基于禁带机理的加筋板减振设计方法

姜周,范雨,李琳,石佳慧

1.北京宇航系统工程研究所, 北京 100076 2. 北京航空航天大学 能源与动力工程学院, 北京 100083 3. 北京航空航天大学 航空发动机结构强度北京市重点实验室, 北京 100083

在航空航天、船舶、汽车等领域,为了提高结构的承载能力,通常采用加筋的方式以改善结构的力学性能。其设计理念侧重于在满足质量要求的前提下,使得单位质量的承载能力最大,即具有较好的比强度和比刚度。故其设计目的一方面是降低结构质量,即结构优化；另一方面是考虑不同加载模式下结构的极限承载能力和屈服形式,即稳定性分析。

加筋板的结构优化主要体现在筋条的布局、材料和尺寸设计。如选用纤维复合材料替代铝合金作为加强筋,通过改变筋条的截面形式和所处位置来优化布局等。由于工程中加筋板受到的激励形式多变,当内部应力小于屈服应力极限时,也可能由于产生垂直于压力方向的位移使得结构承载能力降低而发生屈服,故存在稳定性问题。因此在不同加载模式下对加筋板进行稳定性分析,判断其失效形式和极限承载能力,是一个研究的热点。如在轴压载荷下,如何改善模型屈服失稳或后屈服破坏等问题。

近年来,有研究将结构优化和稳定性分析综合起来考虑,如Alinia利用Ritz法研究了加筋板内多参数设计的问题,表明可以通过增加筋条的宽度来增强结构的剪切应力。Wang等研究了剪切载荷下板内筋条的优化,通过采用加筋板的柔性夹芯,可以提高其屈服刚度。这些方法大多利用遗传算法等手段,从静力学角度出发,以控制加筋板质量为前提,尽量降低结构的重量。

考虑到加筋板作为承力部件,面对复杂的载荷环境时,会产生严重的振动问题。故目前也有部分研究利用被动或主动的控制方法对加筋板的噪声和振动进行控制。被动控制方法包括利用铺设阻尼层、布置吸振器等对结构振动进行控制。主动控制则包括主动吸振器等。这些方法大部分基于等效层理论,用耗能、吸声等方法对振动和噪声进行控制,而忽略了结构的周期性。

声子晶体等禁带周期结构概念的提出,为振动控制提供了新的思路。弹性波在这类周期结构中传播时,由于结构内部几何形状、材料参数或边界条件等周期性地变化,导致在某一频带内形成特殊的传播关系,从而抑制弹性波的传播,该频带即被称为禁带(或带隙)。现阶段有3种构造禁带的机理,可以构造布拉格禁带、局域共振禁带和耦合禁带,利用周期结构的禁带特性可以达到减振降噪的目的。

虽然现有研究早已指出周期结构中弹性波禁带中结构响应明显降低,但在工程实践中仍少见基于此原理,对工程周期结构进行动力学设计的案例。目前无法直接利用工程周期结构内禁带特性的原因之一,就在于设计时并未把禁带作为设计指标,导致其中禁带的频率较高,往往超出了其工作频带,以致无法直接满足减振降噪的要求。

另外目前有关禁带的研究大多是已知周期结构的元胞(最小可重复单元),再求解其频散曲线来获得禁带分布；随后对结构进行振动响应分析来验证禁带的减振效果,即已知模型求解其波动特性,可称为“正问题”。而工程中常常是先确定了需要振动抑制的频带,要求设计出符合这一需求的结构。如何设计既具有良好的比刚度又能在所希望的频率范围产生禁带达到减振目的结构,可称为禁带设计的“反问题”。由于工程问题以及工程结构的复杂性,目前还少有直接基于禁带理论对结构动力学特性进行设计的方法。就作者查阅文献可知,对加筋板中的工程反问题的研究还较少,波动理论对加筋板等人工周期结构的研究,大多是为了预报和分析这类结构的振动与噪声响应特性,从而更侧重于发展高效快捷的计算方法,较少考虑禁带的设计和应用。

