感悟数学基本思想发展学生核心素养

□苏明强

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学思想是数学知识和数学方法在更高层次上的抽象与概括，是数学产生和发展的根本，是探索、研究数学的基础，也是学习数学的人应当具备的基本思维特征。数学基本思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，在数学知识的形成过程中主要蕴含数学的抽象思想，在数学知识的发展过程中主要蕴含数学的推理思想，在数学知识的应用过程中主要蕴含数学的建模思想。因此，数学“四基”中的基本思想包括抽象思想、推理思想和建模思想，我们简称为“三思”。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数学课程要培养的学生核心素养，主要包括“会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界”三个方面（简称“三会”）。在小学阶段，核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。核心素养导向的课程目标是对“四基”“四能”课程目标的继承与发展，“四基”“四能”是发展学生核心素养的有效载体，核心素养对“四基”“四能”提出了更高的要求。

基本思想与核心素养有何关联？如何通过感悟数学基本思想发展学生的数学核心素养？笔者结合小学数学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个学习领域的具体例子，阐述“三思”与“三会”的关联以及发展学生数学核心素养的基本途径，为大家落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》的基本理念，提供一些教学参考。

一、感悟抽象思想——让学生学会用数学的眼光观察现实世界

抽象是舍弃事物物理属性得到本质属性的思维过程，它是形成数学概念、得到研究对象的必要手段。抽象思想是第一个数学基本思想，通常蕴含在数学知识的形成过程中。数是代数学的研究对象，数的认识是“数与代数”领域的基础，主要包括整数、小数、分数的概念、性质和规律。图形是几何学的研究对象，图形的认识是“图形与几何”领域的基础。在小学数学中，一维图形主要有线段、射线和直线，二维不封闭图形主要是角（直角、锐角、钝角、平角和周角），二维封闭图形主要有三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆，三维立体图形主要有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。因此，图形的认识主要是指对以上平面图形和立体图形特征的认识。

在“数的认识”和“图形的认识”等知识的形成过程中，蕴含的数学基本思想是抽象思想，具体包括分类思想、集合思想、符号表示思想、对应思想、数形结合思想、“变中有不变”思想等。因此，在“数的认识”和“图形的认识”两个模块知识的学习中，通过感悟抽象思想，可以让学生学会用数学的眼光观察现实世界，发展数感、量感、几何直观、空间观念、符号意识和创新意识，进而形成核心素养。

（一）在“数的认识”学习中感悟“抽象”

数的认识主要包括数的初步认识和数的再认识两个阶段。数的初步认识主要学习整数、小数、分数的概念、组成、各部分名称以及读法、写法等。在这些知识的学习过程中，我们可以让学生感悟分类思想、集合思想、符号表示思想和对应思想。通过“数一数”，用数数的方式发展学生的数感；通过“画一画”，用直观图式描述数量问题的方式发展学生的几何直观；通过“试一试”，用符号表示数量的方式发展学生的符号意识。数的再认识主要学习整数、小数、分数的意义和性质。我们可以利用“数线”让学生直观认识数的大小和相对位置，感悟数形结合思想，发现并提出新的数学问题，发展学生的创新意识。我们还可以从“数的大小”和“数线上对应位置”的角度，引导学生观察，直观感知，如分数的基本性质，发现分数的分子和分母都在“变”，而分数的大小和数线上对应的位置“不变”，感悟“变中不变”的思想，进一步发展学生的数感。在数的认识学习中，让学生学会用“数的眼光”观察现实世界，形成和发展核心素养。

（二）在“图形的认识”学习中感悟“抽象”

图形的认识主要包括图形的初步认识和图形的再认识两个阶段。图形的初步认识主要学习长方体、正方体、圆柱、圆锥、球以及长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆等。在这些知识的学习过程中，我们可以让学生感悟分类思想、集合思想和对应思想。通过“看一看”，观察图形的形状；“摸一摸”，感受图形的特点；“说一说”，描述图形的特点；“想一想”，建立图形的表象，由此让学生认识空间物体或图形的形状，发展学生的空间观念。图形的再认识主要学习图形的特征，主要包括三个方面。一是从几何要素：点（顶点）、线（边或棱）、面（平面）三个维度，通过量化的方式归纳得出图形的特点，有几个顶点、几条边（棱）和几个面。二是从几何要素之间的位置关系：平行与垂直的角度，抽象概括出平面图形边的特征，如对边互相平行、邻边互相垂直。三是从几何要素之间的大小关系——相等或不相等的角度，抽象概括出平面图形边的特征，如对边相等、邻边相等。在图形再认识的过程中，学生进一步加深对图形的认识，感受同一种图形，大小“变”了，特征却“不变”，这就是图形的本质。这样，学生不仅感悟了“变中不变”的思想，而且进一步发展了空间观念。在图形的认识学习中，让学生学会用“形的眼光”观察现实世界，形成和发展核心素养。

