联结“位”与“值”渗透运算一致性——以人教版教材三年级下册“两位数乘两位数（笔算乘法）”为例

□冯春飞 陈红霞

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在教学数与代数领域的内容时，要让学生“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性”。整数乘法运算教学需体现运算的一致性，即计数单位与计数单位相乘（这两个计数单位可以一样，也可以不一样），从而得到新的计数单位；计数单位上的数与计数单位上的数相乘，得到新的计数单位上的新的数。如何在整数运算教学中渗透运算一致性？本文以人教版教材三年级下册“两位数乘两位数（笔算乘法）”为例展开实践与思考。

一、整数乘法教学内容分析

整数乘法的笔算教学内容包括“多位数乘一位数”“两位数乘两位数”和“三位数乘两位数”。前两块内容侧重笔算算理的探索，如“两位数乘两位数”的教学，学生需要经历将两位数乘两位数转化为表内乘法的学习活动。而“三位数乘两位数”则侧重算理和算法的迁移，发挥其作为小学阶段整数乘法的终结作用，从而实现笔算模型的建构、固化和扩展。笔算模型的建构就是在这三块内容的学习过程中逐步形成的。其中两位数乘两位数的笔算，是理解算理和构建算法的关键。教师需要帮助学生从形式走向内涵，透过笔算的“位”理解蕴含的“值”，为后续笔算模型建构打好坚实基础（如图1）。

图1

二、学情诊断

为了解学生的起点，抓准学生的难点，为教学提供依据，笔者对本区300名三年级学生进行了前测。前测内容为“用喜欢的方法计算14×12并写出过程”。

（一）类归方法，看“位值”联结的起始点

根据前测统计，学生的计算方法呈多样化，共有13种。其中6种方法较典型，共占前测学生数的92%。这6种方法分别为：①12拆成10和2的和再乘14，约占总人数的20.3%；②14拆成10和4的和再乘12，约占总人数的20.7%；③12拆成3乘4的积再乘14，约占总人数的9%；④12拆成2乘6的积再乘14，约占总人数的12.3%；⑤14拆成2乘7的积再乘12，约占总人数的14%；⑥尝试笔算，约占总人数的15.7%。在学生心目中，这6种方法可以分成三类：一是把其中一个因数拆成10加几，如方法①②，将问题转化为两位数乘整十数和两位数乘一位数进行计算；二是把其中一个因数拆成几乘几，如方法③④⑤，将问题转化为多位数乘一位数进行计算；三是尝试笔算。前两类方法是在“两位数乘一位数”计算方法基础上的自然生长，而笔算实际上是第一类方法的竖式表征。在学生不理解竖式的算理时，会认为竖式是不同的计算方法。因此教师教学时要从学生的经验起点入手，帮助学生走向对竖式的理解。

（二）以图释意，看“位值”联结的关联性

从三类方法的意义、算式和过程的关联性统计情况来看，方法①～⑤是转化成已经学过的知识方法加以解决，学生理解起来基本没有困难。85%以上的学生可以用图式对方法③④⑤的算理进行表征；70%以上的学生可以用图式对方法①②的算理进行表征（如表1）。通过访谈图式表征错误的学生，发现他们大部分能够理解算理，只是对用正确的图式来表征算理感到困难。而学生对笔算算理的理解程度很低，尽管有40人尝试笔算并能够写出正确的竖式，但其中有37人不能用图式表示竖式意义，也说不清楚每一步的意义。这说明学生列竖式计算只是停留在程序性的模仿阶段，尚未做到真正理解。

表1

（三）个性记录，看“位值”联结的着力处

学生呈现的各式各样的“原创式”笔算中，第一类可称为“错例”，如图2中的3个竖式，都表现出学生对位值思想的不理解，主要的困难在于第二步乘的过程，根源是对算理理解的缺失。图3中两个学生的笔算结果都正确，第一个竖式没有完整记录计算过程，第二个竖式记录第二步乘得的结果是140个一。这两类个性化的笔算占比很高，分别占使用笔算人数的38.3%和4.2%，说明教学笔算第二步的意义时需重点着力，要帮助学生透过位值中“位”的表象，建立“值”的理解。由此可见，教学的重点应该放在对第二步计算的意义理解和过程表征上。

图2

图3

综上所述，本内容的教学关键在对第二个因数十位上的数字与第一个因数相乘时的算理理解、算法表征和方法归纳上，而其核心在于第二层的计算不仅有计数单位的个数相乘，还涉及不同计数单位相乘产生新的计数单位，两位数乘一位数的笔算经验不足以支撑学生对这个关键点的跨越。教师教学时应从学生不同的学习起点和经验基础创生出的算法多样化和表征多元化出发，做好多个层面由浅入深的联结教学，才能由表及里地把握“位值”原理，实现理法融通。