针对这一现状,同时并考虑到加筋板这一周期结构在工程中应用的普遍性,以正交加筋板为对象,研究禁带反问题设计方法以及其中的关键技术,利用结构本身周期性具有的禁带特性实现振动控制。通过波有元法来计算不同模型的禁带分布。该方法的主要优势在于可以借助商业有限元软件建立元胞模型,在模型动力学矩阵上施加周期性边界条件后即可进行波动特性的求解。通过将元胞内部自由度减缩为模态坐标,可以进一步提高计算效率。

利用该算法,结合拉丁超立方采样,以正交加筋板中的元胞数、筋条宽度和高度为设计指标,在控制加筋板质量的前提下,建立了有限周期结构的禁带设计方法,并通过计算结构的强迫响应对设计方案进行了验证。考虑到实际中的加筋板由于材料本身以及加工安装等使其并非完美的周期结构,还分析了失谐对加筋板减振效果的影响。最后结合静力学分析,利用结构柔顺度校核了设计模型的静刚度,判断设计方案下的加筋板是否具有良好的动、静力学性能。

1 基于禁带减振机理的加筋板设计方法

1.1 加筋板模型

本文以正交加筋板为研究对象(图1(a)),在保证正方形基板总体尺寸不变的基础上,设计筋的结构尺寸(即筋宽和筋高)和间距(即元胞尺寸),使得结构在目标频带内产生禁带,从而达到控制振动的目的。

图1 加筋板及元胞示意图Fig.1 Illustration of stiffened plate and its unit cell

需要说明的是,虽然现阶段存在3种禁带构造机理,但无论何种类型,禁带内的弹性波都无法远距离传播,能涵盖目标频带的禁带都可用于控制结构振动。因此此处并未限定所用的禁带类型。

利用有限元软件ANSYS对加筋板元胞(图1(b))进行建模,并导出其动力学矩阵,编程实现周期性边界条件的施加和波动特性的求解。

建模时,基板由六自由度四节点的SHELL181单元构成,筋条由六自由度两节点的BEAM188单元构成。单元中六自由度分别为沿3个方向的平动自由度(,,)和3个方向的转动自由度(,,)。2种单元通过耦合方程进行结合,以保证接触面对应筋条节点和基板节点位移及转角的连续性,对应节点的关系如下：

(1)

式中：为基板宽度;为筋高；下标p代表为基板自由度,下标s代表为筋条自由度。如p表示基板节点沿方向的位移,s为筋条节点沿方向的转角。

对元胞中各节点施加约束条件后,即可建立加筋板的元胞模型。当结构中不含阻尼时,可以得到元胞动力学方程：

(-)=

(2)

式中：和分别为质量矩阵和刚度矩阵；表示位移向量；表示力向量；为频率。

对式(2)施加周期性边界条件,即得到结构的波动方程,进而对其求解后就可以获得给定尺寸加筋板的波动特性。考虑到需要反复计算不同设计尺寸下元胞的频散曲线,为了提高计算效率,此处采用了波有限元减缩算法。

1.2 波有限元减缩算法

图2 元胞节点分布示意图Fig.2 Nodes definition of unit cell

对于自由波动,元胞只在边界处受力,因此元胞内力守恒。将式(2)中的矩阵和向量按照节点位置重新分块,得动力学方程为

(3)

为了保证求解的精度,每个波长内的至少需要有6～12个网格。同时考虑到需要计算的模型较多,故在求解式(3)的波动特性前,对内部自由度进行模态减缩,可以减小矩阵规模,节约计算时间。减缩主要基于Craig-Bampton方法。即将边界自由度固定,将内部自由度转到模态坐标,其中转换矩阵满足：

(4)

式中：为固定界面主模态,通过固定边界自由度=,求解如下特征值方程获得：

(-)=

(5)

<∈{1,2,…,}

(6)

(7)

故按模态坐标和边界自由度分块后的减缩系统动力学方程为

(8)

考虑其内部节点不受外力,因此可进一步缩小矩阵规模：

(9)

由周期边界理论可知,边界节点的自由度应当满足如下关系：

(10)

(11)

