导数中不等式证明的思维拓展

安徽省全椒中学 项 华（邮编：239500）

导数作为高中数学内容的重点知识，也是历年来高考的典型题型，通常会设置在压轴题目位置，并与求证不等式结合，从而考查学生利用导数对不等式进行求解的掌握能力，有些不等式的求解难度高，通过比较法、归纳法、判别法、数学归纳法、反证法等都难以求解，对学生来说求证难度大. 导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法. 本文对导数证明不等式的方法进行了几种归纳和探究，从而将某些不等式的证明化难为易，问题迎刃而解，通过寻找一些规律，实现一题多解，帮助学生拓展思维，打开思路，快速攻克不等式求证问题.

1 单变量不含参不等式证明方法——虚设零点（隐零点问题）

（1）隐零点问题处理的基本思路：形式上虚设，运算上代换，数值上估算.

（2）隐零点问题求解步骤：

①用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f'(x0)= 0，并结合f'(x)= 0 的单调性得到零点的取值范围.

②以零点为分界点，说明导函数f'(x)=0 的正负，进而得到f(x)的最值表达式.

③将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小.

2 单变量不含参不等式证明方法——切线放缩

生成方法一：利用曲线的切线放缩，实现以直代曲，化超越函数为一次函数.

（1）y=ex. 设y=ex上任一点P的横坐标为m，则过该点的切线方程为：

y-em=em(x-m)，即y=em(x+1)-mem，由此可得与ex有关的不等式：ex≥em(x+1)-mem，其中x∈R，m∈R，等号当且仅当x=m时成立.特别地，当m=0时，有ex≥1+x;当m=1时，有ex≥ex.

生成方法二：利用曲线的相切曲线进行放缩，化超越函数为分式函数.

图1

图2

图3

图4

用x+1 取代x的位置，相应的可得到与ln(x+1)有关的常用不等式.

3 单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转（或公切线隔离）

（1）凹函数、凸函数的几何特征

图5

图6

图7

（2）凹函数、凸函数的导数特征

①定理1 设函数f(x)为区间(a,b)内的可导函数，

则f(x)为(a,b)内的凹函数⇔f'(x)为(a,b)内的递增函数

⇔f'(x)≥0 且不在(a,b)的任一子区间上恒为零.

②定理2 设函数f(x)为区间(a,b)内的可导函数，

则f(x)为(a,b)内的凸函数⇔f'(x)为(a,b)内的递减函数⇔f''(x)≤0 且不在(a,b)的任一子区间上恒为零.

（3）凹凸反转

证明f(x)＞0 时，大多数情况下都是证明f(x)min＞0，但很多时候，f'(x)的零点无法求解,此时可以用设隐零点的方法,但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转.

凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离,即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较.当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值.

例1 (2021 高考模拟）设函数f(x)=e2x-2 lnx,求证：f(x)≥4.

解析 法一（最值分析（隐零点））

可证f'(x)存在唯一零点，从而可设f'(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0.当x∈(0,x0)时，f'(x)＜0;当x∈(x0,+∞)时，f'(x)＞0.所以f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，当且仅当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).

法三（切线放缩（找隔离直线））

f(x)≥4 ⇔e2x-2 lnx≥4 ⇔e2x≥2 lnx+4.

证明e2x≥2ex，2 lnx+4 ≤2ex即可.（即找y= e2x和y= 2 lnx+4 的隔离直线y=2ex,或者说对y= e2x进行切线放缩）

评析法一利用f'(x)的隐零点x0求出f(x)最小值，结合基本不等式即可证明，解法较为常规，有时隐零点求最值较为繁琐. 法二通过构造双函数g(x),h(x)由g(x)min≥h(x)max来证明，要求非常熟练掌握一些常见的指对函数和多项式组合的函数与最值. 法三通过找隔离直线y=2ex来证明较为简单.

例2 (2022 高考模拟21 题第二问）已知函数f(x)≥lnx+x+1.证明：对任意的x＞0，不等式xex≥f(x)恒成立.

解析 法一（最值分析）

要证对任意的x＞0，不等式xex≥f(x)恒成立，即证x＞0 时，xex≥lnx+x+1 恒成立，即证x(ex-1)-lnx-1 ≥0 恒成立，令

再令h(x)=xex-1，h'(x)=(x+1)ex＞0，所以h(x)为(0,+∞)上的增函数，又h(0)=-1 ＜0，h(1)=e-1 ＞0，所以存在唯一的x0∈(0,1)使h(x0)=0，即-1=0，

从而当x∈(0,x0) 时，h(x)＜0,g'(x)＜0,g(x) 为减函数; 当x∈(x0,1) 时，h(x)＞0,g'(x)＞0,g(x)为增函数，有

又由x0ex0-1=0，得x0ex0=1,-In x0=x0.从而g(x)min=g(x0)=1-x0-1+x0=0.

故对∀x＞0,g(x)≥g(x0)=0,xex≥lnx+x+1 恒成立，即对任意的x＞0，不等式xex≥f(x)恒成立.

法二（最值分析）

法三（同构＋切线放缩）

要证对任意的x＞0，不等式xex≥f(x)恒成立，即证x＞0 时，xex=ex+lnx≥lnx+x+1恒成立.（由ex≥x+1 恒成立即得）

评析法一构造差值函数g(x)，再利用隐零点法求g(x)min≥0 证明，法二构造商函数g(x)，再求g(x)max≤1 证明，法三同构函数结合切线放缩来证明较为简单，但要求熟练掌握一些常见指对函数同构，通过巧妙的同构函数，借助该函数的单调性简化不等式. 同构思想非常考察学生的数学建模、数学抽象、数学运算等数学核心素养.

例3 （2020 福州模拟)已知函数f(x)=e lnx-ex，证明：xf(x)-ex+2ex≤0.

解析 法一(指对分手（凹凸反转）)

图8

易得g(x)min=g(1)=-e.

法二(指对分手（凹凸反转）)

图9

设函数g(x)=lnxx+2， 易 得g(x) 在x∈(0,+∞)内的最大值为g(1)=1.

综上，当x＞0 时，f(x)≤h(x)，即xf(x)-ex+2ex≤0.

法三（同构＋切线放缩）

即可.

评析法一、法二构造双函数，利用其最值进行证明，凹凸反转关键是如何分离，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较;法三、法四通过同构函数结合切线放缩证明，同构法是证明不等式的一种技巧，同构法需要有敏锐的观察能力才能快速找到函数的原型.