化整为零巧拆分 实验操作觅轨迹——一道调考试题的解法及背景探源

湖北省武汉市黄陂区教学研究室 刘光华（邮编：430300）

2021 年武汉市元月调考数学第15 题，以数学活动“车轮做成圆形的数学道理”为问题背景进行改编, 在扇形的连续滚动过程中探究圆心的运动轨迹，突出对数学知识与学生生活经验密切联系的考查. 试题立足课标、教材，设计精美，表述简洁、明快，值得我们去探究、品味.

1 试题呈现

如图1，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA＝1，∠AOB＝90°，则点O所经过的路径长是.

图1

2 背景探源

试题属于“综合与实践”中的实验操作类问题，本题设计为一个90°的扇形沿直线滚动（无滑动），探究其中扇形圆心的运动路径长（轨迹）. 事实上，类似问题模型在人教版数学九年级上册第118 页“数学活动1——车轮做成圆形的数学道理”中有相关研究：如图2，用硬纸片剪一个圆⊙O，让⊙O沿直尺在桌面上滚动，它的圆心与桌面的距离会发生改变吗？如图3，如果改成一个正方形纸片，让它沿直尺在桌面上滚动，用笔跟踪它的中心的轨迹，会有什么发现（北师大版九年级数学下册第67 页读一读中“车轮为什么是圆的”也有该问题的探究）？

图2

图3

探究发现图2 中⊙O沿直尺在桌面上滚动（向右）时，圆心O与桌面的距离始终保持不变，它与桌面的距离等于半径OA，当车轮在平坦的地面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人会感到非常平稳，因此把车轮做成圆形；图3 中正方形ABCD沿直尺在桌面上滚动（向右）时，当正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°至AB边落在桌面，此时正方形的中心O也绕点A顺时针旋转90°，它的运动轨迹是以A为圆心，以OA为半径的90°的圆弧，继续翻滚正方形至BC边落在桌面，点O的运动轨迹又是一段相等的弧，如此反复. 从数学活动中可以发现：圆是一条完整的封闭曲线，圆在桌面上滚动，圆心的运动路径就是圆弧在桌面上滚动所走过的弧长；正方形有四条边，在沿桌面滚动过程中，每次绕其中一个顶点旋转90°，正方形的中心的运动轨迹就是以这个旋转中心为圆心，以正方形的中心到这个点的距离为半径的90°的弧长.

3 解法赏析

本题中扇形OAB由两条半径和一条弧组成，观察发现，由图①滚动（无滑动）到图②，完成了一次旋转；由图②滚动到图③，先是⌒在直线上滚动到点B落在直线l上，然后扇形以B为旋转中心再进行一次旋转，由于在滚动过程中点O呈现出不一样的运动轨迹，为了准确求出整个滚动过程中点O所经过的路径长，我们通过化整为零的思想方法，将滚动过程按照扇形边的条数拆分成三个部分分别探究，同时也可以结合实验操作，通过实验分段绘制点O的运动轨迹.

3.1 从图①到图②

图4

图5

3.2 从图②到图③

图6

图7

3.3 从路径到策略

本题在探究滚动轨迹过程中，根据扇形滚动过程中点的运动路径不同把滚动过程分解成3 个明确的对象，逐个分析每一次滚动的路径，各个击破，最终达到解决问题的目的. 通过把复杂的事情简单化，化繁为简，各个击破要研究的复杂问题，分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决，直至解决问题[1]，这就是“化整为零”的思想以及分析技巧.

瑞士数学家欧拉曾说：“数学这门学科，需要观察，更需要实验.”在数学实验中，学生通过动手操作、自主探索、合作交流等活动过程与体验，掌握数学思维方法以及归纳、概括、推理和解决问题等多方面的能力，并产生数学学习的自信与热情. 而经历了完整缜密的学习过程，自然就会获得“由过程支撑的结果”[2].

从图②滚动到图③的过程中分为两个部分来探究点的运动路径，学生仅凭几何直观去理解有一定难度，这时裁剪一个圆心角为90°的扇形，通过数学实验操作，在实际滚动扇形纸片的过程中直观感受变化过程中点的运动轨迹，既锻炼了学生的动手能力，又能比较具体、直观的帮助学生理解运动过程中的变化规律，从而顺利引出数学结论. 如果条件允许，也可以借助计算机动态软件追踪滚动过程中的运动轨迹，加深学生的数学理解（但计算机模拟不能代替学生的实验操作）. 学生在经历数学实验操作过程中积累数学活动经验，提炼数学方法，感悟数学思想.

4 试题推广

美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德曾提出，好的数学问题应该是容易接受的（不需要大量技巧），它一定蕴含了重要的数学思想方法，并且可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探究活动），也就是具有较强的生长性. 本题取材于教材中的一个数学活动，巧妙的将圆与正方形的滚动结合在一起，可操作性较强，同时我们还可以从特殊到一般改变条件对试题进行深入探究.

变式1 如图8，放置在直线l上的扇形OAB，由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③，若半径OA＝1，∠AOB＝60°，则点O所经过的路径长是______.

图8

图9

变式2 若∠AOB＝80°，其它条件不变，则点O所经过的路径长是______.

思考改变扇形OAB中∠AOB的大小，在扇形滚动过程中，点O的运动轨迹哪些部分不变，哪些部分改变？

拓展若∠AOB＝n（0°＜n＜180°），其它条件不变，则点O所经过的路径长是______.

5 结语

义务教育课程标准指出：“综合与实践”是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在实际教学中，教师应注重引导学生经历发现问题，提出问题，分析和解决问题的过程. 要帮助学生感悟解决现实问题不仅要关注数学的知识，更要关注问题的背景，发现问题的本质与规律，然后用数学的概念、定理或公式予以表达. 在建立数学模型的过程中，引导学生会用数学的思维思考现实世界[3]. 数学教学中不能只注重逻辑推理，还应该关注数学实验操作、数学阅读等相关内容，积极创造条件，引导在数学知识形成、发展和应用的过程中进行深层次的数学思考，感悟其中蕴涵的数学思想，积累活动经验，从而增强数学应用意识和创新意识，提高数学实践能力.