其中：=e-j,=e-j。e为自然对数,、分别为沿着和方向的波数,波数的实部和虚部分别反映了弹性波在经过一个元胞的传播后产生的相位变化和幅值衰减,即传播常数和衰减常数。对于传播波,在传播过程中幅值并无衰减,故有||=1；对于快衰波,其幅值随弹性波传播而衰减,有||≠1。,为元胞沿着和方向的尺寸,在本文中由于选取了正方形元胞,有==。

同样,根据边界处节点力平衡有

(12)

将式(10)和式(12)代入式(9)可得中：

(13)

(14)

1.3 禁带设计流程

1) 设计目标

(15)

当基板尺寸确定时,该系数越小则表明结构越轻。

加筋板的静力学设计目标一般为在限定结构总质量前提下,保证结构的刚度需求并通过强度校核；动力学设计目标则是在满足静力学指标要求的前提下,在给定频率范围内使板的弯曲振动限制在一定水平之下。设计时可以先根据给定总质量下的振动指标设计加筋方案,然后完成静刚度校核。

对于一个边长和宽度的方板,给定的动力学设计目标为在满足质量比的条件下,在板上加设正交周期分布的筋条。使其具有涵盖目标频带的禁带,从而抑制频带内激励产生的振动。因此问题归结于如何确定周期加筋板中的元胞数、筋条宽度和高度。

2) 设计方法

基于禁带机理的加筋板减振设计(禁带反问题设计)可分为2大步骤：

第1步,根据基板尺寸给定一个元胞数的取值范围,每一个元胞数对应一个元胞尺寸=。对于每一个确定的元胞数(或元胞尺寸),禁带出现的频率范围就取决于元胞内的筋条尺寸(宽度和高度)。这一步的主要任务就是对于一个确定的元胞数(或元胞尺寸)计算所有可能的筋条尺寸下加筋板的禁带特性,从中选取满足目标禁带需求的筋条尺寸。

第2步,对比各个元胞数的筋条尺寸方案,确定满足目标禁带需求的元胞数和筋条尺寸。

具体的设计流程如图3所示。以下详细论述基于该流程对禁带“反问题”设计时需要解决的问题以及本文所采取的解决方案(以“关键技术”字样标注在设计流程中对应的环节)。

图3 加筋板设计流程图Fig.3 Diagram of stiffened plate and its unit cell

① 关键技术1(确定采样空间)

结构中筋条的宽度和高度都是连续变量,这意味着给定元胞面积(即对应给定的元胞数)后,有无穷多组筋条尺寸可以选择。当对筋宽和筋高各取个数据时,需要对加筋板作次计算与分析,以获得对应每个数据的弯曲波禁带。当较大时(比如超过100),即使采用波有限元减缩算法,其计算量也是十分庞大的。为解决这一问题,本文采用了拉丁超立方采样(LHS)构造一个离散数据的样本空间。

该方法是Mckay等于1979年提出的一种分层采样方法。其基本原理是将样本点分层并均匀覆盖整个采样空间,用较小的采样规模即可准确反映样本的分布。当需要对个样本各采样次时,原有的采样规模为,按LHS采样可以将采样规模降为×,极大地降低了需要计算的采样组数。

将其用于筋条宽度和高度的取值时,如果希望获得每个维度取100个值的结果,只需对加筋板进行200次禁带计算分析(否则需进行100次计算)。该算法MATLAB已经有成熟的函数(lhsdesign),可以直接利用。

需要注意的是,作为一种通用算法,它给出的是归一化的参数分布,即所有值都位于0～1之间,在实际应用时需要在此基础上进行换算,以得到实际尺寸。利用LHS程序时,只需输入数据维度、每一维度数据变化范围、再设定总采样数,程序即可按LHS方法返回在总采样数为时,每个维度的采样数据。显然,总采样数不同时,每个维度的采样数据也不同。因此会出现取得不合适需要重新采样、计算的情况。

② 关键技术2(禁带的识别)

