双正方形辉映 平分等腰共存
——2022 年安徽省中考第14 题研究
2022-11-09安徽省蚌埠市新城区实验学校邮编233000
安徽省蚌埠市新城区实验学校（邮编：233000）
安徽省蚌埠市第三实验学校金 婷（邮编：233000）
1 试题及答案
试题（2022 年安徽省初中学业水平考试数学第14题） 如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF,BF分别交CD于点M,N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：
图1
简解（1）通过证明△ABE≌△GEF，得到AB=GE，AE=GF，从而DG=GF；
（2）图中包含等腰三角形、双正方形及多组平行线,本题可通过构建相似模型、勾股定理模型、面积模型和函数模型四个方面设计解题思路.
思路一 构建相似
解法1 如图2，延长BA，FE交于点H,则易得△AHE∽△GFE，
图2
解法2 如图3，延长GF，BC交于点H，
图3
则易得FH⊥BH.
因为DC//GF，
同理由△BCN∽△BHF，则
解法3 如图4，过点F作FH⊥DC于H，则易得四边形DHFG为正方形，所以DH=FH=DG=2，HC=1.DC//GF，
图4
因为FH//BC，易得△FNH∽△BNC，
图5
图6
思路二、勾股定理
解法6 如图7，连接EN，
图7
设CN＝x，则DN＝(3-x)，EN＝AE+CN=(x+2)（半角模型），
图8
解法8 如图9，过M做MH⊥BF于H,延长BC,GF交于点I.
图9
设NH=a, 则MH=5a.因为△MHF是等腰直角三角形,所以HF=MH=5a，NF=6a,
思路三、面积法
解法9 如图10，连接EN，因为△EFN和△MFN共高，所以
图10
因为△BEF和△EFN共底，所以
思路四、解析法
图11
设直线lEF解析式为y=k2x+b2，
2 试题索源及研究
（1）教材索源
例1 人教版八下第69 页复习题18 第14 题：
如图12，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. 求证AE=EF.（提示：取AB的中点G连接EG.）
图12
上题点E是正方形ABCD的边BC的中点，极其特殊，其实，如图13 和14，对于边BC所在直线上任意一点，均有AE=EF.
图13
图14
2022 年安徽卷第14 题选择点E是边的三等分点进行设计.
（2）命题研究
教材其实给出了以下命题的特例：
命题1 点E是正方形ABCD的边BC所在直线上异于B,C的点，EF⊥AE，交∠BCD的外交平分线于点F，则△AEF是等腰直角三角形.
其实该命题的逆命题也成立.
命题2 点E是正方形ABCD的边BC所在直线上异于B,C的点，若△AEF是等腰直角三角形，则CF平分∠BCD的外角.
3 双正方形视角的图形性质研究
解法3 对应的辅助线事实上还原了另一种可能的命题构图：双正方形的图形架构.2020 年安徽省初中学业水平考试第23 题事实上是双正方形法人一中构图命题，不妨继续研究如下：
如图15，转换视角，从两个正方形为图形基础，连接AC，延长FH交AC于点P，则：
图15
（i）PE⊥AD；
（ii）四边形BCFP是平行四边形；
（iii）点E在线段BF的垂直平分线上；
（iv）若BP的延长线经过点G，则D是AG的黄金分割点（可以证明：等价于AH的延长线经过CF的中点,图略）；
注：其实在图15 中，延长GF和BC，交于点H，则ABHG和CDGH均是黄金矩形.
图16
关于双正方形模型，我们有：
如图16，O,O'分别为正方形ABCD,BEFH的中心，A,B,E三点共线，直线AH与CE,CF分别交于点P,M，直线EH与AC,CD分别交于点P',Q'，直线DF与BC交于点G，直线CE与HF,BF相交于点X,Y，直线BM与DN相交于点Z，AQ垂直于AM于MB延长线交于点Q.则有如下性质：
（1）正方形ABCD与BEFH位似，直线AB,OO',DH,CF共点于位似中心N；
（2）直线CE,HF,BM共点于X，直线AC,DH,BQ'共点于M '，点D,P',G,P,F共线；
（3）AC//BF//QE，BD//EQ'，DF//ON；
（4）AM⊥CE，DF⊥PB，ON⊥PB，BM⊥DN；
（5）点A,B,Z,P,C,D共圆于 ⊙O，点B,E,F,P,H共圆于⊙O'
（6）完全四边形CHXMBF与CHM'Q'BD中，C,P,X,Y与C,P',M ',O'皆为调和点列，FC,FP,FX,FY与DC,DP',DM ',DO'皆为调和线束，从而C,G,H,B为调和点列；
（7）BP平分∠APE，DP平分∠APC，BC平分∠PBP'及∠MBM '；
（8）△ABQ≌△ABQ'≌△ADH；
（9）当且仅当点M为CF中点时，大小两正方形的相似比为黄金分割比ω.
总之，今年安徽卷第14 题，图形经典，内涵丰富，是一道不可多得的平面几何好题，限于水平，挂一漏万，请各位同仁继续研究赐教.
