把握学科本质 积淀数学素养

陈凤伟

【摘 要】进行“数的认识”教学，一以贯之的核心概念是位值、十进位值制，培养的关键能力是数感、符号意识。“千的认识”一课，围绕“1000究竟什么样”展开了对“千”的数学化的认识。从1000丰富的现实原型再现，到去掉具体的量抽象出数，认识千的单位、位值，千以内数的复合表示和关系，再返回生活中发現、确认数学化的1000。学生经历了从感性具体到理性具体，从认识数量、数量之间的关系，到理解抽象出的数、数之间的关系，返回现实加以运用，这是一个完整的数的认识过程。数学核心素养的发展需要这样的过程积淀。

【关键词】数的认识 符号意识 位值 数感

小学阶段学生对数的认识经历两次重要的突破。第一次是从感性具体到理性具体，也就是从具体的情境、数量中抽象出数，用符号进行表示，在认识数量之间关系的基础上，理解抽象出来的数之间的关系，其核心是十进位值制。第二次是从理性具体到理性抽象，也就是用字母表示数，这是在数的抽象性基础上进行概括性的认识，是代数思维的起始。

“千的认识”一课正好具有承上启下的重要作用。它是大数理性具体认识的开始，教材中出现了十进位制的数位顺序表，是对数的抽象、数位、十进位值制的理解与升华，为后续学生学习数的再认识和数域的扩展奠定基础。

基于此，教师可以在教学中沿着“十进位值制”本质概念的认知进程，引导学生从再现1000丰富的现实原型，到去掉量的具体情境抽象出数，认识千的单位、位值、千以内数的复合表示和关系，再返回生活中发现、确认数学化的1000，并加以运用。

一、认识“1000”的影子

上课了，教师先点明本节课学习的重点：“这节课我们继续认识数，认识1000。”然后问学生是否认识1000，学生们异口同声地回答：“认识！”

接着，教师让学生说说他们认识的1000是什么样的，学生们有点懵，有的说1000克，有的说1000斤。

教师追问：“1000克是什么？”

学生迟疑了一下，补充说：“2袋盐吧？”

“那1000斤呢？”

“就是好多好多东西呗！”

教师问：“1000大不大？”

学生肯定地回答：“大！”

“那2袋盐多不多？”

学生犹豫了。

这时，教师说：“1000究竟什么样，我们还需要认识吗？”

学生们纷纷点头。

教师说：“那我们就一起来看看1000究竟什么样，和你先前认识的1000有什么不同。”

有效的教学建立在对学生认知发展水平和已有知识经验充分了解的基础之上。从上述对话可以看出，学生脱口而出的“千”是闻其名胜于知其义。学生在“百”的认知基础上，对“千”有模糊的经验，直觉感知“千”是一个挺大的数。也有学生知道“千与百”的十进关系。学生对“千”的数学化认知，需要从模糊经验转为清晰的数学化理解，需要从带有情境的量转为抽象数的关系的理解，需要建立十进位值制的概念。

二、经历“数”源于数的活动

怎样开始认识数呢？学生有元认知，“数”从数开始。

教师拿出一把小棒，问：“有多少？”

学生很自然地脱口而出：“10！”

“眼见才能为实，一起数一数。”随着教师手中小棒一根根地亮相，学生顺畅地数起来，到第9根的时候，“10”的读音已经从学生口中呼之欲出，眼见没有第10根，学生急刹车般停了下来。

这时，教师亮出第10根小棒，问：“是不是还想再添1根？”

学生迅速回应：“是！”

教师接着问：“给9添1就是10，这个过程你能表示出来吗？”

接着，教师借助计数器让学生演示“给9添1”“满十进一”的动态过程，并刻意把9颗珠再添1颗，个位上满了要向“十位进一”的拨珠动作分解开，让学生经历清晰地数数、进位、位置、位值的过程。

再数，改变单位，十个十个数到90，再添一个10会怎样？

带领学生重温“满十进一”。

继续数，教师提出：“能‘一百一百地数吗？在百位上数到最大的数。”

学生在计数器上拨出了900。

接下来怎么数呢？

教师把9、90、900合在一起，在计数器上表示出999，问：“此时添上1是多少？”

学生几乎是抢着说：“1000！”

教师：“怎么做的？把过程在计数器上表示出来，看看你拨出的1000什么样。”

学生在计数器上做了三次“满十进一”后出现了“1000”。

学生真的会数数吗？“歌谣式”的数数学生上学之前就会，但是数学课上要经历数学化的数数，这是建立数概念的基础。四次数数的核心是“一一对应”的数学思想、位置原则、十进制的关系。学生在看似简单、实则形象的计数器操作活动中，建立起十进位值制的直观模型。“满十进一”的关系、数位概念，“以一当千”的位值概念、符号化意识，都在学生手指拨动的小珠子中跳跃呈现。

三、1000究竟什么样

当计数器上出现了千位上的1颗珠子，出现了符号化的“1000”，学生就接受这个“1000”了吗？不是的。史宁中教授在《基本概念与运算法则》中表明，建立数概念，要从现实中抽象出数，将数与现实建立联系，再在背景中运用数，感受数量的大小。

“1000究竟什么样？想看看吗？”教师问。

“当然想！”