考虑到复杂结构内往往存在多种波,弯曲波的禁带内其他波有可能可以传播。因此在得到加筋板元胞的频散曲线或能带图后,利用单波形占比(RSW)作为指标来消除目标频带内其他波的影响,方便选出弯曲波禁带的分布范围。

(16)

即除3个表征弯曲变形的自由度外,其余各自由度均设为零的模态。

再计算参考波模态与完整波模态的模态置信因子(MAC),就得到了单波形占比：

RSW=MAC(,)=

(17)

单波形占比是位于0～1的实数,0表明参考波模态对完全波模态没有贡献,即不含有该变形；1表明完全波模态完全由参考波模态构成。本文设置弯曲波的占比RSW>06,以排除其他波对弯曲波禁带筛选的干扰。

板的减振一般针对的是弯曲振动,因此只需利用弯曲波占比(RSW)即可识别出弯曲振动主导的弹性波及其禁带。

同时为了确定禁带的边界频率,仅画出弯曲变形主导的传播波的频散曲线(对应||=1),再利用禁带内不存在传播波的特性来确定禁带的边界频率。由于这一性质与禁带的种类无关,故用该方法可以识别结构中存在的各类禁带。

③ 关键技术3(禁带的评价)

周期加筋板禁带“反问题”设计的第2个步骤是比较由第1步得出的对应每一个元胞数的筋条尺寸方案(筋条宽度和高度),进而确定最终的元胞数及对应的筋条尺寸。比较不同元胞数的筋条尺寸方案,实际上就是比较各种方案的加筋板禁带。由第1步给出的每一个方案,其禁带带宽及在频域上出现的位置都能满足目标频带的要求,因此问题归结为这些禁带是否具有等同的减振效果,应该如何评价对应不同元胞尺寸产生的相同频率范围的禁带。

根据波动理论,在禁带内,禁带频率内波数(=+j)的虚部代表弹性波在无限大介质中每传播一个元胞产生的衰减程度,即+1=e-p；表示相位的变化;经过个元胞后,弹性波的衰减程度为=e-p(不考虑反射)。推广到有限大结构可知,不同元胞数(周期不同)的同一结构中弹性波的衰减程度不同。根据这一特性,本文提出平均衰减因子的概念来评价(有限大)结构禁带对弹性波的衰减能力。其定义式为

(18)

式中：和为目标频带的起始和终止频率。该因子越大,表明衰减程度越强,禁带效果越明显,当工作频带内无禁带时,有=0,=1,即=1,表明弹性波无衰减。需要强调的是,该因子是从频散曲线中提取出的概念,因此仅能用于评价禁带对沿某一方向传播的弹性波的衰减能力。对禁带的方向性评价还需要借助能带图。

2 加筋板弯曲波禁带设计实例

如图1所示的正交加筋板,基板和筋条材料参数为：弹性模量=2.09×10Pa,泊松比=0.33,密度=7 500 kg/m。基板总长度=1 m,=5×10m。通过模态分析可知,基板在2 000～2 500 Hz存在模态密集现象,故选取该频带为控制频带。通过设计筋条尺寸(筋宽和筋高)和间距(元胞尺寸),使结构在2 000～2 500 Hz内产生禁带,达到控制此频率范围内弯曲振动的目的；筋板质量比的容许变化范围15%～25%。

2.1 加筋板禁带设计流程

根据图3所示设计流程,首先根据基板尺寸大致设定了一个合理可行的元胞数变化范围：6≤≤20,相应的元胞尺寸的范围为0.05 m≤≤0.166 7 m。然后要遍历元胞数(或元胞尺寸),对每个元胞数,判断是否符合设计要求的尺寸。

以元胞数=13为例,首先利用拉丁超立方采样程序获得总采样数=50时需要计算的筋宽和筋高数据组,这一过程又称在筋宽和筋高连续变化的二维空间中采样。通过式(15)筛选出质量比在设定范围的每一组筋宽和筋高数据,计算对应的加筋板的弹性波频散曲线,利用RSW找到其中的弯曲变形主导波的频散曲线,看是否存在能涵盖目标频带的禁带。图4给出的是基于第1轮数据组计算得到的禁带最宽的加筋板频散曲线(含RSW),图中横坐标为频率,纵坐标为弹性波的传播常数。对应尺寸为筋宽=0.034 536 m,筋高=0.001 248 m。

