借助几何直观构建笔算模型——《两位数乘两位数的笔算（不进位）》教学设计与评析

执教|许桂霞 评析|倪芳华（特级教师）

【教学内容】

苏教版三年级下册第3～5 页例3、“试一试”和“想想做做”第1～6 题。

【教学过程】

一、创设情境，复习引入

谈话：为了让同学们能吃到营养又可口的午餐，学校食堂的叔叔、阿姨们每天都精心挑选食材。你瞧，今天又给我们准备了新摘的迷你南瓜。

出示主题图：请同学们仔细观察，你从图中知道了什么条件？又能提出什么问题呢？

【评析：新课伊始，教师创设了配置营养午餐情境，传递均衡饮食有助于身心健康的理念，激发学生学习探究的热情。教师引导学生经历收集信息、发现并提出问题的过程，不仅温习了旧知，也为引出新知奠定了基础。】

二、自主探究，明理通法

1.链接旧知，激活经验。

列式：要算一共有多少个？该怎么列式呢？

估算:能估计一下24×12 结果大约是多少吗？你是怎么估的？

生1：把24 看作20，把12 看作10，20×10 等于200，24×12 的结果大约是200 多。

生2：把12 看作10，24×10 等于240，24×12 大约是240 多。

谈话：24×12 究竟等于多少呢？你想怎样算？把你的想法圈一圈，把重要的步骤写下来。

独立完成《①号学习单》。

组织全班交流。

比较：比一比这几种方法有什么相同的地方和不同的地方？

质疑：如果不是24×12，而是24×13，你选择哪种方法呢？为什么？19×13 呢？

指出：看来“连乘”的方法，有的题能用，有的题不好用。但是，两位数乘两位数，都可以将其中一个两位数拆成整十数和一位数，再分别和另一个两位数相乘，最后把两个和相加。

【评析：重视学生良好计算习惯的培养，让学生先估再算，用估算来判断计算结果的合理性，使学生体会到“估”的价值和魅力。在探究“24×12 究竟等于多少”这一环节，教师给予学生足够的时空，学生结合主题图呈现了自己的解法。方法一：转化为连加算式；方法二：转化为两步连乘；方法三：转化为求两积之和。追问“24×13，19×13 你选择哪种方法？为什么？”让学生在多元算法中进一步优化，在比较辨析中感悟到，由“连加”变“连乘”的方法写起来简单，但又不具有普遍性。而唯有第三种算式模型背后具有丰富的意义，可以为理解笔算方法提供支持，并构建出笔算初步模型，同时，培养学生的开放性思维。】

2.探究算法，明晰算理。

自主探究：你们能根据以前的学习经验，试着列竖式计算24×12 吗？

独立完成《②号学习单》。

提问：你们赞同几号同学的写法？为什么不赞同①号同学的计算过程？

指名学生介绍笔算方法：先算2 乘24，用个位上的2 依次乘24的每一位，得48；再算10 乘24，用十位上的1 依次乘24 的每一位，得240；最后算48 加240，得288。

提问：十位上的“1”乘第一个乘数个位上的4 得到的“4”表示多少，要和哪个数位对齐？

追问：结合例题图指一指、说一说，这里的48 表示几箱的个数？240 又表示几箱的个数？288 呢？

指出：先算2×24，表示2 箱的个数，再算10×24 表示10 箱的个数，最后把两部分合起来就是12箱的个数。

【评析：在学生尝试列竖式计算后，教师引导学生回顾计算过程，在横式与竖式的对比中理解每一步计算的意义，使学生感受和领悟到数量关系、分步横式与竖式结构三者的联系，从而找到知识的生长点和发展点。在经历两位数乘两位数竖式计算的过程中，体会到口算和笔算虽然写法不同，但其思路是一致的。竖式就是“站”起来的横式，是将这里的三道横式合在了一道竖式里，让学生直观形象地领悟了竖式原理，有效突破了教学难点，做到了算法与算理融合。】

3.数形结合，提炼算法。

拓展：24×12 这个算式还可以表示生活中很多其他的问题。例如：一箱矿泉水有24 瓶，有12箱，一共有多少瓶？再如：一排有24 个小朋友，有12 排，一共有多少个小朋友等等。

提问：看着点子图，你能说说先算的是什么？再算的是什么吗？笔算的每一步都能在点子图上找到相应的部分吗？

提炼算法：还记得我们刚刚研究的24×12 的竖式是怎么算的吗？先算什么？再算什么？

根据学生叙述规范板书，并张贴对应的点子图。

说明：为了书写简便，个位的0 可以省略不写。想一想，如果把0 省略不写，在计算第二步的时候需要注意什么？

纠错：再帮①号同学看看，到底错在哪里呢？应该怎样改呢？

小结：两位数乘两位数，先用第二个乘数个位上的数乘第一个乘数，再用十位上的数乘第一个乘数；用哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就和这一位对齐；然后把两次的积相加。