三、“位值”联结的教学实践

（一）说理：体会表征“多元化”到“统一性”的图式联结

立足学生起点，学生真正的困难不是对笔算算理的理解，而是每一步计算过程及意义无法与竖式表征一一对应，因此联结“位值”的第一步就是建立竖式表征与图式表征、横式表征的联结。

【教学片段1】

教师出示问题情境：“每套冰墩墩有12个，买14套共有多少个冰墩墩？”让学生列式并尝试用自己的方法计算。教师组织教学反馈，出示如图4的学生作品，并实施以下三步教学。1.理解方法。请学生分别介绍每一个作品的计算方法。2.建立联系。请两位学生和教师合作介绍，教师比画②号作品中笔算过程的某一步，一个学生指着①号作品中的点子图进行解释，另一个学生指出③号作品中横式的某一步，说出这一步的意思，教师板书每一步竖式的计算过程。3.总结方法。比较三个作品，虽然表达的方式不同，但是表示的意义相同，都是先算10个14是多少、2个14是多少，再把两部分加起来。

图4

学生通过联结点子图、横式和竖式这三种表征方式，理解两位数乘两位数的笔算算理。整个学习过程先让学生个别说理，再师生联动式说理，引导学生用数学语言表达每种表征方式背后的内涵，帮助学生厘清笔算竖式每一步的意义，建立点子图、横式、竖式之间内在意义“一致性”的图式联结。

（二）优化：经历笔算“个性化”到“规范化”的理法联结

学生理解算理并不代表能够准确地用竖式计算，也不代表已掌握算法，因此需要帮助学生实现算理与算法的联结。通常，学生个性化的竖式表征暴露了对笔算算法不同程度的理解偏差，用好学生的这些个性化资源，可以有效实现理法融通。

【教学片段2】

教师出示图3的两种个性化笔算，组织学生讨论：“根据上一个环节的学习，你想给这两名同学提什么建议？”学生通过展示作品，交流不同的竖式表征。教师让学生先理解竖式的算理，再体验竖式记录的必要性，最后反思之前的表征方式，形成从“没有过程”到“两乘一加”，从“写出0”到“省去0”的变化。

在教学反馈过程中，教师帮助学生进行经验和认知的自我修正，从而明确竖式需要体现计算的过程性，记录的合理性、结构性。表征从差异走向规范的过程也是学生对“位值”渐渐清晰的过程。

（三）类比：打通方法“多样性”到“普适性”的策略联结

学生经历前两层的联结后，教师以关联和整体的视角，结合学生对算理理解的逐渐深入，来完成竖式的解构和建构，促进算理与算法的融合，奠定了对“位”与“值”理解的基础。接下来，教师需要组织学生站在审视方法的角度，从多样的方法中理解笔算作为通法的“位值”原理。

【教学片段3】

教师出示图5的两种方法，并提出学习任务。1.边圈边说。“这两种方法能看懂吗？”让学生在点子图上边圈边说。2.比较异同。“这两种方法有没有相同的地方？有没有不同的地方？”3.其他方法。“通过这两种方法的学习，你还能想到其他的方法吗？”4.方法分类。“给所有的方法分分类，说说为什么这样分。”5.方法普适。“解决13×11，你会用什么方法？为什么？”

图5

教师从学生众多的方法中选择两个均为拆14的方法作为学习材料，让学生在“圈”和“说”中明确算理，在“比”和“猜”中讨论策略。引导学生发现，虽然方法看上去各不相同，但思考的策略都是转化问题：一类利用乘法结合律转化为两位数乘一位数；另一类先利用乘法分配律转化为两位数分别乘整十数和一位数，再相加。在方法分类和比较的过程中，教师着重引导学生发现，转化为两位数乘整十数时，计算的是（□□×□）个十，本质还是转化为两位数乘一位数，从而带领学生从多样化走向普适性。

（四）关联：感悟笔算“位表征”到“值表征”的程序联结

在经历了前三个层次的学习过程后，学生对算理算法和思考策略都有了一定的理解，此时教师让学生试做31×11，引导学生体会不同的转化策略有其适用性，笔算是解决两位数乘两位数的通法，同时在对比中将通法的“位值”可视化，助推学生真正走向对“位值”的深度理解，把程序式的算法抽象成稳固的模型，形成普适性的计算程序。

【教学片段4】

教师出示31×11后，让学生自主试做。组织如下教学：1.用点子图表示笔算。让学生在点子图上画出笔算每一步的意思。2.反思方法。“怎么大家都用笔算的方法？说说通过这道题你发现了什么。”3.建构模型。让学生看着笔算31×11的计算过程，对“为什么第二层计算31×1个十，最高位在百位上”展开讨论。

将位值原理和程序化规则以点子图的方式可视化，能帮助学生联通“位”与“值”，厘清本质内涵，促进基于意义理解的程序建模。

数的运算教学要以数的认识为基础，突出计数单位的意义，无论整数乘法，还是小数、分数乘法，都具有一致性。教师需要整体设计，在学生学习过程中解构外在的形，建构内在的理，由表及里地实施联结教学。