图4 含RSWf的频散曲线(第1次迭代)Fig.4 Dispersion curves with RSWf (first iteration)

图4中虚线表征了禁带的起始和终止频率。可见利用RSW可以准确判断弯曲波禁带的位置,此时禁带频率满足实部Real()=π,故为布拉格禁带。很明显这个禁带宽度不符合设计要求。这说明元胞数为13时,在对应的元胞面积范围内,第1次用拉丁超立方采样程序给出的50组筋宽和筋高数据中,没有一组能使对应的加筋板产生满足要求的禁带。如果所有采样数据对应的加筋板的弯曲波禁带带宽都不满足要求,则需进行第2轮计算。

在这种情况下需要改善数据组,即重构拉丁立方采样空间。有2种重构方案：一是不改变筋宽和筋高数据的变化范围、直接增大总采样数,比如将50变为100；另一种方案是利用第1轮的计算结果(对应最大禁带宽度的筋宽和筋高),缩小筋宽和筋高数据的变化范围(减小LHS的数据空间)；这里采用了第2种方案。实际上数据空间减小之后,总采样数也可适当减少。一般经过2到3次重构拉丁立方采样空间,即可找到满足要求的筋宽和筋高,或可以确定对应的元胞数下不存在满足要求的筋宽和筋高数据。

对从6～20的每一个元胞数,实施上述计算后,只在元胞数=8时,得到了一组符合设计要求的解：筋宽=0.001 823 m,筋高=0.041 051 m。对应该筋条尺寸的加筋板中沿方向传播的弹性波频散曲线如图5所示,其中虚线为禁带边界频率。

图5 设计尺寸的频散曲线Fig.5 Dispersion curves of design size

利用RSW容易识别出图5中布拉格禁带对应的是弯曲变形主导波的传播禁带,可见该设计尺寸下,弯曲波禁带涵盖了目标频段,满足设计需求。

利用能带图判断这一禁带的方向性分布见图6,其中、、、、表示波传播的不同方向。该图也用RSW区分不同种弹性波,其中灰色阴影表示禁带的分布。由于阴影部分不存在对应弯曲变形的传播波波数分布,可见该设计下的禁带为完全禁带,即可以抑制各个方向传播的弹性波。

图6 设计尺寸的能带图Fig.6 Band structure of design size

2.2 最终方案确定

在遍历元胞数寻求满足要求的筋条尺寸的过程中,按设计流程找到满足要求的筋条尺寸即停止对该元胞数的计算,转入对下一元胞数的计算；只有在对应该元胞数不存在满足要求的筋条尺寸时才会把LHS空间中的所有数据遍历。这一过程没有考虑可能存在的多解问题,即LHS空间的数据中可能不只一组数据满足设计要求。更合理的方法是即使找到满足设计要求的筋条尺寸也应完成对LHS空间中所有数据的遍历。

本例中,元胞数=8(对应的元胞尺寸=0125 m)时,在得到满足设计要求的筋条尺寸后,继续计算,完成对LHS空间中所有数据的遍历,一共可得3组满足设计需求的方案,如表1 所示。其中方案1为2.1节确定的设计尺寸。

采用表1中的筋条尺寸构造出的加筋板都满足弯曲波禁带要求,对其取舍的问题涉及的就是如何对禁带减振效果的评价。可见该设计下的布拉格禁带为完全禁带,可以抑制各个方向传播的弹性波。另外表1中方案2的禁带也涵盖了目标频带,但其质量比=0.261 0,不满足轻质化的要求。同时可以看出,随着迭代次数的增加,元胞尺寸最终收敛到同一个值。

表1 加筋板不同设计尺寸Table 1 Different design sizes of stiffened plate

注意到同一元胞数的不同方案是不同元胞数方案的特例,故也能用2.1节中的平均衰减因子对不同方案进行评价。为此按式(18)计算表1中不同方案的衰减因子如表2所示,可见在设定质量比内,方案1具有最高的有限衰减因子。

