a和高h，利用球心、正四棱锥底面的外接圆的圆心、正四棱锥的顶点所构成的直角三角形，再利用勾股定理，得a，h与l的关系式，从而找到四棱锥的体积关于l的函数，借用“导数”的工具性，通过求导，判断函数的单调性，求出四棱锥体积的取值范围．解法2用“均值不等式法求最值”，对解法1中所求的四棱锥的体积关于l的关系式，借用“三个正数的算术几何平均不等式”(也称基本不等式的推论)．解法3用“换元法求范围”，即设正四棱锥的侧棱与高的所成角为θ，求出四棱锥的体积关于θ的函数，并对三角函数进行换元，再借用导数，得四棱锥体积的取值范围．解法4用“均值不等式法求最值”，对解法3中所求的四棱锥的体积关于θ的关系式，借用“三个正数的算术几何平均不等式”，即可得其最值.解法5用“均值不等式法求最值”，即设∠EOC=α，此种角的设法，相比解法4的角的设法求出的四棱锥的体积更为简单，求出四棱锥的体积关于α的函数，借用“三个正数的算术几何平均不等式”，即可得其最值，展现了基本不等式的推论在求最值中的威力和魅力，充分显示了解法的灵活性，实属巧思妙解，干净利落，意犹未尽．

5.追根溯源

本题来源于2017人教A版必修第二册第169页复习参考题8第4题：如图，一块边长为10 cm的正方形铁片上有四块阴影部分．将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V(单位：cm3)表示为x(单位：cm)的函数．

2022年新高考Ⅰ卷第8题仍用本题的正四棱锥的背景，以及把四棱锥的体积表示为某个变量的函数，添加了四棱锥的外接球的背景，在原来的难度上，加大难度，考查了导数最优化问题或三个正数的算术几何平均不等式的应用．

在强调命题改革的今天，通过改编、创新等手段来赋予课本例题、习题新的生命，这已成为高考命题的一种新走向．近几年高考试题的命制越来越新颖多变，尤其对立体几何的考查，形式多样，但万变不离其宗，大多数高考题都能在课本中找到其原型．所以我们在高三复习备考的过程中要注意对课本例题、习题的训练，把握其实质、掌握其规律、规范其步骤，做到“胸中有本”．

6.同源变式

俗话说“铁打的营盘，流水的兵”．高考中不变的是知识，变化的是情境的呈现形式、问题的结构方式．这就要求我们面对数学题能突破常规，陈题巧改编、旧瓶装新酒．

【变式与思考1】为了加强考查学生破解新定义问题的能力，并会利用“三个正数的算术几何平均不等式”解题，故把此高考题中的背景给予精雕细琢，变为新定义“n元均值不等式”，把求正四棱锥体积的“取值范围”问题变为求正四棱锥体积的“最大值”问题，其他不变，便可得到如下立意新颖，构思独特的好题：

【简析】解析过程同高考题的解法2、解法4、解法5，应选C．

【变式与思考2】以中华优秀传统文化为试题情境材料的试题，一直是高考的热点，让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果，进一步树立民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感.为了包装数学文化的背景，引进《九章算术》中的方锥概念，其他不变，便可得到如下平淡中见新奇的好题．

【变式与思考3】把条件中的“正四棱锥的顶点在球面上”变为“四棱锥的顶点在球心”，其他条件不变，结论变为“求该四棱锥体积的最大值”，并把单选题变为填空题，即可得到如下题意简洁清晰的好题．

变式3：已知四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，若该球的体积为36π，则该四棱锥体积的最大值为________.

【变式与思考4】仍用此高考题的锥体的外接球为背景，只是把条件与结论中的“正四棱锥”变为“正六棱锥”，即可得如下“新口味”的好题．

变式4：已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为( )

令t=sinθ,t∈[0,1)，