二、感悟推理思想——让学生学会用数学的思维思考现实世界

推理是数学思维的主要方式，包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳或类比的方式推断结果的一种思维方式，主要有归纳推理和类比推理。演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，通过逻辑推理的法则推断结果的一种思维方式。推理思想是第二个数学基本思想，通常蕴含在数学知识的发展过程中。数的运算是代数学研究对象进一步量化的结果，是“数与代数”领域在数的认识基础上的进一步发展，主要包括整数、小数和分数的四则运算。图形的测量是几何学研究对象进一步量化的结果，是“图形与几何”领域在图形认识基础上的进一步发展，主要包括图形的周长公式、面积公式和体积公式等。平面图形一维量化的结果是线段的长度和图形的周长，平面图形二维量化的结果是图形的面积，立体图形三维量化的结果是图形的体积。

在“数的运算”和“图形的测量”知识的发展过程中，蕴含的数学基本思想是推理思想，具体包括转化思想、归纳思想、类比思想和演绎思想等。因此，在“数的运算”和“图形的测量”两个知识模块的学习中，通过感悟推理思想，可以让学生学会用数学的思维思考现实世界，发展运算能力和推理意识，进而形成核心素养。

（一）在“数的运算”学习中感悟“推理”

数的运算主要包括整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算，整数的四则运算是小数四则运算的基础，分数的四则运算进一步丰富了加法、减法、乘法和除法的内涵，进一步拓展了四则运算的法则。在数的运算学习过程中，我们可以让学生感悟转化思想、归纳思想、类比思想和演绎思想。如在整数四则运算学习中，发展学生的运算能力，关键在于理解算理和掌握算法。在这里，叙说算理的过程，本质上是一个演绎推理的过程，因此，我们应该从推理的角度认识算理的重要性和必要性。在学习小数四则运算时，我们可以通过类比（整数与小数）的方式学习小数的加减法，这里蕴含着类比推理，我们可以通过转化的方式，把小数乘除法问题转化为整数乘除法问题，这里蕴含着演绎推理。在分数四则运算学习过程中，我们可以通过类比（整数与分数）的方式学习同分母分数加减法，这里蕴含着类比推理。学习异分母分数加减法时，我们可以通过转化的方式，把异分母分数加减法问题转化为同分母分数加减法问题，这里蕴含着演绎推理。学习分数乘法时，通过归纳的方式概括出分数乘法法则，这里蕴含着归纳推理。学习分数除法时，可以通过转化的方式，把分数除法问题转化为分数乘法问题，这里蕴含着演绎推理。这样，在数的运算学习中，学生不仅理解了算理，掌握了算法，而且感悟了运算的一致性，感悟了转化思想、归纳思想、类比思想和演绎思想。这不仅培养了学生的运算能力，还发展了推理意识，这让学生学会用数学的思维思考现实世界，形成和发展核心素养。

（二）在“图形的测量”学习中感悟“推理”