学生带着上课前对千的感知经验，又经历了计数器上数出1000的过程，“1000究竟什么样？”他们真的想把之前的、当下的，还有想知道的联系起来。

接下来，教师给学生呈现了什么样的“1000”呢？1000根小棒、1000人、1000字、1000张纸、1000元、1000个小方块组成的大正方体。

这些有具体背景数量的“1000”，带给学生的感觉和所起的作用不尽相同。

小棒是学生最熟悉、最常用的数数、计数、计算学具，所以教师有意地呈现出1根、10根、100根，10个100根组成了1000根。

1000人的效果是怎样的呢？操场上1000名同学的场景和1000根小棒带给学生的视觉冲击完全不同，和他们先前对“千很大、很多”的经验直觉是吻合的。

1000字呢？由20个字的古诗叠加呈现，在学生有兴趣的诵读中，又刺激了一下他们写小作文的切身体验，100字一篇要写10篇，200字一篇呢？5篇。1000字是多还是不多呢？肯定掺杂了复杂的情感。这可能有利于学生学会在具体的场景下用数进行表达和交流吧！

以100张纸为标准，让学生带着视觉记忆观察500张纸、1000张纸。这是单位的一种形象化，是在培养学生数学的眼光，在建立标准的意识。

“1000元和1000张纸交换一下可以吗？”教师幽默地询问。

学生赶忙说：“不换！”“不划算！”“1000元可以买很多这样的纸！”

教师再次发问：“1000根小棒、1000人、1000字、1000张纸、1000元都不一样，但是有什么是相同的？”

“数相同！”学生齐声回应。

数的抽象教学水到渠成。

人类发明“十进位”经历了漫长的抽象过程，学生不可能在时间有限的课堂上完全经历数的抽象过程，教师必须借助一些具体的、生动的情景，让学生切实地、全方位地感悟，不仅要让学生感悟数是对数量的抽象，还应当让学生感悟抽象出来的数与数量是有联系的。同样是1000，1000字和1000人是不同的，而1000元和1000张纸也是“不能换”的。但是这些不一样的背后，却有着本质的相同，这就是数。

数量还不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是比数量更为一般的，这就是数量的关系，即多与少。由数量关系再抽象出抛开情境的数，数的关系是对数量关系的抽象，抽象的结果就是自然数。

正如皮亚杰所说：数（自然数）不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置，以及这一组物体中包含了多少个物体，这种关系不是直接用语言来教的，而是兒童通过感知、操作活动在动作中体验、发现、创造的。

四、建立模型中培养数感

完整的数的认识需要两个过程，由数量→数（抽象），由数→数量（数感）。这是因为数学研究的是一般的规律性，从数量到数之后，再反过来把一般性的规律性结果应用到具体的事物中。

接下来出场的是蒂娜丝方块、点子图、数尺。教师借助这些抽象的数学化模型，继续深化学生对1000以内数的认识，培养学生的数感。

教师：“搭一个这样的大立方体需要多少个小立方块儿？”

问题一提出，学生就想到：“可能是1000吧？”

教师：“怎么知道是不是1000呢？”

数一数。

正在学生定睛数的时候，大立方体打散啦！（图1）

“现在怎么数呢？”教师问。

“按标准数！”学生建议。

于是教师摆出以10个为标准的动态图。还是看不清！学生建议“一百一百地摆”。

看，先前的经验，在这里得到运用了。

看到1000个小方块搭成了大正方体后，计数器上的1000再次出现（图2），教师问：“1000个小方块，在计数器上就用这一颗珠子表示，你们服气吗？”学生们说：“服气！”到这还没有结束，教师继续在计数器上拔出1111，并问道：“同样的珠子，其他三颗能表示1000吗？”学生回答：“不能，因为只有在千位上才能代表1000。”教师附和道：“哦，位置很重要！”

至此，学生形成了1000的符号化意识，明确了位值、数位间的十进关系。

当密集的点子图出现时，学生立刻建议圈圈按标准数。

数尺的出现，教师做了一个小铺垫：“个、十、百、千是计数的标准，把这些标准用一把尺子呈现可以吗？”（图3）

在这把神奇的尺子上，不仅可以找到个、十、百、千，还可找到1000以内的任意数。数的关系由眼前的尺子，投入学生的头脑中，形成对数的感觉。

教师给学生布置作业，到生活中看看哪里可以找到和1000很接近的数，电视台的电视塔有多高，天安门广场有多宽，故宫里究竟有多少间房子，1000粒大米做饭够吃吗，等等。

带着对1000的感觉，对数有分析的意识、判断的能力，用数学的眼光看，用数学的头脑思考，用数学的语言表达与交流。这就是落在学生身上的数学学科核心素养。

数学学科的本质不仅包括数的概念的建立和理解，还包括思想方法的把握，以及数学学科特有的学科思维、学科品格。所以，教师要把基于数学本质的教学作为发展与培养学生数学学科核心素养的着力点。

有什么样的思维就有什么样的行为，发展学生的学科核心素养，教师要具有发展性的思维，然后有先提升自己学科素养、专业素养的意识，将以学科育全人的理念落实到教学的行为中。有什么样的行为就有什么样的状态，教师有什么样的状态就会带给学生什么样的感受，学生有什么样的感受就有什么样的未来。

（作者系北京市朝阳区实验小学润泽分校校长、正高级教师、特级教师）

责任编辑：胡玉敏

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