大概念下小学数学的知识理解与教学改进*——以度量视角下的“数与运算”为例

□张平 潘禹辰 徐文彬

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“学生应通过数学学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需的核心素养。”该课程理念不仅明确了学科育人的方向，还涉及新的知识特性以及由此产生的新的教学方式。核心素养的培育离不开知识教学，但是以应试为目的的知识教学给予学生的只是静态的内容堆积、分裂的线性结构、表层的解题工具。为了培养具有数学素养的公民，必须重构课堂，以使数学真正被理解，而对知识特性的理解与教学方式改变是课堂重构及后续变革的关键。［1］

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求“进一步精选学科内容，重视以大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实”。其中，源于布鲁纳的学习结构［2］的“大概念（big idea）”为义务教育数学课程的教与学提供了可能的方向。大概念是被抽象、概括出来的具有联系、整合作用并能被广泛迁移的核心知识。［3］正因其强调概念与概念之间的关系，重视各种概念与理解的连贯性和整体性，所以才能促进有意义学习以及学习迁移的发生。在小学数学教学中，大概念将引导学生建构数学知识结构、理解数学知识本质、提高知识迁移和应用能力，从而有效地促进学生核心素养的形成。

基于此，本研究试以“度量”这一大概念来统领“数的认识”与“数的运算”，以形成“数与运算”的知识结构为目的，具体探讨相应的知识的理解与教学的改进。

一、度量及其特性

度量是人们认识数学，继而认识世界的基本工具。作为小学数学的大概念之一，度量是一种基本的数学思想，是用数学把握客观世界的基本方式，也是贯穿于整个小学数学学习的高位概念，其方法具有可迁移性。度量问题极大地推动着数学的发展，而人类感知数量多少和距离远近的先天本能为其提供了思维基础。［4］度量是对事物的某些属性的量化过程，指使用所选的度量单位去度量对象，然后累积度量单位的总数并得到结果。其间，度量对象、度量标准（计量单位）、度量方法和度量的准确度缺一不可。

度量的本质是比较，该过程蕴含了数学抽象、数学推理及数学建模等思想方法。度量单位的确立就是思维抽象的结果，至于推理，如自然数“满十进一”的计数方法，十个一为一个十，十个十为一个百，以此类推；又如通过度量并结合公式来得到图形面积。度量教学除了要渗透上述数学思想和方法之外，还需强调测量特性，以便学生更好地把握度量的科学性、合理性和目的性等原则。

首先，度量单位的统一性是国家与地区交流和发展的趋势使然（如货币系统），并且统一的过程也将朝着更加精细的方向改进。其次，度量方法的一致性体现了度量对象与度量单位的比较和数数过程。比如度量面积就是基于平方米、平方分米等单位一个一个累积的；分数可以看作是6个“”的累加，其中的“”则是所谓的“度量单位”。最后，度量结果具有守恒性。尽管一个度量单位系统内可能包含多个度量单位（如度量长度的米、分米、厘米等），但是针对同一个对象，度量结果守恒。比如小王身高用米做单位是1.78米，而用厘米度量是178厘米，其实结果“不变”，因为在长度（或高度，其实就是一维度量）单位系统中，178厘米就是1.78米（反之亦然）。

二、度量视角下“数与运算”的理解

明确了度量这一大概念在小学数学中的重要性，下面将在该视角下来理解数与运算，以便为教学改进提供启示。

（一）度量视角下数的理解

从度量的角度来看，数是大小的刻画，然而量的多少抽象成数就是数的大小。下面将从度量的视角来探讨小学数学中的整数、小数和分数，以及数的比较和等值的理解。

首先，数源于数，就是基于度量单位从0开始一个一个累加起来（自然数的基本单位是1）。“十进制”的发明催生了各级计数单位，用0～9这10个数字符号和相应的数位就可以表示无数个整数。比如10000这个数，按我国的计数方法可以用“万”来度量，即表示1个万，西方通常把这个数用千来度量，表示10个千，这也体现了度量的守恒性。