图形的测量，在线段长度度量的基础上，进一步学习图形的周长、面积和体积。在长方形周长公式的学习中，我们可以通过归纳（从特殊到一般）的方式，概括出长方形的周长公式，这里蕴含着归纳推理。在正方形周长公式的学习中，我们可以通过演绎（从一般到特殊）的方式，推导出正方形的周长公式，这里蕴含着演绎推理。在长方形面积公式的学习中，我们可以通过归纳（从特殊到一般）的方式，概括出长方形的面积公式，这里蕴含着归纳推理。在平行四边形面积公式的学习中，我们可以通过转化的方式，把平行四边形转化为长方形，推导出平行四边形的面积公式，这里蕴含着演绎推理。在三角形、梯形面积公式学习中，我们可以通过转化的方式，把三角形、梯形转化为平行四边形，推导出三角形和梯形的面积公式，这里蕴含着演绎推理。在圆的面积公式学习中，我们可以通过转化的方式，把圆无穷分割拼接转化为长方形，推导出圆的面积公式，这里蕴含着演绎推理。在长方体体积的学习中，我们可以通过归纳（从特殊到一般）的方式，概括出长方体的体积公式，这里蕴含着归纳推理。在圆柱体积的学习中，我们可以通过转化的方式，把圆柱无穷分割拼接转化为长方体，推导出圆柱的体积公式，这里蕴含着演绎推理。这样，在图形的测量学习中，学生不仅理解了公式的推导过程，掌握度量公式，而且感悟了转化思想、归纳思想、类比思想和演绎思想。这不仅培养了学生推理意识，还让学生学会用数学的思维思考现实世界，形成和发展核心素养。

三、感悟建模思想——让学生学会用数学的语言表达现实世界

数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言表征研究对象特征或关系的一种数学结构。数学模型是数学与现实世界联系的重要载体，用数字、字母和其他数学符号建立起来的算式、代数式、关系式、方程、函数等都是数学模型。数学知识的应用，包括数与代数知识的应用、图形与几何知识的应用、统计与概率知识的应用，它们本质上都是建立数学模型的过程。建立和求解数学模型的过程，主要包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立算式、代数式、关系式、方程、函数等表示数学问题中的数量、数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义，在这个过程中，通常蕴含着建模思想。建模思想是第三个数学基本思想，主要包括简化思想、量化思想、优化思想、方程思想、函数思想、随机思想、统计思想。因此，在数与代数、图形与几何、统计与概率等知识的应用过程中，通过感悟建模思想，可以让学生学会用数学的语言表达现实世界，进一步发展数据意识、模型意识和应用意识，进而形成核心素养。

（一）在“数与代数”领域相关知识的应用中感悟“建模”

数是代数学的研究对象，是现实世界中事物“量”的一种抽象，是具体事物量化的一种结果，数（包括字母）的运算（算式、代数式）是数量关系的一种抽象，方程是代数式等量关系的一种抽象，函数是变量对应关系的一种抽象。因此，“数与代数”知识的应用过程，本质上是建立数的模型、算式模型、代数式模型、方程模型和函数模型的过程。学生在建立和求解这些数学模型的过程中，可以感悟量化思想、简化思想、优化思想、方程思想和函数思想，发展模型意识和应用意识，学会用“数与代数”的语言表达现实世界，形成和发展核心素养。

（二）在“图形与几何”领域相关知识的应用中感悟“建模”

图形是几何学的研究对象，是现实世界中物体“形”的一种抽象。长度是线段“量化”的结果，周长是图形一维“量化”的结果，面积是图形二维“量化”的结果，体积是图形三维“量化”的结果。周长公式、面积公式、体积公式是变量之间对应关系的一种抽象，本质上是一种函数关系。如长方形的周长公式C=(ɑ+b)×2和面积公式S=ɑ×b本质上都是二元函数，长方体的体积V=ɑbc本质上是三元函数等。因此，“图形与几何”知识的应用过程，本质上是建立周长模型、面积模型、体积模型的过程，在建立和求解这些数学模型的过程中，可以感悟量化思想、简化思想、优化思想和函数思想，发展模型意识和应用意识，促进学生学会用“图形与几何”的语言表达现实世界，形成和发展核心素养。

（三）在“统计与概率”领域相关知识的应用中感悟“建模”

数据是统计学的研究对象，统计是数据蕴含规律的一种刻画，统计表是直观整理数据的一种方式，统计图（条形统计图、折线统计图和扇形统计图）是直观描述数据的一种方式，统计量（平均数、百分数、中位数、众数、方差）是理性分析数据的一种方式。随机事件是概率的研究对象，概率是体现随机事件规律的一种表达，用“可能、一定、不可能”是定性描述随机事件发生可能性大小的一种方式，用分数是定量描述随机事件发生可能性大小的一种方法。因此，统计与概率知识的应用过程，本质上是建立统计模型和概率模型的过程。在建立和求解这些数学模型的过程中，学生可以感悟量化思想、简化思想、优化思想、统计思想和随机思想，发展数据意识、模型意识和应用意识，学会用“统计与概率”的语言表达现实世界，形成和发展核心素养。