把握本质重基础 培育能力提素养——一道双曲线高考题的解法探究与思考

新疆教育科学研究院（邮编：830049）

新疆乌鲁木齐市实验学校符强如（邮编：830026）

2022 年新高考数学全国卷1 理科第21 题秉承熟而不俗，俗中有变，变中有新的风格，注重数学本质和通性通法，彰显了从能力立意向素养导向的过渡，为学生提供了丰富的选择，是一道内涵丰富、解法多样的优质题，也为解析几何教学起到了很好的导向作用，值得一线老师去挖掘和探究.下面是对这道题的解法的多视角探究、题源寻求，以及从这道题中获得的教学思考.

1 题目呈现

从问题表述来看，此题取材平实, 表现朴实,题干清晰. 从内容上来看考查直线与双曲线位置关系、直线和双曲线平面图形（三角形）面积问题.本题看似入手易，解法多特点，但命题者在多解背后都埋下了“地雷”，使不少学生力不从心，不能顺利完善解题过程，起到了压轴的功能. 它考查了学生的逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，要求考生需要具备较高的思维能力.

2 解法探究

思路一条件直译-代数法，这是解析几何教学中最常见的方法.

思路二条件转化—代数法，解析几何拦路虎之一就是代数变换的繁琐，需要较强的运算能力，我们可以在思路一的基础上优化解法，将条件kAP+kBP=0 转化替代.

思路三参数法. 运用参数方程能够快速解决我们圆锥曲线的弦长，范围等问题.

对于参数法解决圆锥曲线问题也可以从这样一个视角解决.

评注参数法比传统方法具有很大优势，其核心就是减少了变量或参数. 此题借助直线参数方程或双曲线相关的参数方程两个不同视角解析，利用参数t的意义解题，解法3、4 视角不同，呈现解析难度也不同，这需要敏锐的观察. 这也启示我们变换解题视角区思考，能够一定程度上使解题思路“柳暗花明”，从而大大优化运算.

思路四齐次化联立，圆锥曲线问题中遇到斜率和或积的问题可以尝试齐次化联立.

评注齐次化联立即将直线方程与圆锥曲线方程联立后，利用“1”的代换实现齐次化，可以将题目中所涉及到的斜率转化成一个一元二次方程的两根，再由一元二次方程的两根关系获取斜率和或积的关系. 但是一般是在解决圆锥曲线问题斜率和或积的问题时应用. 可以避免繁琐运算，提高解题正确率

3 启示与思考

3.1 追溯背景

3.2 启示

（1）从当今的数学教育发展趋势可以理解为以数学理解问题、解决数学探究为价值取向. 那么教师就要抓好课堂教学，在重视基础知识和基本技能教学的同时，更要注重提升学生对数学思想方法和数学本质的理解. 对于此题学生面对繁琐的步骤及复杂的计算往往都束手无策，容易产生畏难心理. 其实“快”思维下数学教学更需要“慢”艺术，不单纯将个人认为好的数学思想方法短时间内打包发给学生，而老师需要在课堂教学中敢于等待学生，让学生独立思考，自主探索，发挥学生主观能动性，陪伴学生重铸数学知识的形成之路.

（2）波利亚说过，没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做,更重要的是解题后的回顾[1]. 对于思维量较大或者所谓的“难题”教师教学中应引导如何恰当利用题目主干条件，如何优化解题过程，怎样优化代数运算,深入分析和探究. 更要积极引导学生进行反思，深度挖掘试题的背景，理清命题者的意图，深刻揭示试题本质. 其有利于学生夯实基础，使知识系统化、网络化. 关注思维以及问题的本质,对于数学问题的把握、揭示和体验都是是课堂有效性的关键. 对于高考压轴题，唯有如此才能居高临下指导学生，培养学生关键能力，发展学生核心素养.

（3）一道经典的问题可以引导启发学生思维上的多角度思考，通过不同视角的解题途径，多方位多角度去思考问题，可以领略到解析几何与其他知识的综合交汇及其灵活迁移运用，虽然解题方法不同但是核心思想始终围绕着解析几何本质和思想,由特殊到一般地寻找规律，探索解题的通性通法，但是通性通法必须在数学思想的指引下渗透，而不是同类型题目的简单重复和操练，要经历积累活动经验，强化思考能力，真正进入深度学习，发展高阶思维，提升数学素养.

（4）高考真题立足基础，传承稳定，在稳定的基础上进行创新，这种创新不是通过一成不变的试题呈现，而是立足教材，对教材中的例题习题运用稳定的基础知识、经典的基本方法，深化的基本思想进行包装. 现阶段尤其复习教学回归教材是正道，回归教材不是简单阅读教材、不是简单罗列知识、不是简单梳理方法、更不是对教学过程的简单重现，而是对学科知识脉络的建构、对教材编者意图的领悟、对教材隐性知识的挖掘、对学科知识本质的把握，对平时教学中指导学生要寻“根”究“本”，唯有如此学生核心素养方能切实培养.