值得注意的是,只是由于设计的初衷为获得能涵盖目标频段的禁带,并不涉及优化设计,因此最终方案对应的设计尺寸不一定为最佳尺寸。而有限衰减因子可以作为后续优化的指标。

表2 有限衰减因子Table 2 Finite attenuation factor

2.3 强迫响应验证

基于弹性波传播的禁带理论按图3示设计流程设计加筋板的筋条尺寸时,不需要考虑板的边界条件,即该设计方法与边界条件无关,对不同边界条件下的结构都应当有较好的减振效果。因此本节通过计算基于该理论所设计的加筋板在不同边界条件下的位移响应传递函数对此作进一步验证。验证模型为2.2节基于传播波禁带理论设计的正交加筋板,元胞及筋条尺寸取方案1的结果；其动力学特性为：在2 000～2 500 Hz之间存在弯曲变形主导的弹性波绝对禁带。

当元胞尺寸为0.125 m时,沿方向和方向的元胞数=8,按方案1的尺寸建立元胞后,延拓即可得到设计的加筋板(如图7所示)。

图7 加筋板及监测点分布示意图Fig.7 Distribution of stiffened plate and monitoring points

在不同边界下,在加筋板左端边界中间节点上施加幅值为1 000 N,沿向的激振力,以激发出结构的弯曲波。利用有限元软件ANSYS在1 500～3 000 Hz内做谐响应分析,通过对比不同监测点在禁带和通带内的传递函数,来验证禁带的减振效果。

(19)

式中：()为板中(某点)自由度的位移频率响应；()为作用在(某点)自由度的激振力。通过对比禁带和通带内结构传输特性的差异,来验证禁带对弹性波的控制效果。

1) 边界条件影响

在自由边界下,计算点和点的传递特性如图8所示。图中蓝色曲线为点的传递函数,红色为点的传递函数,虚线为不同频段传递函数的平均值。可见目标频带内的响应明显低于2段参考频带(1 500～2 000 Hz和2 500～3 000 Hz)的响应。

图8 水平方向位移传输特性(自由边界)Fig.8 Transmission characteristics in horizontal direction (free boundary condition)

值得注意的是,禁带内点的响应大于点的响应,出现了与弹性波随元胞数增加呈指数衰减特性相反的现象,这就是边界的反射作用。同时可见,禁带内出现了一些共振峰(共7阶模态),这些峰值的量级几乎与禁带外的响应量级等同。实际上Mead推导一维有限周期结构内固有频率和禁带边界频率的关系,在特定边界条件下,固有频率才可能位于禁带边缘。虽然单个衰减波不会传递能量,但Bobrovnitskii和Kurze指出,衰减波之间是存在能量流动的。因此在某些情况下禁带内是存在共振的。

选取均质板和加筋板位于同一位置的右侧节点的计算结果进行比较。图9中阴影部分为目标频带,虚线为不同频段的平均响应。可见在目标频带内,无论是加筋板的强迫响应还是平均响应都较均质板的低,表明该设计下,系统的振动得到了有效控制。对比2段参考频带(1 500～2 000 Hz 和2 500～3 000 Hz),发现均质板响应并无明显区别,而加筋板的频响函数明显较低,进一步突出了禁带的减振效果。另外可见该设计也能降低均质板中的模态密度。

图9 加筋板/基板的传输特性Fig.9 Transmission characteristics for stiffened and uniform plate

为了进一步验证禁带的方向性分布,在相对激励点的30°、60°、90°方向各取了一个距激励点0.5 m的点计算对激励的位移响应传递函数。计算结果如图10所示,图中虚线为该频段位移响应传函的平均值。可见在30°和60°方向目标频带内的响应得到了控制。90°方向正好是沿边界方向,由于边界的反射作用十分显著,因此振动抑制效果不明显。如果激励点位于板内,则90°方向也会具有较好的振动抑制效果。

图10 不同角度的传递特性对比Fig.10 Transmission characteristics at different propagation angles