谈话：你能试着运用刚才的方法来算一算12×24 吗？

比较：这两道算式你发现了什么？乘法可以怎样验算呢？

小结：计算两位数乘两位数时，可以用调换乘数的位置再乘一遍的方法进行验算。

【评析：巧妙地借助点子图，将直观的算理与抽象的算法紧密联系在一起，学生学得轻松，理解得通透。“24×12 这个算式还可以表示生活中很多其他的问题”，学生对照课件呈现的点子图自信地表达每步的意思，教师相机在黑板上张贴对应的点子图，驱动学生在“变与不变”的思辨中，明晰乘法运算在不同情境中的应用，借助运算的意义建立形与式的关联，同时感悟到竖式计算的简洁美。由具体而形象的实例开始，最后赋予“24×12”一般的模型意义，渗透了初步的数学建模思想，促进学生思维灵活性的发展。在交换位置验算时，教师利用可拆分的“配图贴”进行操作，让直观表征有条有理，化静为动，让学生看得见、摸得着。在抽象与直观、竖式与横式、算理与算法的有效对接与沟通中，清楚感受到“法中见理，理中得法，原本不可剥离”，有效促进了学生“运算能力”核心素养的提升。】

三、巩固练习，深化拓展

1.基本练习，巩固内化。

（1）“想想做做”第1 小题。

交流算法：选择一题和同桌交流一下，你是怎么算出来的？

比较：观察我们做的五道题，有什么相同的地方？仔细观察这几题的计算过程，先想一想是分几步来算的，再和同桌交流。

归纳算法：都是分三步来做，先用个位上的数依次去乘第一个乘数的每一位，再用十位上的数依次去乘第一个乘数的每一位，最后把两部分的积加起来。

（2）“想想做做”第2 小题。

谈话：你知道竖式中每一部分的积各是哪两个数相乘得到的吗？联系题意说一说、填一填。

说明：这里的计算过程是先求1 个热水瓶的价钱，再求20 个热水瓶的价钱，然后相加得出21个热水瓶的价钱。

2.变式练习，发展思维。

激趣：这里有个小朋友也做了两道题，他做得对吗？把不对的地方改正。

纠错：指名学生说说错在哪里？你觉得两位数乘两位数的笔算有什么要提醒大家注意的？

说明：在计算过程中，要注意积的数位，特别是用十位上的数去乘，乘得的数的末位要和十位对齐。在计算过程中，我们可以根据数据的特点，调换两个乘数的位置，使我们的计算更简便。

3.拓展练习，沟通迁移。

采用FLAC3D对隧道进行建模，按照施工开挖顺序步对拱顶测点位移进行计算，并与预测位移进行比较，模型如图6所示。

谈话：研究两位数乘两位数的笔算是很有用的，可以帮助我们解决生活中的很多实际问题，你能帮李大爷算出一共有多少棵卷心菜吗？

出示“想想做做”第6 题。

独立完成，并全班交流。

迁移：如果把每垄32 棵改成每垄38 棵，38×13 该怎样计算呢？如果改成321 呢？计算的过程中又会遇到什么新的问题呢？我们将在后面的课中继续研究。

四、回顾梳理，总结提升

回顾：我们是怎么研究两位数乘两位数的笔算的？

小结：我们在观察比较中明晰了算理，在合作交流中探索了算法，在数形结合中归纳了算法，最后在深化应用中提升了能力。

【课后总评】

本节课是在学生已经掌握了两位数乘一位数和两位数乘整十数的口算基础上展开的。许老师设法引导学生将未知转化为已知，感悟转化的数学思想方法；借助模型沟通算理与算法，建立乘法竖式；运用多元表征，发展学生数学思维。整节课充满着“生长”的气息。

一、巧借转化，促进知识“生长”

新课伊始，在探究24×12 到底得多少时，教师巧妙引导，搭建联系新旧知识的桥梁，采用转化的方法，在主题图上分一分、圈一圈，借助数量关系进行算法理解，将新知转化为已经学过的两位数乘一位数的计算，与已有认知经验进行了有效衔接，有效促进向新知的积极迁移。在计算——观察——比较——辨析中，经历计算方法“多样化”到“普适性”的归纳过程，凸显了计算道理的一致性与方法的多样性。

二、数形结合，促进“理法”相融

理解算理、掌握算法是形成运算能力的两翼。借助几何直观理解算理，形成算法，是学习运算内容的重要方法。许老师借助“点子图”，帮助学生以“形”悟“理”。在圈一圈、画一画、摆一摆、算一算、说一说的学习活动中，巧妙地沟通了口算、笔算与图形三者之间的关系。在“直观”到“抽象”、“特殊”到“一般”的推理中，实现循理入法,以理驭法；在“怎样算”“为什么这样算”的追“根”溯“源”下，把握了计算教学的本质内涵。在分析的基础上，建立乘法运算竖式，从算理过渡到算法，让计算过程可视化，促使学生看得见算理，说得清思维过程，发展了学生的运算能力和推理意识。

三、搭建模型，寻找知识勾连

数学模型是数学知识的核心内容，它体现了数学应用的核心价值。在“怎样书写竖式可以清楚地记录计算过程，并算出结果”的问题驱动下，教师留给学生足够的时空，让学生经历解释口算方法、创造笔算方法、对比横式与竖式、归纳计算方法等学习过程，引领学生聚焦直观模型、算式表征与计算方法之间的联系，给学生思考、质疑、表达的机会，在多元对话中清晰地构建出两位数乘法的竖式模型，体会竖式计算的优势，使“算法”落地。在“巩固练习，深化拓展”环节，教师充分挖掘教材资源，设计有层次的练习，进行多维训练，提升运算能力，感悟笔算乘法解决实际问题的价值；借助模型思想进行拓展延伸，引导学生迁移类推：尝试两位数乘两位数（进位）笔算乘法、三位数乘两位数笔算乘法，沟通了乘法计算间的联系，在整体中架构知识，引发学生向数学更深处漫溯。