其次，小数是在实际测量和整数运算（如除法、开方）的需要中产生和发展起来的。随着社会生产力的发展，对测量精度要求提高，反映在数学上是对数量的精确程度的要求提升。当需要用数来比较精确结果时，就出现了两种表示方法：一是用分数来表示不足整数的剩余部分；二是发展度量衡系统，采用更小的度量单位来表示有关的量。这个更小的度量单位就是把自然数的基本度量单位1不断地10等分。比如0.53，就是由5个0.1（1的十分之一）和3个0.01（0.1的十分之一）所组成。分数与小数一样起源于度量和均分。用一个标准度量单位（自然数的基本单位1）去度量一个对象，如果正好量完，结果便可用整数表示；如果不能量完，就把原来的标准等分后用更小的单位去度量，如果能量完，结果就是分数；如果无论把原来的标准等分多少份，都不能正好量完，结果就是无理数。比如就可以看作把“1”等分成5份，用去量了3次正好量完。但如果用圆的直径（作为单位）去量圆的周长，则无论怎么等分，都不能正好量完，所以，结果π便是无理数。

在度量视角下整体认知整数、小数和分数，可以发现计数单位是它们共同的核心概念，其基本计数单位都是“1”。比如30表示30个1，0.32表示同时，整数、小数及分数还有各自相应的计数单位系统（如表1），比如30用10去度量，即3个10，0.32用0.01去度量，即32个

表1 自然数、小数和分数的计数单位

整数和小数的计数单位都是十进制，分数的计数单位则不局限于十进制，是基本度量单位1的任意等分之1份。在认数的过程中对不同的度量单位（进制）的认识，可以加深对数的理解，培养学生的数感。

最后，数的大小比较是看各自包含了多少个相同计数单位的个数。若计数单位相同，可以直接进行比较，比如若计数单位不同，则需要变成相同的计数单位再进行比较。比如作为它们（共同的）计数单位，再进行比较。数的等值是指两个数计数单位不同，但大小相等。在自然数、小数和分数中都有两个数等值的情况。比如5万=50000，表示5个“万”等于50000个“一”。类似的，一个数可以用不同的计数单位去度量，它的计数单位扩大多少倍，相应的个数就要缩小多少倍，反之同理。因此一个数有无限个等值数，这也是度量结果的守恒性（如图1）。由此来解释分数、小数的基本性质及商不变的性质就非常简单了。比如1.5=1.50，表示15个0.1等于150个0.01，小数末尾每添上（减少）一个零，表示相应的计数单位缩小（扩大）10倍。分数也是如此。分数中分母表示计数单位（等分的份数），分子表示计数单位的个数，分母扩大表示计数单位变小，因此分子要扩大相应的倍数，反之亦然（如图2）。

图1 数的等值

图2 分数的基本性质

（二）度量视角下运算的理解

运算在小学数学中占据极其重要的地位，是学生数学学习的基础。对于一些学生来说存在着困难，计算教学中算理的纷繁复杂可能是造成学生对算理不理解的重要原因之一。

度量视角下如何理解四则运算？概括地说，就是着眼于运算算理的一致性，促进整数、小数和分数运算算理的有效迁移，加深学生对运算意义及其本质的理解。

首先，整数、小数和分数的加减法的算理有自然的一致性，即相同计数单位的相加和相减。比如125+38=100+（20+30）+（5+8）。如果是异分母分数相加减，则要转化为同分母分数再加减。比如，因计数单位不同，不能直接相加，需先转化为，便可以得出结论。

其次，是对乘法运算的理解。欧几里得曾指出，整数是一个长度，整数的乘积是一个矩形。其实，乘法可以从多个角度去理解。比如乘法是“求几个相同加数的和的简便运算”，像每小时行驶30千米，5小时行驶多少千米，表示5个30是多少，本质上还是加法。度量视角下的理解，就是把一个乘数看作一条边，是一维线段，两个一维的量，在相互作用下，就转化为二维空间。从哲学上说，就是从量变到质变的过程。乘法计算类似于面积的度量，面积是用面积单位去度量面的大小，乘法是单位积去度量乘的结果（如表2）。从乘法的意义来说，如果只关注计算结果而不考虑结果的单位，整数、小数和分数的乘法运算算理就会被人为割裂成三种不同的运算：整数乘法回归加法的意义来理解；小数乘法的算理是借助积与因数的变化规律；分数乘法是分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。从度量的视角来看，三种运算都是单位积度量的结果。如整数乘法就是用1×1（单位积）度量，小数就是用小数单位相乘（单位积）度量，分数乘法就是分数单位相乘（单位积）度量。