图11分别给出在一个禁带频率(2 020 Hz)激励下和一个通带频率(2 550 Hz)激励下结构的位移响应云图,以更直观地对比禁带和通带频率激励下加筋板的振动响应。考虑到结构的对称性,只给出了加筋板上半部分的位移云图,其中白色虚线为加强筋所在位置。

图11 单点激励下位移场对比Fig.11 Comparison of displacement field under single-support excitation

对比图11(a)和图11(b)可知,禁带频率激励下的位移响应远低于通带频率激励下的位移响应,且禁带频率的激励效果仅出现在力的作用点附近,这说明禁带频率激起的振动在各个方向传递时都受到了限制。可见在该禁带为完全禁带,即对沿各个方向传播的弹性波都存在抑制效果。

考虑到工程中加筋板的实际边界条件很难简单用“自由”、“固支”或“简支”等模拟,这里采用可变刚度的弹性支承模拟一般的边界条件,示意图见图12。激励点和位移响应采集点以及他们的方向均同自由边界情况。

图12 边界为弹性支承的加筋板示意图Fig.12 Illustration of stiffened plate with elastic supports on the boundary

图13给出了不同边界条件下,、这2个点的位移响应传递函数,其中支撑刚度越大,越接近固支边界。由图13可见,不论哪种支撑刚度,目标频带内的位移响应都能得到不同程度的抑制。随着支撑刚度的增加,禁带内的共振峰也随之降低。支撑刚度较小时,其效果等同于自由边界的情况。

图13 传递特性随支撑刚度变化Fig.13 Different transmission characteristics with support stiffness

由禁带减振原理可知,禁带主要通过降低模态密度来达到控制其中平均响应的目的,因此禁带减振对边界条件不敏感。根据这一特点,基于自由边界出的该绝对禁带能抑制沿各个方向的振动的结论也能推广到任意边界条件,故不再计算其他方向的位移响应传递函数。

实际上文献[48]也指出,在边界出引入阻尼后,可以有效缓解禁带共振的负面影响。这也为禁带内响应控制提供了一种设计思路。即不用在整个周期结构内铺设阻尼,仅在边界处设置阻尼后,就可以进一步抑制或者消耗振动能量,从而进一步降低目标带内的响应。

2) 材料失谐影响

由于加工工艺和材料本身的缺陷,实际的筋条尺寸或形状一般存在微小差异,这种现象被称为周期结构的失谐。由失谐的原因不难理解失谐广泛存在于实际工程中,而以往的周期结构理论对这一现象缺少关注。失谐现象是否会通过改变结构的周期性影响禁带的减振效果是一个值得研究的实际问题。因此本节以设计的加筋板为例,研究材料失谐对禁带性能的影响。

研究主要通过设置筋条材料弹性模量的微小差异来模拟材料失谐。设失谐强度为5%,即每根筋条材料的实际弹性模量是名义弹性模量2.09×10N/m的±5%；用计算机生成均值等于名义弹性模量、方差为5%的满足正态分布的16个随机数,与名义弹性模量相加即得到了16根筋条材料弹性模量分布的一个样本,一共计算了10个样本。

4边自由工况下,模型最右端所有节点的平均响应(对应10组失谐筋条尺寸样本数据)如图14 所示,图中横坐标为节点方向的坐标,纵坐标为目标频带(2 000～2 500 Hz)的平均响应。为了便于比较,图中同时给出筋条材料用名义弹性模量时的结果(谐调情况)。其中黑色虚线为谐调情况,蓝色实线为材料失谐情况。

图14 失谐情况平均响应Fig.14 Average response with mistuning cases

由图14可知,对于谐调情况,响应沿=0.5 m 对称分布,当引入失谐时,破坏了结构的对称性,使得对称位置的平均响应出现差异。而对比不同失谐情况的平均响应分布可知,失谐响应总是围绕谐调情况的响应上下波动,即采用随机失谐模式难以降低所有节点的平均响应。

同样对3边弹支工况实施同样的计算与分析,以研究不同边界条件下失谐的影响。分别考虑了4种支撑刚度：10N/m、10N/m、10N/m和10N/m。从结构最右侧所有节点中,选取距底边分别为0.2 m,0.3 m,0.8 m和0.9 m处(图14 中红色虚线)的4个节点,分别计算各节点对应10组失谐筋条尺寸样本的最大响应相对差随支撑刚度的变化,可得表3。

由表3可见,不同支撑刚度下,最大响应相对差都较小,表明不同边界条件下,失谐对响应结果影响有限。

表3 不同边界条件下最大响应差分布

3 静力学设计与校核

在完成加筋板动力学设计和减振效果验证后,考虑到其设计初衷是为了具有较好的比强度和比刚度等静力学性能,基于禁带机理设计出的加筋板是否违背了静力学设计初衷,是一个必须回答的问题。基于此,对加筋板还进行了静力学设计与校核。

静力学设计主要是针对结构柔顺度展开的。结构柔顺度表征结构在静力作用下抗变形的能力,该值越低表明施加载荷下结构变形越小,静刚度越强。其定义为

()=

(20)

式中：()为结构柔顺度;为结构位移向量。这一参数常用作结构静力学设计的指标,以进行结构的尺寸和形状优化。在本文中,由于选用了矩形截面的加筋板,因此只针对其尺寸进行静力学设计。

同时为了校核表1中方案1的静力学性能,故选取方案1的质量比进行静力学设计。即必须满足=0237 7。从而根据式(15),就可以求解出给定筋高下的筋厚,其分布如图15所示。因此可以得到100组相同质量比下的筋厚/筋高分布。固定加筋板的一段,在另一端中间节点施加沿方向,大小为1 000 N的静载荷。导出其位移场和刚度阵后,根据式(20)计算结构的柔顺度。同时为了方便展示不同组筋厚/筋高下结构的柔顺度分布。根据二者的比例关系设定筋条的厚高比为=()(),计算结果见图16。

图15 筋厚/筋高分布Fig.15 Distribution of thickness and height of rib

由图16可见,随着厚高比的增加,不同加载方式下结构柔顺度都是先增大后减小,即结构刚度性能先变差后变好。而筋厚高比增加则表明加筋板中筋条的宽度增加,高度降低。因此在同一质量比下,筋条高度的增加能有效提高结构的刚度性能。而方案1的厚高比为=0034 7,表明在该设计尺寸下,结构不仅具有宽频禁带,还具有良好的静力学刚度。

图16 加筋板结构柔顺度Fig.16 Structural compliance of stiffened plate

4 结 论

本文提出了加筋板设计方法,在控制加筋板质量比的前提下,设计了正交加筋板的筋条间距、筋厚和筋高的尺寸,使得其中的布拉格禁带能涵盖设计频带。基于强迫响应分析,讨论了边界条件和和失谐对禁带减振效果的影响,最后对设计的加筋板进行了静力学校核。得到如下结论：

1) 解决了禁带设计流程中的关键技术：利用拉丁超立方采样方法构造了筋条尺寸的采样规模(关键技术1)；通过单波形占比可以识别加筋板各类弹性波频散曲线中对应弯曲变形的频散曲线(关键技术2)；提出的平均衰减因子,可以作为不同周期(即元胞数)和筋条尺寸方案下,频率位置及带宽近似相同的禁带的评价指标(关键技术3)。实际上也可以对于其他设计参数(如筋条的形状或材料参数等),该设计流程依然适用,即具有较好的普适性。

2) 强迫响应结果验证了在不同边界条件下禁带内的平均响应都较低的结论,论证了加筋板的减振设计的有效性。且材料失谐下的强迫响应结果表明在不同边界条件下,加筋板的禁带减振特性对筋条材料弹性模量的少量失谐不敏感。

3) 利用结构柔顺度校核了基于禁带设计的加筋板方案,发现除了减振特性外,结构还具有良好的静力学刚度。

4) 虽然本文未能进行实验验证,但已有大量文献验证了不同禁带的减振效果。另外本文通过保证波有限元算法和仿真验证的可靠性已足以证明设计方法的有效性。后续将开展禁带减振效果的实验验证。