表2 整数、小数和分数的乘法算理的一致性

最后，在现行小学数学教材中整数、小数和分数的除法各自为政，其中整数除法是利用等分和包含的意义，小数除法则转化为整数除法计算，分数除法则转化为分数乘法来计算，三种除法的算理没有一致性，不仅造成教学困难，也不易于学生理解除法的本质。而度量视角下的除法运算算理，则可统一为“包含”的意义（如表3），其实质是将两个量变成相同计数单位的计量，然后用一个量为标准（除数）去度量另一个量。如此，不仅使整数、小数和分数除法的算理完全一致，还把除法的意义、比的意义及分数的相关意义统一起来，打通了三者之间的联系。此外，分数除法用包含的算理进行运算，通过推理，最终也能得到除以一个数等于乘它的倒数这一结论：

表3 整数、小数和分数的除法算理的一致性

三、度量视角下“数与运算”的教学改进

基于上述分析，度量这一大概念具有很强的概括性和包容性，能为学生提供一个整合了各种知识的内容结构和认知框架，而其对学生学习的促进也需要教学的帮助。

（一）重视度量教学，充分发挥度量的育人价值

重视度量教学，首先要让学生把握度量单位的本质。度量源于比较，关键是表征事物某些属性的顺序，标准的确定是得到统一表达的基础。其次要让学生经历度量的过程。比如在度量长度的教学中，要让学生充分利用各种工具对物体长度进行度量，要让其先产生对统一标准的需求，再进一步判断最合适的度量标准，从而逐步建立度量单位系统。最后，要让学生感悟度量的思想方法。比如开展从直观到抽象的长度单位学习，通过建模来度量某些不可直接比较的量等，由此让学生意识到用数学量化世界的价值。

（二）基于度量的认数教学改进

度量单位是整数、小数和分数意义一致性的桥梁。当人们舍去事物的具体属性，将物体个数抽象为“1”这个基本单位就有了自然数。再将“1”这个基本单位10等分或者任意等分做单位，就产生了小数和分数。计数单位在数的认识中很重要。比如认识自然数的关键是十进制，此外还有二进制、六十进制等，因此在认识整数时，可以先让学生尝试不同的计数标准，如认识10以内的数时，让学生尝试把小棒2根一捆、3根一捆……体会计数标准的多样性，为以后10根一捆做好铺垫。小数的认识既要联系分数的意义，又要注重与整数的关联，十进制的计数单位将整数与小数联系在一起，从某种意义上说，小数是整数的延续。至于分数，可以让学生从度量意义上了解分数是怎么产生的，通过分数单位深刻理解真分数、假分数的意义，理解分数与除法、分数与比的联系，并通过度量的守恒性深入理解分数的基本性质及等值分数的意义。

（三）基于度量的运算教学改进

现行小学数学教材在计算教学的四则运算部分，会增加各种算理理解难度和记忆负担，会阻碍学习迁移的发生。然而，基于度量，可以高位统摄四则运算算理，使它们具有完全的一致性。从某种意义上说，计算也具有度量的意义：加减法的实质是相同计数单位个数的累加或递减；乘法运算类似于面积测量，用单位积去度量计算结果；除法运算就是把除数作为1个度量单位去度量被除数，其意义相当于比。因此，从整数四则运算开始就要在运算中渗透度量的思想，特别要重视计数单位的概念。与此同时，整数、小数及分数的运算教学要整体设计，分步实施，环环相扣，一脉相承。

总之，基于大概念的数学教学强调内容的结构化，以知识间的紧密联系促进学生的有意义学习，并且关注认知的整体性和理解的深刻性，在知识的深层凝练中直指学科本质，体现数学思想和方法，是所谓“数学核心素养”的真谛所在。